第4章 电路定理

重点:1.熟练掌握叠加定理，替代定理，戴维宁和诺顿定理。2.了解对偶原理。第4章

电路定理

(CircuitTheorems)在线性电路中，任一支路电流(或电压)都是电路中各个独立电源单独作用时，在该支路产生的电流(或电压)的代数和。单独作用：一个电源作用，其余电源不作用不作用的

电压源（us=0)短路电流源(is=0)开路4-1叠加定理(SuperpositionTheorem)举例证明定理ib1ia1R2R3R1+–us1i11ibiaR2+–R3+–R1+–us1us2us3i1ib2ia2R2+–R3R1us2i12ib3ia3R2R3+–R1us3i13i1=i11+i12+

i13证明ib1ia1R2R3R1+–us1i11ib2ia2R2+–R3R1us2i12ib3ia3R2R3+–R1us3i13R11ia1+R12ib1=us1R21ia1+R22ib1=0R11ia2+R12ib2=-us2R21ia2+R22ib2=us2R11ia3+R12ib3=0R21ia3+R22ib3=-us3ibiaR2+–R3+–R1+–us1us2us3i1R11ia+R12ib=us11R21ia+R22ib=us22us1-us2us2-us3ia=ia1+ia2+

ia3证得即回路电流满足叠加定理同样可以证明：线性电阻电路中任意支路的电压（电流）等于各电源（电压源、电流源）在此支路产生的电压（电流）的代数和。1.

叠加定理只适用于线性电路求电压和电流；

不能用叠加定理求功率(功率为电源的二次函数)。不适用于非线性电路。2.

应用时电路的结构参数必须前后一致。应用叠加定理时注意以下几点：5.叠加时注意标明参考方向，在同一方向下求代数和。3.不作用的电压源短路；不作用的电流源开路。4.

含受控源(线性)电路亦可用叠加，受控源应始终保留。例1.求图中电压u。+–10V4A6+–4u解:(1)10V电压源单独作用，4A电流源开路4A6+–4u''u'=4V(2)4A电流源单独作用，10V电压源短路u“=-4(4//6)=-4

2.4=-9.6V共同作用：u=u'+u"=4+(-9.6)=-5.6V+–10V6+–4u'例2求电压Us。(1)10V电压源单独作用：(2)4A电流源单独作用：解:+–10V6I14A+–Us+–10I1410V+–6I1'+–10I1'4+–Us'6I1''4A+–Us''+–10I1''4+–U1'+–U1"Us'=-10I1'+U1'Us"=-10I1"+U1”

Us'=-10I1'+U1’=-10I1'+4I1'=

-101+41=-6VUs"=-10I1"+U1”

=-10(-1.6)+9.6=25.6V共同作用：Us=Us'+Us"=-6+25.6=19.6V10V+–6I1'+–10I1'4+–Us'+–U1'6I1''4A+–Us''+–10I1''4+–U1"

US=1V、IS=1A时，Uo=0V已知：US=10V、IS=0A时，Uo=1V求：US=0V、IS=10A时，Uo=?US线性无源网络UOIS设解：（1）和（2）联立求解得：当US=1V、IS=1A时，当US

=10V、IS=0A时，+_例3当电路中只有一个激励(独立源)时，则响应(电压或电流)与激励成正比。RusrRkuskr齐性定理常用来分析梯形电路——倒推法齐性原理（homogeneityproperty)解设IL

=1A例3R1R3R5R2RL+–UsR4+–UL法一：分压、分流。法二：电源变换。法三：用齐性原理（单位电流法或称倒推法）ILU+-UK=Us/UUL=K

IL

RL用倒推法推导电源电压可加性(additivityproperty)线性电路中，所有激励都增大(或减小)同样的倍数，则电路中响应也增大(或减小)同样的倍数。N0

us1r1N0us2r2N0k1us1k1r1N0k2us2k2r2us1us2rN0kus1kus2krN0线性例4例5例6r1+

r2us1us2N0k2us2k1r1+

k2r2N0k1us1说明：N0表示线性无源网络4-2替代定理(SubstitutionTheorem)任意一个线性电路，其中第k条支路的电压已知为uk（或电流为ik），那么就可以用一个电压等于uk的理想电压源（或电流等于ik的独立电流源）来替代该支路，替代前后电路中各处电压和电流均保持不变。Aik+–uk支路

k

A+–ukikA证明:ukukAik+–uk支路

k+–+–ACBAik+–uk支路

kABAC等电位+–ukAik+–ukAB说明1.替代定理适用于线性、非线性电路、定常和时变电路。2)被替代的支路和电路其它部分无耦合关系。1)

