平面问题的直角坐标解答

平面问题的直角坐标解答第一页，共一百三十一页，2022年，8月28日§3-5相容方程应力解法

§3-6应力函数应力函数解法

§3-7多项式逆解法解平面问题

§3-8悬臂梁的弯曲

§3-9简支梁的弯曲

§3-10楔形体受重力和液体压力

§3-11受横向荷载的三角级数形式解答

第二页，共一百三十一页，2022年，8月28日§3-1平面问题分类1.平面应变问题定义：如果三个位移分量中，称为平面位移问题第三页，共一百三十一页，2022年，8月28日将位移代入几何方程,得:非零的应变分量仅发生在x-y平面内，故又称为平面应变问题。且为

x,y的函数，与z无关。

第四页，共一百三十一页，2022年，8月28日代入广义Hooke定律

独立的应力分量也仅是x、y坐标的函数，与z无关。

第五页，共一百三十一页，2022年，8月28日（1）无限长的等直柱体；（2）在柱体侧面受到与轴线垂直，且沿轴向均布的面力作用；（3）体力也垂直于轴线，并沿轴线均布。工程上遇到的挡土墙、隧道、管道、炮筒等结构构件。特点：第六页，共一百三十一页，2022年，8月28日第七页，共一百三十一页，2022年，8月28日2.平面应力问题定义：如果在六个独立的应力分量中称为平面应力问题。因为所有不为零的应力分量都平行于x-y面。第八页，共一百三十一页，2022年，8月28日特点：

（1）等厚度的薄板；（2）面力和体力都平行于板面，且面力沿厚度均匀地作用在板的周边上；（3）在板面上无外力作用。第九页，共一百三十一页，2022年，8月28日第十页，共一百三十一页，2022年，8月28日应力在板面的边界值：一般地，应力沿厚度是变化的，但因为板较薄，且应力连续可微，则注意到板的上述几何和受力特征，应力与z无关：第十一页，共一百三十一页，2022年，8月28日在平面应力问题中的应变分量：第十二页，共一百三十一页，2022年，8月28日注意：在平面应力问题中从上面分析可以看出，对于两类平面问题，独立分量的个数都只有8个，它们是u,v；且仅为x,y的函数与z无关。、第十三页，共一百三十一页，2022年，8月28日§3-2平面问题的基本方程与边界条件1.平衡方程

在两类平面问题中都有剪应力分量平面应力问题：平面应变问题：第十四页，共一百三十一页，2022年，8月28日平面问题的平衡微分方程：

此方程也可由平面问题的未元体得以证明。

第十五页，共一百三十一页，2022年，8月28日其它三个方程自动满足。

2.几何方程

平面应变问题：第十六页，共一百三十一页，2022年，8月28日但这两个剪应变为零本身就是近似的，这组方程难以满足，由于这种变化的数量级一般较面内的应变数量级小可认为其近似满足。平面应力问题，除需满足以上三个方程外，尚需满足以下条件：第十七页，共一百三十一页，2022年，8月28日于是两类平面问题具有相同几何方程：此方程也可直接由变形关系图导得。第十八页，共一百三十一页，2022年，8月28日3.应力-应变关系平面应力问题：第十九页，共一百三十一页，2022年，8月28日第二十页，共一百三十一页，2022年，8月28日于是平面问题的应力-应变关系可统一写为：

第二十一页，共一百三十一页，2022年，8月28日此即平面问题用应变表示应力的本构方程。第二十二页，共一百三十一页，2022年，8月28日

4.边界条件

（1）力的边界条件边界条件（2-8）的第3式成为恒等式，从而：由于第二十三页，共一百三十一页，2022年，8月28日（2）位移边界条件第二十四页，共一百三十一页，2022年，8月28日1.坐标面上的分布力§3-3应力边界条件在特殊情况下具体化

第二十五页，共一百三十一页，2022年，8月28日2.坐标面上的集中力

合力的符号仍以指向坐标的正方向为正，反之为负。第二十六页，共一百三十一页，2022年，8月28日面力是以合力矩的形式给出时第二十七页，共一百三十一页，2022年，8月28日例1写出图3-6所示悬臂梁上边界和右端面的边界条件。第二十八页，共一百三十一页，2022年，8月28日方向余弦l=0,m=-1解:(1)上边界面力

