第三章地图投影4-5节new

第三章

地图投影第三章地图投影地图投影基本知识地图投影分类方位投影圆柱投影圆锥投影我国常用投影其它投影地图投影判别与选择及不同投影变换4.1圆柱投影概念和种类1.圆柱投影概念设想用一圆柱面包围地球体，并使之与地球体相切或相割，再根据某种条件将地球面上的经纬网点投影到圆柱面上，然后沿圆柱面的一条母线把圆柱切开展成平面，就得到圆柱投影的经纬网2.圆柱投影分类根据投影平面与地轴关系不同正轴圆柱投影、横轴圆柱投影和斜轴圆柱投影根据变形性质等角投影等面积投影任意投影，其中主要为等距投影应用：等角圆柱投影最广（正轴、斜轴）等面积圆柱投影极少应用

等距离圆柱投影时有采用2.圆柱投影种类依据圆柱投影定义及中心透视圆柱投影经纬形状可写出正轴圆柱投影一般方程式：

由上式知，圆柱投影需解决两个问题确定x的函数形式确定常数c4.2圆柱投影公式1.正轴圆柱投影（1）圆柱投影面与平面对应关系地球面上微分弧地球面上微分弧投影面上微分线段投影面上微分线段（2）正轴圆柱投影变形一般公式（3）常数c的确定有了上述公式，可以依据是切圆柱还是割圆柱来确定c。切圆柱投影中，圆柱面切于赤道割圆柱投影中，圆柱面切于赤道南北两同名纬线x函数形式的确定，取决于圆柱投影的变形性质。（4）不同变形性质下的x函数形式及其变形等角圆柱投影投影条件：投影公式：由上式可看出，等角圆柱投影变形情况：等角圆柱投影一般变形情况角度没有变形，变形椭圆仍为圆长度和面积变形都比较大，如在

φ＝60°，长度增大2倍，面积增大4倍，到φ＝90°，则都变为∞高纬与低纬地区的投影面积相差悬殊该投影图上要量出较准确的距离或面积，需使用专用的复式比例尺

经纬网投影为相互垂直的直线，纬线圈与赤道等长（4）不同变形性质下的x函数形式及其变形等距离圆柱投影投影条件：投影公式：由上式可看出，等距圆柱投影变形情况：所有经线和赤道的投影无变形而且等长，即经差与纬差相等时其相应的x值和y值也相等投影经纬网格为相同的正方形，故球体的正轴等距离切圆柱投影也叫做方格投影。同样情况下，若实行割圆柱投影，则经纬网格为相同的正矩形，因为所割的纬圈半径小于地球半径。等距离圆柱投影一般变形情况（4）不同变形性质下的x函数形式及其变形等面积圆柱投影投影条件：投影公式：正轴圆柱投影，通常适于赤道附近沿纬线延伸的地区若制图区域是沿任一方向的大圆延伸或沿某一经线延伸，该情况下不能采用正轴圆柱投影，而需选用斜轴和横轴圆柱投影，才能减小变形。对于斜轴和横轴圆柱投影，同样涉及到确定新极点Q，建立球面极坐标系，以Z，a为参数进行投影计算的问题等高圈投影为一组平行直线，垂直圈投影为与等高圈垂直的另一组平行直线，其间距与方位角a成正比。经纬线投影后一般都成为曲线，只有通过新极点Q的经线才投影为直线，且为其它经线的对称轴。主方向与垂直圈和等高圈相合，故沿垂直圈的长度比Ч1与沿等高圈的长度比Ч2即为极值长度比。2.斜轴与正轴圆柱投影公式斜轴、横轴圆柱投影一般公式：式中c为常数，X轴与通过新极点Q的子午线相重合，在横轴投影中则为与中央经线相合；以赤道或最低纬线与X轴的交点作为坐标原点。（1）斜轴、横轴圆柱投影一般公式（2）斜轴、横轴圆柱投影变形公式以90°-Z取代正轴投影公式中的φ，则得到变形公式：（3）斜轴等角切圆柱投影公式圆柱面切于球体的经圈和赤道以外的任一大圆则满足沿此大圆长度比，据等角条件得变形公式：经纬网形状：除中央经线投影为直线外，其余经线和纬线都投影为对称于中央经线的曲线。圆柱投影公式推导思路总结正轴圆柱投影公式（x与φ的f函数关系，y与λ的c常数关系）斜轴圆柱投影通式（x与Z的f函数关系，y与а的c常数关系）а相当于λZ相当于90-φ将各种变形比公式表示成z和c的函数等积P=1，即μ1*μ2=1等角W=0，即μ1=μ2等距μ1