原电路和替代后的电路必须有唯一解。2.5A??2.替代定理的应用必须满足的条件:1.5A1A10V5V2510V5V25V2.5AA1A1B1V+-1V+-A1AB1AA1AB1V+_满足+-?不满足4-3戴维宁定理和诺顿定理

(Thevenin-NortonTheorem)无源二端网络：二端网络中没有电源有源二端网络：二端网络中含有电源二端网络：若一个电路只通过两个输出端与外电路相联，则该电路称为“二端网络”。 （Two-terminals=Oneport）ABAB等效电源定理的概念有源二端网络用实际电源模型替代，便为等效电源定理。有源二端网络用实际电压源模型替代

-----戴维宁定理有源二端网络用实际电流源模型替代----诺顿定理任何一个含有独立电源、线性电阻和线性受控源的一端口网络，对外电路来说，可以用一个独立电压源Uo和电阻Ri的串联组合来等效替代；其中电压Uo等于端口开路电压，电阻Ri等于端口中所有独立电源置零后端口的入端等效电阻。AababRiUo+-戴维宁定理注意：“等效”是指对端口外等效证明:电流源i为零abA+–u'+网络A中独立源全部置零abPi+–u''Riu'=

Uoc(外电路开路时a、b间开路电压)u"=-

Rii得u=u'+u"=

Uoc

-

Rii证明abAi+–u替代abAi+–uN'iUoc+–uN'ab+–Ri=叠加任何一个含独立电源、线性电阻和线性受控源的一端口，对外电路来说，可以用一个电流源和电导的并联来等效替代；其中电流源的电流等于该一端口的短路电流，而电导等于把该一端口的全部独立电源置零后的输入电导。诺顿定理AababGiIsc注意：“等效”是指对端口外等效例1IA2A1+-uo1Ro1+-uo2Ro2I例2外电路含有非线性元件J-100V40V200V30K10K60K+-UI5KAB1004020030K10K60K+++---ABUAB+-解：求开路电压UAB当电流I>2mA时继电器的控制触点闭合（继电器线圈电阻是5K）。问现在继电器触点是否闭合。60K+-UI5K+-uABRABAB1004020030K10K60K+++---ABUAB+-UAB=26.7VRAB=10//30//60=6.67K二极管导通I=26.7/(5+6.67)=2.3mA>2mA结论:继电器触点闭合。求解戴维宁等效电路方法1：分别求开路电压和等效电阻。例3R多大时能从电路中获得最大功率，并求此最大功率。解：15V5V2A+20+--20105+-85VR105V+-2015V2A20+-105+-85VR1010V2A10+-105+-85VR10R=4.29获最大功率。50V30+-5+-85VRU0R0+-R10V2A10+-105+-85VR10求解戴维宁等效电路方法2：直接根据电源的等效变换求解。Uo+–Ri3UR-+解：(1)求开路电压UoUo=6I1+3I1I1=9/9=1AUo=9V36I1+–9V+–Uo+–6I1已知如图，求UR

。例436I1+–9V+–UR+–6I13(2)求等效电阻Ri方法1开路电压、短路电流法36I1+–9VIsc+–6I1Uo=9V3I1=-6I1I1=0Isc=1.5A6+–9VIscRi=Uo/Isc=9/1.5=6方法2加压求流（独立源置零，受控源保留）U=6I1+3I1=9I1I1=I6/(6+3)=(2/3)IRi=U/I=636I1+–6I1U+–IU=9(2/3)I=6I(3)等效电路Uo+–Ri3UR-+一.网络对偶的概念例1.网孔电流方程：(R1+R2)il=us结点电压方程：(G1+G2)un=isR2+–usilR1G1G2unis1.平面网络；3.两个方程中对应元素互换后方程能彼此转换,互换的元素称为对偶元素;这两个方程所表示的两个电路互为对偶。2.两个网络所涉及的量属于同一个物理量(电路）；4-6对偶原理(DualPrinciple)(R1+R2)il=us(G1+G2)un=isR2+–usilR1G1G2unis电阻R电压源us

网孔电流il

KVL串联网孔电导G电流源is

结点电压un

KCL并联结点对应元素互换，两个方程可以彼此转换，两个电路互为对偶。例2网孔方程：结点方程：两个电路互为对偶电路。(R1+R2)il1-R2

il2=us1-(R2-

rm)il1+(R2+R3)il2=0(G1+G2)un1-G2

un2=is1-(G2

-

gm)un1+(G2+G3)un2