(2)下边界方向余弦l=0,m=1第二十九页，共一百三十一页，2022年，8月28日(3)右边界第三十页，共一百三十一页，2022年，8月28日§3-4位移解法

以位移作为基本未知量，将基本方程化为用位移表示的控制方程，边界条件也化为用位移表示；在给定的边界条件下求解控制方程，从而求得位移解，然后将位移代入几何方程求导得到应变，再将应变代入本构方程得到应力解。第三十一页，共一百三十一页，2022年，8月28日（1）将几何方程（3-11）代入应变表示应力的本构方程（3-15），得第三十二页，共一百三十一页，2022年，8月28日（2）将（3-18）式代入平衡微分方程（3-10）得用位移表示的平衡方程：此称为拉梅（Lam）方程，即位移法求解的控制方程。第三十三页，共一百三十一页，2022年，8月28日位移边界条件：用位移表示的应力边界条件：第三十四页，共一百三十一页，2022年，8月28日例2如图3-7所示单位厚度平板，两端受均布压力p作用，上、下边界刚性约束，不考虑摩擦，不计体力，用位移法求解板的应力和位移。第三十五页，共一百三十一页，2022年，8月28日解：由对称性及上、下边界的刚性约束条件可设 代入拉梅方程（3-19），第2式成为恒等式，第1式成为解之得第三十六页，共一百三十一页，2022年，8月28日位移边界条件：自动满足由对称性， 则于是待定系数a可由位移表示的应力边界条件确定，为此将(e)代入边界条件（3-20）得第三十七页，共一百三十一页，2022年，8月28日右边界：左边界结果相同。第三十八页，共一百三十一页，2022年，8月28日位移分量：将其代入本构关系，得应力分量：为了确定待定系数a，也可以直接采用应力形式的应力边界条件。第三十九页，共一百三十一页，2022年，8月28日§3-5相容方程应力解法

以应力为基本未知量，将基本方程化为用应力表示的控制方程，边界条件也用应力表示，在给定的边界条件下求解控制方程得到应力解，将应力解代入本构方程得到应变解，再运用几何方程积分可以求得位移解。第四十页，共一百三十一页，2022年，8月28日当采用应力法求解时，具有三个应力基本未知量，而在基本方程中，平衡微分方程已用应力表示，保留不变。另外还需要将几何关系用应力来表示。1.应变相容方程

平面问题的几何方程为第四十一页，共一百三十一页，2022年，8月28日

将（3-11）式的第1式对y求两阶偏导，第2式对x求两阶偏导第四十二页，共一百三十一页，2022年，8月28日两式相加，并改变求导顺序后有将（3-11）式第3式代入（2）式得这就是平面问题的变形协调方程，又称应变相容方程。第四十三页，共一百三十一页，2022年，8月28日从推导过程来看，满足几何方程肯定能满足相容方程；反过来，满足相容方程未见得就一定能保证几何方程可积，因为方程（3-21）是比原方程（3-11）更高阶的方程。后面（§6-2）将要证明，对于单连体，相容方程是几何方程可积的充要条件；而对于多连体，相容方程只是必要条件，加上位移单值附加条件以后才能保证几何方程可积。第四十四页，共一百三十一页，2022年，8月28日

2.用应力表示的相容方程

将用应力表示应变的本构方程（3-14）代入相容方程（3-21）得而平衡微分方程（3-10）可改写为第四十五页，共一百三十一页，2022年，8月28日将上式的第1、2式分别对x、y求偏导，然后相加得第四十六页，共一百三十一页，2022年，8月28日代入（3）式，化简后有或者写成：在常体力情况下：这个方程称为列维（Lévy）方程。第四十七页，共一百三十一页，2022年，8月28日如果体力为有势力，即存在势函数V，使