=1确定x用Z和а表示的f函数形式带入各种变形比，表示成Z和а的函数正轴、横轴或斜轴所确定的球面极坐标新极点的坐标值（φ0，λ0）可确定Z和а与λ和φ的关系变形比定义切/割圆柱确定新极点C值4.3主要圆柱投影1.墨卡托投影——正轴等角切圆柱投影初目的精确显示罗盘方位，提供海上航行保障经纬网形状：经纬线投影为直线，相交成直角。（1）长度变形：各纬线长度与赤道相等，而地球上纬线圈由赤道向两极缩短，故墨卡托投影图上，除赤道外，东西间的长度都比实际长度扩大，愈向两极扩大愈多。各纬线扩大的倍数如下式：各纬线扩大倍数等于它纬度正割，60°纬线圈与赤道等长，是实际长度的二倍。1.墨卡托投影——正轴等角切圆柱投影（1）长度变形：经线依照它所在纬度的纬线所扩大的倍数而扩大，即，经线扩大倍数是当地纬度的正割。将地球当成正球体时，各经线与赤道等长，各纬线离开赤道的距离x（即经线上的距离），可近似计算：（1）长度变形：精确计算各纬线离开赤道的距离X：将地球作为旋转椭圆体，并以图上1赤道里，即图中赤道上经度1分的弧长为单位，可以由此推导出墨卡托海图纬度渐长率MP，即图上任一纬线到赤道的距离与图上1赤道里(图上经度1分的长度)的比值为：1.墨卡托投影——正轴等角切圆柱投影(2)面积变形墨卡托投影地图，东西间扩大2倍的部分，南北间也扩大2倍，60°纬线附近的一小块区域，对应图上长度和宽度都扩大2倍，面积比实际扩大4倍。愈近两极，纬线长度扩大愈多，南北间长度作同等扩大，面积扩大愈多。墨卡托投影图上，纬度80°以上地区就不再绘图。即大面积变形使得墨卡托投影不适用于常规地理世界地图。纬度80°附近，经线与纬线长度都扩大近6倍，面积扩大到33倍多。墨卡托投影明显的面积变形，通过比较格陵兰岛和南美洲的面积就能看出，在这图上格陵兰比南美洲还大，实际上格陵兰的面积只不过是南美洲的1／9（见图）。（3）墨卡托投影的用途与应用1596年，荷兰制图学者格拉德.克列密尔创造了等角正圆柱投影即墨卡托投影。墨卡托是他的拉丁名字。用等角正圆柱投影方法绘制的海图叫墨卡托海图，它占目前航用海图的95%以上。故墨卡托投影主要用于航海图。其它定向使用：航空旅行、风向、洋流还有：等角世界地图此投影的等角属性最适合用于赤道附近地区，例如，印尼和太平洋部分地区。墨卡托投影——等角与大圆航线①图上经线为南北向相互平行的直线，其上有量取纬度或距离用的纬度图尺；纬线为东西向相互平行的直线，其上有量取经度的经度图尺，且经线与纬线相互垂直。②图上经度1′（1赤道里）的长度相等，但纬度1′（1海里）的长度随纬度升高而逐渐变长，存在纬度渐长现象。(4)墨卡托海图的特点③恒向线在图上为直线。④具有等角特性，在图上所量取的物标方位角与地面对应角相等。⑤图上同纬度纬线的局部比例尺相等，不同纬度的局部比例尺，随纬度的升高而增大。(4)墨卡托海图的特点(5)墨卡托图网的绘制

