第3章 平面问题的直角坐标解答

第三章平面问题的直角坐标解答§3-1应力函数的多项式解答§3-2位移分量的求出§3-3简支梁受均布载荷§3-4楔形体受重力和液体压力§3-1应力函数的多项式解答一.一次多项式适用性：由一些直线边界构成的弹性体。目的：考察一些简单多项式函数作为应力函数(x,y)，能解决什么样的力学问题。——逆解法其中：c1、c2、c3

为待定系数。检验(x,y)是否满足双调和方程：显然(x,y)满足双调和方程，因而可作为应力函数。（1）（2）（3）对应的应力分量：若体力：fx

fy

0，则有：结论：①②一次多项式对应于无体力和无应力状态；应力函数加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。（1）其中：c1、c2、c3为待定系数。（假定：fx

fy

0;c1

>0,c2

>0,c3

>0）检验(x,y)是否满足双调和方程，显然有（2）（可作为应力函数）（3）计算应力分量：二.二次多项式结论：二次多项式对应于均匀应力分布。xy2c32c32c12c1（1）其中:c1、c2、c3、c4为待定系数。检验(x,y)是否满足双调和方程，显然有（2）（可作为应力函数）（假定：fx

fy

0）（3）计算应力分量：结论：三次多项式对应于线性应力分布。如，图示板的应力函数应为xy三.三次多项式例：则取（fx

fy

0）图示梁对应的边界条件：xy1l可见，对应于矩形截面梁的纯弯曲问题应力分布。可见，此结果与材力中结果相同，说明材力中纯弯曲梁的应力结果是正确的。梁端部静力等效的边界条件：——无轴力。同理——无剪力。设xy1lMM说明：①组成梁端力偶M

的面力须线性分布，且中心处为零，结果才是精确的。②但按圣维南原理，仅在两端误差较大，离端部较远处误差较小。③当l远大于h时，误差较小；反之误差较大。若按其它形式分布，则此结果不精确，有误差；（1）检验(x,y)是否满足双调和方程（2）代入：得可见，其待定系数，须满足上述关系才能作为应力函数。四.四次多项式（1）多项式次数n

<4时，则系数可以任意选取，总可满足。多项式次数n

≥4时，则系数须满足一定条件，才能满足。多项式次数n

越高，则系数间需要满足的条件越多。（2）一次多项式，对应于无体力和无应力状态；任意应力函数(x,y)上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。二次多项式，对应均匀应力状态，即全部应力为常量；三次多项式，对应于线性分布应力。（3）（4）用多项式构造应力函数(x,y)的方法——逆解法（只能解决简单直线应力边界问题）。五.多项式应力函数的性质（总结）以纯弯曲梁为例，说明用应力函数法得到应力分量后如何求出应变分量和位移分量？前已得到纯弯梁的应力解答为：由平面应力的物理方程：由几何方程：§3-2位移分量的求出一.应变分量二.位移分量将前两式积分，得：式中：为待定函数。将其代入第三式，得：函数理论：对于任意的F(x)和G(y)，若F(x)

G(y)则F(x)和G(y)必等于同一常数。常数所以积分其中u0

、v0

、为待定常数可由位移边界条件确定讨论：铅垂方向线段的转角，即u关于铅垂方向的变化率。（1）当x=x0

=常数常数说明：

同一截面上的各铅垂线段转角相同。——材力中“平截面假设”成立。（2）将v对x求二阶导数：常数说明：在小变形下，梁纵向纤维的曲率相同。即——材料力学中挠曲线微分方程（3）对于平面应变问题，仅需作E1E、1替换（1）两端简支xyl其位移边界条件：代入上式解之所以与材力中梁的挠曲线方程结果相同三.位移边界条件的利用（2）悬臂梁xylMM位移边界条件：代入恒不满足放松条件，边界条件改写为：（中点不动）（轴线在端部不转动）代入位移表达式解得所以xylMM挠曲线方程：与材料力学中结果相同若边界条件改写为：（中点不动）（中点处竖向线段转角为零）所得结果与前相同一.应力函数的确定要点:1xyyzllqlqlq用半逆解法求解梁、长板类平面问题。（1）分析：推想：（2）由应力分量表达式确定应力函数的形式：积分——任意的待定函数由上下边边界条件：对于任意均有表明随y发生变化，而不随x发生变化。再积分其中§3-3简支梁受均布载荷（3）由相容确定待定函数代入相容方程：视之为关于x的二次方程，欲使其在l

