《概率论与数理统计》习题三答案-设二维随机变量(x,y)之欧阳地创编

欧阳地创编《概论与数理统》题及答案时间：习题三

创作：欧阳地1将一硬币抛掷三次，以表示在三次中出现正面的次数，以表示三次中出现正面次数出现反面次数之差的绝对值试写出Y的联合分布律.【解】X和Y的联合分布律如表：

C13

1132

23

11222

1122.盒子里装有黑球、红球、2只白球，在其中任取球，以X表示取到黑球的只数，以示取到红球的只数求Y联合分布律.【解】X和Y的联合分布律如表：

P黑2红2白=

CC1C232C7CC32C7

C232C7C2C1C132C47C232C7

C123C47C123C47欧阳地创编

欧阳地创编C2/4227

1353.设二维随机变量（X，）的联合分布函数为ππxsiny0,0yF（x，其他求二维随机变量（X，Y）在长方πx,y4

内的概率【解】图

πππP{0}公(3.2)46题图说明：也可先求出密度函数，再求概率。4.设随机变量（X，）的分布密度)fx，求：）常数；

x0,y0,他）随机变量（，Y）的分布函数；）{0≤<1，0≤<2}.【解】）由

f(x)dxy

00

e

xy)

dxdy

A12

得A=12）由定义，有(3)

P{02}5.设随机变量（X，）的概率密度为欧阳地创编

1313fx，y

欧阳地创编k),2,2y他.）确定常数k；）求{＜1，＜3}；）求{<1.5}）求{+≤4}.【解】）由性质有故

R

）

P{

f(x,yd(3)

P{

x

f(xd如图

D

f(xd(4)

P{4}

X

f(x)dxd如图b

D

f(x,)dx题图6.设X和是两个相互独立的随变量，X在（0，0.2）上服从均匀分布，Y的密度函数为yf（Y

其他求：）XY的联合分布密度；（2）{Y≤}.题图【解】）因X（，0.2）上服从均匀分布，所以X的密度函数为而欧阳地创编

fx)fx)fx)所以(2)

y

f(x,xy图D

25e

xdy7.设二维随机变量（X，）的联合分布函数为x),0,yFx，y他求（XY）的联合分布密度.【解】

(yf(,y)

x)

x0,他8.设二维随机变量（X，）的概率密度为fx，y求边缘概率密度.

4.8y0xy,0,他.【解】题图

f(x)dy

题图9.设二维随机变量（X，）的概率密度为,xyfx，其他求边缘概率密度.【解】

f(x)dy题10图设二维随机变量（，Y）的概率密度为2fx，

y,

其他欧阳地创编

其他.fx其他.fx)）试确定常数；）求边缘概率密度【解】）

f(x,y)dx如xD得

.(2)

f(x)(y)dy11.随机变量（，Y）的概率密度为yx,f（x，）=求条件概率密度（y｜x），f（x｜｜题图【解】

f(x)dy所以中有五个号码1，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X，最大的号码为Y）求X与Y联合概率分布；）否相互独立？【解】）与Y的联合分布律如下表X

Y

P{X}iC31050

22C310515

33C3105235

310欧阳地创编

i欧阳地创编i0{Y}3i

11C2105

(2)因

P{{3}

661{Y101010010故X与Y独立设二维随机变量（，Y）的联合分布律为Y0.40.8

X

50.300.12）求关于关于Y边缘分布；）否相互独立？【解】）和Y的边缘分布如下表0.40.8P{x}i

20.2

5

8

{Y=y}0.80.2(2)P{P{Y0.4}0.80.160.15(0.4),

因故X与Y独立14.X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（，1）上服从均匀分布，Y的概率密度为f（Y

/2

,

0,其他.）求Y联合概率密度；）设含有a二次方程为a+2Xa+=0试求欧阳地创编

Y其.Y其.有实根的概率.【解】）因故

欧阳地创编xf(x)X他;

ye2,f()他f(,y)Y独f()f()

/

x0,其题图(2)方Xa有实根的条件是故从而方程有实根的概率为：

X≥，15.和Y分表示两个不同电子器件的寿命（以小时计），并设X和相互独立，且服从同一分，其概率密度为1000,x1000,x2fx求Z=/Y的概率密度【解】图,Z分布函数