Ⅰ墨卡托图网的正规绘制方法Ⅱ墨卡托图网的简易绘制方法Ⅰ墨卡托图网的正规绘制方法

同一张墨卡托海图上，每1分经度的长度，即1赤道里的长度是相等的，取决于图幅宽度和图幅经差。任一纬线到赤道的距离，等于该纬线纬度渐长率MP与图上经度1分的长度之积。相邻两纬线之间的距离，等于两纬线纬度渐长率之差DMP与图上经度1分的长度之积。因此，当需要绘制一张墨卡托图网时，可以按下列步骤进行：绘制正规墨卡托图网的步骤①根据比例尺或图幅大小和图幅经差，计算图上经度1分的长度；②根据“经差(分)×图上经度1分长度”，画出图幅内整度或每隔2°/5°的整度经线，各经线相互平行；绘制正规墨卡托图网的步骤③根据图幅纬度，分别求取上、下纬线到赤道的纬度渐长率，再求出上、下纬线间的纬度渐长率差，乘以图上经度1分长度，即可得到图幅上、下纬线之间的距离。按此间距画出图幅上、下纬线，相互平行，并且与经线相垂直；④按③中同样的方法，画出图幅内其它纬线；⑤按图上经度1分长度等分画出经度图尺；纬度图尺最好先按③中方法画出每10分纬差图尺，再等分画出其它纬度图尺。例以图上1°经度等于6cm的比例尺，绘制一张：120°E～124°E，32°N～36°N范围的墨卡托图网。第一步图上经度1分的长度=6／60cm=0.1cm；第二步图幅经度范围为：124－120=4，因此，图幅宽度为：6cm×4=24cm。相邻两整度经线间距离均为6cm，按此绘制整度经线，并且相互平行；第三步查纬度渐长率表或直接用公式计算得上、下纬线的纬度渐长率，并求得图幅长度为：图幅长度=(MP36－MP32)×经度1长度=(2304.5－2016.2)×0.1cm=28.83cm第四步按上述计算结果，画出上、下纬线，相互平行，且与经线相垂直。第五步按同样的方法画出其它纬线，相互平行，且与经线相垂直。Ⅱ墨卡托图网的简易绘制方法