xl内均成立，须有x的一、二次的系数、自由项同时为零。即先对第一、二式积分（略去常数项）再将f

(y)代入第三式积分得（略去一次项和常数项）所以利用应力边界条件可建立九个关系式以确定待定常数为减少计算工作量，可先进行简化分析二.应力分量的确定1xyyzllqlqlq由荷载对称和几何对称：x、y应为x的偶函数xy应为x的奇函数则有由y的任意性，必有所以现再利用应力边界条件确定待定常数三.对称性的利用上边界：下边界：四式联立求解1xyyzllqlqlq四.应力边界条件所以左右边界（次要边界）：因对称，只考虑一边（如右边界）。由于面力分布未知，由静力等效力系替代。满足故截面上的应力分布：三次抛物线（1）次要边界上的误差按上述解答，梁的左右边界存在水平面力说明在两端与实际不符。乃静力等效替代所致，但随远离迅速衰减。五.讨论（2）与材力结果比较将代入a）x：第一项与材力结果相同，为主要项。第二项为修正项。当h/l<<1，该项误差很小，可略；当h/l较大时，须修正。b）y：为梁各层纤维间的挤压应力，材力中未考虑。c）xy：与材力结论相同。（3）如果事先作更深入的分析，可使计算工作量减少。（避免解微分方程）分析如下：①直线、直角边界，应力函数可选用多项式。（几次？）②x应为三次多项式比x高两次应为五次多项式。（共21项，略去线性和常数项，有18项）即：③如前对称性分析x、y应为x的偶函数，xy应为x的奇函数则应是x的偶函数，即④如前边界条件分析y与x无关，则中高于x2项为零则⑤由相容方程由y的任意性所以再利用边界条件确定六个待定系数附1：解题步骤小结（1）（2）（3）根据问题的条件：几何特点、受力特点、约束特点（如面由应力分量与应力函数的关系式，求得应力函数的具体形（4）（5）将具有待定函数的应力函数代入相容方程确定应力函数中由应力分量与应力函数的关系式，求得应力分量（具有待由边界条件确定应力分量中的待定常数。用半逆解法求解梁、矩形长板类弹性力学平面问题的基本步骤：力分布规律、对称性等），估计某个应力分量的变化形式。式（具有待定函数）。的待定函数形式（具有待定系数）。定系数）。附2：应力函数确定的“材料力学方法”要点：利用材料力学中应力与梁内力的关系，假设某个应力分量的函数形式。适用性：直梁、长板条等受连续分布面力、杆端集中力、杆端集中力偶等。应力函数常可表示为：由边界面力先确定f(x)或g(y)其中之一的规律，然后将其代入相容方程确定另外一个函数。应力分量与梁内力的关系一般可表示为：其中M(x)、FQ(x)和q(x)分别为梁的弯矩、剪力和横向分布力。例：悬臂梁，厚度为单位1，常数。求：应力函数及梁内应力。xyObl解：(1)应力函数的确定xFQM取任意截面，其内力如图：取作为分析对象，可假设：——f(y)为待定函数由与应力函数的关系，有：对x

积分一次，有：对y

再积分一次，有：由得要使上式对任意的x，y成立，有(2)应力分量的确定(3)利用边界条件确定常数xyOblx故一.应力函数要点:半逆解法的量纲分析法xyO问题:楔形体，下部