F(){}{}Z(1)当≤0时，

(z)Z）当0<<1，（这时当=1000时y=(图a)

z）欧阳地创编

欧阳地创编题15图(3)当≥1时，（这时当y=10时，x=103）（如图b）即

zf(),0其他1zz2f()他故

16.设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N，20

2

）分.机地选取4

只，求其中没有一只寿命小于的概率.【解设这四只寿命为(=1,2,3,4)，则XN，ii202），从而17.设X，相互独立的随机变量，其分布律分别为P{=}=（k，k=0，1，2，…，P{=r}=（r），=0，2，….证明随机变量Z=+分布律为P{=i}=

ik

pk)q(i

，i=0，1，2，….欧阳地创编

欧阳地创编【证明】因XY所有可能值都是非负整数，所以于是18.设，是相互独立的随机变量，它们都服从参数为n的二项分布证明=+服从参数为2，p二项分布【证明】方法一：+能取值为，2，…，2.方法二：设,μ,…,;′,′,…，μ′12n12n均服从两点分布（参数为p，则X=μ+μ12nY=μ′+…+′,12n

，X+=+μμ′+μ…+12n12′,n所以，X+Y从参数为（2n,p)的二项分布19.随机变量（，Y）的分布律为

X

50.010.030.070.09

0.020.040.060.080.030.050.050.050.020.04(1)求{=2｜Y=2}，{Y=3｜=0}；）求=max（XY）的分布律；）求=min（XY）的分布律；）求=+分布律.欧阳地创编

欧阳地创编【解】）

P{

P{2}P{2}）

P

}{max(X,Y)}{X}{X,Y}所以分布律为V=max(Y)0P0

(3)于是

PU},Y}U=min(XY)P

(4)似上述过程，有=P0

20.雷达的圆形屏幕半径为R，设目标出现点（X，）在屏幕上服从均匀分布.）求{＞0｜＞X}；）设M=max{，}，求P＞0}.题20图【解】（X，Y）的联合概率密度为）

P{|YX}

P{Y}P{YX}(2)

P{M0}{max()0}{max(,)21.设平面区域D由曲线y=1/x及直线，x=1,x=e围成，二维随机变量（，Y）在区域D服从均匀分布，求（X，）关于X边缘概率密度在=2的值为多少？欧阳地创编

X123i12j11111欧阳地创编X123i12j11111题21图【解】区域面积为

S0

1

1x

dln

1

2.

（X,）的联合密度函数为（XY）关于边缘密度函数为所以

1f.422.随机变量XY相互独立，下表列出了二维随机变量（XY）联合分布律及关于和Y边缘分布律中的部分数值试将其余数值填入表中的空白处.X

y

P{X=}=

ixxP{=y}=

j

1/81/6

1/8

【解】因

2P{y}PP{xYy}jjiji

,故

PY}P{X1

y}{xYy},1从而

11P{Yy}6而X与Y立，故

{X

}P{Y}{Xx,Y}ijii

,从而

11P{}{Yy}624即：又

P{}1

111/2464{}P{y}{XxY}{Xx,Y},111欧阳地创编

即41,3222P{Y}2即41,3222P{Y}211{y},24从而

P{,Yy}13

112

.同理

13PY}P{Yy}28又

3j

P{y}j

111,33同理从而故

3P{}4

y1

y

2

y3

P{x}ii

14x

2

18

38

14

34{}pj

j

12

23.某班车起点站上客人数X服从参数为λ(λ的泊松分，每客在中途下车的概率为（0<p<1），且中途下车与否相互独立，以表示在中途下车的人数，求：）在发车时有个乘客的条件下，中途有m人下车的概率；）二维随机变量（XY）的概率分布【解】(1)

P{m|}mm(1p)

,0,

.(2)

{,Y}{}{m}欧阳地创编

欧阳地创编24.设随机变量X和独立，其中X的概率分布为X~

0.7

而

Y概率密度为f)，求随机变量U=+概率密度().【解】（）是的分布函数，则由全概率公式，U=+分布函数为由于立，可见由此，得概率密度为25.25.设随机变量与Y相互独立，且均服从区间0,3]上的均匀分布，求P{max{,}解：因为随即变量服从[0，3]上的均匀分布，于是有因为相互独立，所以推得

P{max{}

19.26.设二维随机变量（X，）的概率分布为

X

01

0.20.10.20.1其中

a,,c

为常数，且

X

的数学期望E()=0.2,{Y≤0|≤0}=0.5，记Z=+Y求：）,,值；）概率分布；欧阳地创编

欧阳地创编）{=Z}.解(1)

由概率分布的性质知，a+b+c+0.6=1即

a+b+c=0.4.由

(X)

，可得.再

由P{