3.应力法的控制方程

相容方程为：第四十八页，共一百三十一页，2022年，8月28日（1）平衡方程：（2）相容方程：第四十九页，共一百三十一页，2022年，8月28日4.应力法边界条件在上在上上述提法对两类平面问题都成立，即如果边界条件相同，则两类平面问题具有相同的应力解答。第五十页，共一百三十一页，2022年，8月28日

例3用应力法求解例2给出问题的应力和位移。解：根据边界上的受力情况，我们试取（１）显然上式满足了平衡方程和相容方程。（２）检验边界条件第五十一页，共一百三十一页，2022年，8月28日本题为混合边值问题：已满足左右两侧的边界条件及上、下两侧无摩擦的已知条件；（ⅰ）应力边界条件（ⅱ）位移边界条件

将应力分量代入本构方程得第五十二页，共一百三十一页，2022年，8月28日由几何方程的第1、2式积分将其代入几何方程的第3式第五十三页，共一百三十一页，2022年，8月28日

其解为： 于是第五十四页，共一百三十一页，2022年，8月28日利用对称性：可得再利用边界条件(b)可解得应力和位移解：第五十五页，共一百三十一页，2022年，8月28日

由于控制方程的复杂性，应力法求解时，一般也采用半逆解法。假定的应力分量可以通过以下几个方面来判断：（1）问题的边界条件，如例3；（2）类似问题的已有解答，如材料力学解；（3）问题的物理直观性。第五十六页，共一百三十一页，2022年，8月28日

§3-6应力函数应力函数解法

1.平衡方程的解

平衡微分方程（3-10）为一非齐次方程。根据微分方程理论，非齐次方程的解等于对应齐次方程的通解加特解。满足非齐次方程的特解有多个，通过观察可取第五十七页，共一百三十一页，2022年，8月28日容易验证，它们均满足平衡方程（3-10）。对应的齐次方程为第五十八页，共一百三十一页，2022年，8月28日如果我们引入一个函数，使得＝＞则式（3-27）的第1式得到满足。再引入函数，使得第五十九页，共一百三十一页，2022年，8月28日＞＝由剪应力互等关系可知函数A、B应满足：由此，必然存在一个函数，使得第六十页，共一百三十一页，2022年，8月28日于是有这就是齐次方程（3-27）的通解。第六十一页，共一百三十一页，2022年，8月28日平衡方程的非齐次解=齐次方程通解+特解称为平面问题的应力函数，也称艾里（Ariy）应力函数。第六十二页，共一百三十一页，2022年，8月28日

2.用应力函数表示的相容方程

引入了应力函数以后，平衡方程已自动满足。这时，问题的控制方程就只剩下相容方程。由于基本未知量的变化，相容方程应改用应力函数表示.问题化为求:第六十三页，共一百三十一页，2022年，8月28日常体力情况下的相容方程为注意到体力与坐标无关，得或第六十四页，共一百三十一页，2022年，8月28日展开后即为此方程称为双调和方程，满足双调和方程的函数，称为双调和函数，故在常体力情况下，应力函数为双调和函数。弹性力学平面问题的求解可归结为寻求一个双调和函数，使由它求出的应力分量满足问题的边界条件。第六十五页，共一百三十一页，2022年，8月28日§3-7多项式逆解法解平面问题以下不计体力，考察几个典型的多项式，看看它们能解决什么问题。1.一次式第六十六页，共一百三十一页，2022年，8月28日由应力分量反推边界面力

线性应力函数对应于无外力作用的零应力状态。2.二次式(1)第六十七页，共一百三十一页，2022年，8月28日

由边界条件反推对应的边界面力，为了具体起见，考察图3-10所示的矩形板。

表明矩形板左、右端面受均匀拉伸（b>0）或均匀压缩（b<0）（图3-10（a））。第六十八页，共一百三十一页，2022年，8月28日第六十九页，共一百三十一页，2022年，8月28日（2）