①使用时机②简易墨卡托图网的绘制原理③绘制方法①使用时机构制墨卡托图网的精度要求不高时。②绘制原理a.将地球作为圆球体；b.等纬圈弧长Dep被放大了sec倍；c.相邻两纬线间经线上的平均放大倍数为secm，m为相邻两纬线纬度的平均值。利用两点间的东西距，即相邻两子午线之间的等纬圈弧长Dep（两点间等纬圈弧长的实际长度），与两点间的经差D（地球赤道上经差为D的的弧长，其即为使用墨卡托投影后两点间等纬圈弧长的图上长度）和该两点所在纬度之间的下列关系而绘制成的：③绘制方法以实例说明：例：以图上1°经度等于6cm的比例尺，绘制一张：120°E～124°E，32°N～36°N范围的简易墨卡托图网。绘制步骤如下：第一步按上例所述，在图纸上分别画出120E，121E，122E，123E和124E的整度经线，各经线相互平行，间距为6cm。第二步在图的下端画一垂直与经线的直线，作为32N纬线。第三步自A点(32N，120E)，以32N纬线为边，作一角度等于32.5，与121E经线相交与B点。则AB=(121－120)sec32.5=1sec32.5，即AB等于图上经度1或60赤道里的secm倍。所以在120经线上量取AC=AB，过C点且垂直与经线的直线，即为33N纬线。第四步用类似的方法，画出其它纬线。墨卡托投影为等角投影，保持方向和位置关系正确，用于航海用地图。等角航线：指地球面上与各经线相交成等方位角的一条曲线。墨卡托投影图上，该等角航线投影为一条直线。航行时，船舰按起止点间固定的方位角前进，只要不改变方位角便可到达终点。航行时，要求严地球面上两点之间的最短距离——大圆弧线航行。地球面上的等角航线是以极点为渐进点的一条螺旋曲线，只在赤道位置与赤道重合，呈大圆形态。等角航线非大圆弧线，故不是两点间的最短距离。（6）墨卡托投影应用——等角航线等角航线实际是螺旋曲线沿等角航线航行：若循墨卡托投影图上两点间的直线航行（飞行或航海），可以保持方向不变，可到达目的地。优点：不改变航行，航行方便；缺点：距离非大圆航线，故非最短距离。然对远洋航行和长距离飞行，以节省能源和时间为目的，通常沿大圆航线航行。优点：距离为最短距离；缺点：除循赤道和经线方向外，必须时时变更方向，不便利。墨卡托投影应用——等角航线寻找两点间接近最短、最经济的航线球面上任一大圆在球心投影图上表现为直线。实际应用中如何操作？先在正轴球心投影地图上确定两点间大圆航线，即为该两点间的连线；量测球心投影图上大圆航线与各经线交角，航行时，将大圆航线按它与经纬线的交点转绘到墨卡托投影的地图上，并以圆滑曲线连接，成为墨卡托投影上大圆航线（实弧线）。沿大圆航线航行时，虽距离最短，但需随时调整航向很不方便。为此，将大圆航线划分成若干段，把每段连成直线，即为等角航线（虚折线）。这样，就每个航段来说是按等角航线航行，但就全部航程来讲，则接近于代表最短距离的大圆航线。正轴球心投影图A/ABCDB/C/D/ABCDA/B/C/D/NA/B/C/D/A/B/C/D/球心投影为任意投影，该投影上所有大圆航线都能投影成直线180o经差150，纬差100的球心正轴方位投影经纬网的绘制：E165oE150oE135oE120oW165oW150oW135oW120o正轴球心投影图的绘制各正轴方位投影公式回顾：回到上一张墨卡托图上上海到西雅图的大圆为曲线（实线）回到上一张实验练习通过以上讲解，同学们完成从旧金山到东京在球心投影图上的大圆航线，并在墨卡托航海图上确定航行过程中的近似等角航线。（5）GIS下墨卡托投影参数认识东移假定值北移假定值标准纬线1中央子午线由爱丁堡人RJ高尔于1855年提出他规定圆柱面与地球相割于南北纬45°处，实行球面透视投影。投影后经纬线都是直线，且垂直相交。南北纬45°纬线与主比例尺相符，没有变形；南北纬45°以内小于主比例尺；45°以外大于主比例尺该投影的地图既不等积，又不等角，但就整个图形看，能适当地全面表示世界海陆分布的相对关系仅用于做世界地图。应用：在英国地图册中用于世界地图2.高尔（Gall）投影高尔投影的世界地图5.1圆锥投影概念和种类1.概念：圆锥投影：是假定以圆锥面作为投影面，使圆锥面和地球体相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后把圆锥面沿一条母线剪开展为平面而成。当圆锥面与地球相切时，称为切圆锥投影当圆锥面与地球相割时，称为割圆锥投影2.圆锥投影种类：根据投影平面与地轴关系不同正轴、横轴、斜轴圆锥投影横轴、斜轴圆锥投影实际上很少应用。所以凡在地图上注明是圆锥投影的，一般都是正轴圆锥投影。根据投影性质分为等角、等面积和任意投影，其中主要为等距投影2.圆锥投影种类：按标准纬线分为切圆锥投影和割圆锥投影切圆锥投影，视点在球心，纬线投影到圆锥面展开后呈以圆锥顶点为圆心的同心圆弧，经线成为由圆锥顶点向外放射的直线束，经线间的夹角与相应的经差成正比，但比经差小。切圆锥投影上，圆锥面与球面相切的一条纬线投影后是不变形的线，叫做标准纬线。它符合主比例尺，这条纬线通常位于制图区域的中间部位。从切线向南向北，变形逐渐增大。2.圆锥投影种类：在割圆锥投影上，两条纬线投影后没有变形，是双标准纬线，两条割线符合主比例尺，离开这两条标准纬线向外投影变形逐渐增大，离开这两条标准纬线向里投影变形逐渐减小，凡是距标准纬线相等距离的地方，变形数量相等，因此圆锥投影上等变形线与纬线平行。5.2圆锥投影公式1.正轴圆锥投影一般公式由圆推投应定义知，正轴圆锥投影纬线投影为同心圆弧，经线投影为同心圆弧的半径，两经线间的夹角与相应经差成正比例式中a是圆锥常数。地球极点处的x＝360°，而圆锥展开后为扇形，其顶角一定不足360°，将圆椎顶角与圆周角360°之比，称为圆锥常数当0＜a＜1，为圆锥投影当a＝1时，为方位投影当a＝0时，为圆柱投影因此，方位投影和圆柱投影是圆锥投影特例式中ρ是纬线投影半径，函数形式由投影性质决定所以圆锥投影主要是确定ρ和a1.正轴圆锥投影一般公式

正轴圆锥投影示意图式中ρs为最南边纬线投影半径ρρsdρ正轴圆锥投影示意图2.等角圆锥投影ρ确定及一般公式

上述公式中，尚有常数α和K没有具体确定，故不能用这些公式进行投影计算这两个常数需根据切圆锥投影或割圆锥投影才能确定等角条件：ω＝0，m＝nα为圆锥系数；K为积分常数，当φ＝0，ρ＝K，即K等于赤道投影半径；当φ＝90°，即在极点投影半径ρ＝0。（1）单标准纬线等角圆锥投影

K值确定——可计算直角坐标和变形值（2）双标准纬线等角圆锥投影

此投影，圆锥面切于一条纬线φ0上，n0＝1，由此得出：此投影，圆锥面割于地球上φ1和φ2两条纬线上，n1＝n2=1，得出：等面积条件P＝mn＝1，来确定投影半径ρ的具体形式的圆锥投影即为等面积正轴圆锥投影。它的两个投影常数a和K也是根据切圆锥或割圆锥的投影条件来确定。单标准纬线的等面积圆锥投影应用较少。双标准纬线等面积圆锥投影又名阿尔勃斯(Albers)投影，是中纬度地区常用一种投影下图为采用φ1＝25°N和φ2＝47°N的等面积圆锥投影绘制的我国地图。2.等面积圆锥投影式中ρs为最南边纬线投影半径

等面积圆锥投影中国地图形状以等距离条件m＝1，确定投影半径P的具体形式的圆锥投影，即为等距离正轴圆锥投影。它的两个常数a和K．同样也是根据切圆推投影或割圆锥投影而确定。单标准纬线的等距离圆锥投影使用较少双标准纬线等距离圆椎投影，其角度、面积和纬线长度的变形都不太大，故常被用于中纬或高纬地区的小比例尺地图3.等距离圆锥投影相切纬线（标准纬线）没有变形，长度比为1。其他纬线投影后为扩大的同心圆弧并且离开标准纬线越远，这种扩大的变形程度也就越大，标准线以北变形增加的要比以南快些。经线为过纬线圆心的一束直线。由于m=n所以在纬线方向上扩大多少，就在经线上扩大多少，才能使经纬线方向上的长度比相等。所以在等角圆锥投影上纬线间隔从标准纬线向南向北是逐渐增大的。5.3圆锥投影变形分析和应用1.等角圆锥投影（1）等角切圆锥投影

两条标准纬线长度比为1，没有变形。两条标准纬线之间纬线长度比小于1，即投影后的纬线长比圆面上相应纬线缩短了，便形成离开标准纬线向里成负的方向增大；两条标准纬线之外，纬线长度比大于1，即离开标准纬线长度变形逐渐增大。经线的变形长度也是如此。所以在等角割圆锥投影上从两条标准纬线向外，纬线间距是逐渐增大的；从两条标准纬线逐渐向里，纬线距离是缩小的。等角圆锥投影面积变形大.1.等角圆