应力函数（7）对应于矩形板上、下端面受均匀拉伸（c>0）或均匀压缩（c<0）（图3-10（b））。（3）第七十页，共一百三十一页，2022年，8月28日

为纯剪切状态（图3-10（c））。第七十一页，共一百三十一页，2022年，8月28日3.三次式

由边界条件可得边界面力：第七十二页，共一百三十一页，2022年，8月28日

矩形板条的左、右端面受线性分布面力作用，面力的合力为：而上、下边界面上面力为零，板条为纯弯曲（图3-11）。第七十三页，共一百三十一页，2022年，8月28日

第七十四页，共一百三十一页，2022年，8月28日例4对例2所述弹性力学问题，用应力函数法进行求解。解：我们注意到矩形板左、右两侧沿x方向受均匀压缩，物体将沿y方向膨胀，但由于刚性边界的约束而受到均匀压力，故为双向受压问题，将（4）和（7）叠加作为本问题的应力函数，即取第七十五页，共一百三十一页，2022年，8月28日

相应的应力分量为：可解得第七十六页，共一百三十一页，2022年，8月28日

§3-8悬臂梁的弯曲

悬臂梁（图3-16）端部受分布切向力作用，合力为P，梁的自重不计，取梁宽为1，按平面应力问题分析梁的应力、应变和位移。图3-16第七十七页，共一百三十一页，2022年，8月28日1.应力函数的确定

由材料力学解已知，梁弯曲时弯曲应力与截面弯矩（M）成正比，且沿梁高度（y）呈线性分布，在本问题中有可设由于第七十八页，共一百三十一页，2022年，8月28日积分两次，得应力函数则再将上式代入相容方程第七十九页，共一百三十一页，2022年，8月28日积分上式得将上式代入于是有第八十页，共一百三十一页，2022年，8月28日

2.应力分量将（6）式代入（3-28）式，得应力分量：第八十一页，共一百三十一页，2022年，8月28日

3.由边界条件确定待定系数

上、下边界是主要边界，边界条件必须精确满足。边界条件为：将应力分量代入上式得第八十二页，共一百三十一页，2022年，8月28日作为关于x的恒等式，两边对应项系数相等，有解之得由此，应力公式可改写为第八十三页，共一百三十一页，2022年，8月28日将上式代入边界条件得

左、右端边界为次要边界，由于其面力分布不清楚，可用圣维南原理放松边界条件。右端面边界条件为：第八十四页，共一百三十一页，2022年，8月28日将D代入剪应力表达式，再代入边界条件，则解得式中为截面惯性矩。将A、D代入（9）式得应力解：第八十五页，共一百三十一页，2022年，8月28日

显见，左端边界条件已自然满足。如果不能满足，仍可用圣维南原理放松，与之等效的主矢和主矩分别为第八十六页，共一百三十一页，2022年，8月28日

应力解（13）与材料力学结果完全相同。4.位移

下面按平面应力问题求解。将应力（13）式代入本构方程（3-14），再运用几何方程（3-11）得第八十七页，共一百三十一页，2022年，8月28日对（15（a）（b））式积分：第八十八页，共一百三十一页，2022年，8月28日代入（15（c）），整理后有第八十九页，共一百三十一页，2022年，8月28日

上式为恒等式,要保证上式在全域内任何一点都成立，则必有对以上两式积分得第九十页，共一百三十一页，2022年，8月28日

于是得位移：式中C、C1、C2为待定常数，由位移边界条件确定，考虑梁左端在原点O是固定的，且梁轴不能绕O点转动（图3-17（a）），即有位移约束条件：第九十一页，共一百三十一页，2022年，8月28日

将位移代入上式可得：故位移解为：第九十二页，共一百三十一页，2022年，8月28日

第九十三页，共一百三十一页，2022年，8月28日

图3-17（a）所示情况相当于梁嵌入左端较深的情况。如果梁的左端粘结在一个刚性平面上，则位移约束条件为第九十四页，共一百三十一页，2022年，8月28日此时，取得梁的挠曲线方程

取横截面发生变形以后的方程为第九十五页，共一百三十一页，2022年，8月28日

这表示横截面变形后不再保持为平面，而是变为以三次抛物线为母线的柱形曲面。在应力函数方法中，确定应力函数是弹性力学问题求解的关键。前面是通过弯曲应力来推断的。也可以通过挤压应力或剪应力来推断。挤压应力主要是由接触荷载引起的，本题的接触荷载为零，故可设挤压应力第九十六页，共一百三十一页，2022年，8月28日§3-9简支梁的弯曲

矩形截面简支梁受均布载荷q作用（图3-18），取梁的宽度为1，不计体力，求梁的应力分量。第九十七页，共一百三十一页，2022年，8月28日1.应力函数的确定由于挤压应力主要由接触荷载引起。我们注意到，梁的上表面挤压荷载是均布的，下表面自由，可以视为均布挤压荷载的特殊情况，故挤压应力与x无关；又注意到，上、下表面的面力不等（上表面为q，而下表面为零），即与y有关，因此可设第九十八页，共一百三十一页，2022年，8月28日

对上式积分两次，得将其式代入相容方程得第九十九页，共一百三十一页，2022年，8月28日

对域内的任意x上式成立，故有方程：由上式的前两个方程解得第一百页，共一百三十一页，2022年，8月28日

将（4）式代入（3）式的第3个方程得在（5）、（6）式中已略去与应力无关的各项。将（4）～（6）代回（2）式得第一百零一页，共一百三十一页，2022年，8月28日2.应力分量由应力分量与应力函数的关系（3-28）可得第一百零二页，共一百三十一页，2022年，8月28日3.利用对称性和应力边界条件确定待定系数按弹性力学应力的正负号规定，显然，各分量满足：第一百零三页，共一百三十一页，2022年，8月28日第一百零四页，共一百三十一页，2022年，8月28日为x的偶函数，而为x的奇函数从而有上、下边界条件：第一百零五页，共一百三十一页，2022年，8月28日将（10）代入（8）式，再代入边界条件（11），联立求解后得

将各系数代回（8）式得应力：第一百零六页，共一百三十一页，2022年，8月28日右端边界条件：上式第三式自然满足。由1、2式解得第一百零七页，共一百三十一页，2022年，8月28日将K、H值代回（13）式得应力解：第一百零八页，共一百三十一页，2022年，8月28日从应力解（16）可见，弯曲应力的主项与材料力学相同，而第2项为弹性力学修正项，对于细长梁，修正项很小可以忽略不计。为挤压应力，由材料力学得不到这一结果。剪应力与材料力学相同。第一百零九页，共一百三十一页，2022年，8月28日§3-10楔形体受重力和液体压力楔形体受体力和侧压力作用,试求应力.1.应力函数的确定这里采用量纲分析方法。楔形体内任一点的应力分量决定于、、x、y和

等物理和几何参量，因而应力表达式中的各项只可能由这几个参量第一百一十页，共一百三十一页，2022年，8月28日第一百一十一页，共一百三十一页，2022年，8月28日组成，且其量纲与应力量纲相同。各参量量纲列表如下：参量应力重力坐标(x、y)楔角()量纲[长度]无量纲为了保证量纲的和谐，应力分量可用及其线性组合来表达，即有可能把应力分量表达为x、y的一次函数。第一百一十二页，共一百三十一页，2022年，8月28日应力分量与应力函数具有如下关系：由量纲的和谐性，上式中各导数项应具有应力量纲。于是，应力函数在坐标的幂次上比应力高两次。也就是说，应力函数应用坐标的三次函数来表达，即可设（1）第一百一十三页，共一百三十一页，2022年，8月28日式中，系数a、b、c、d由边界条件确定。应力函数（1）恒满足相容方程。2.应力分量

将（1）式代入（3-29）式，则得：3.由边界条件确定待定系数

（2）第一百一十四页，共一百三十一页，2022年，8月28日

左侧面：

斜面：（3）第一百一十五页，共一百三十一页，2022年，8月28日代入边界条件（3-16）得：将（2）式应力分量代入（3）和（4）式，解得（4）第一百一十六页，共一百三十一页，2022年，8月28日将这些系数代回（2）式得应力解：第一百一十七页，共一百三十一页，2022年，8月28日§3-11简支梁受任意横向荷载的三角级数形式