第六章误差理论的基本知识

第六章误差理论的基本知识主要内容测量误差概述偶然误差的特性衡量精度的标准观测值的算术平均值基本要求：掌握产生误差的原因和测量误差分类，偶然误差的特性，以及评定精度的指标。重点：产生误差的原因和测量误差分类，算术平均值以及衡量精度的标准。难点：观测值的中误差。第一节误差概述什么是误差误差（Error)Δ（真误差）：观测值L与真值X的差值。

Δ=L–X真值X：反映一个量真正大小的绝对准确的数值。1、观测误差产生的原因：人----观测者感觉器官的鉴别力的局限仪器----测量仪器与测量方法给观测结果带来误差客观环境----客观环境给观测结果带来的影响观测条件：人、仪器、客观环境总称观测条件，它们是引起观测误差的主要因素。等精度观测——观测条件相同的各次观测非等精度观测——观测条件不同的各次观测2.测量误差的分类（表现形式）1）偶然误差(△a)在相同的观测条件下，对某量进行一系列的观测，若误差出现的符号和数值大小均不一致，而且从表而上看没有任何规律性，这种误差称为偶然误差单个偶然误差无规律，大量偶然误差有统计规律2）系统误差（△s）在相同的观测条件下，对某量进行一系列的观测，若误差出现的符号和数值大小均相同，或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。系统误差具有累积性，对测量结果影响很大，具有一定的规律性可以采用一定的方法将系统误差消除或减弱3）粗差（△g）由于观测者疏忽大意，操作不当，或受外界干扰等原因造成的测量错误测量中粗差不允许出现测量中，可通过一定的检核条件，判读是否有粗差存在，如有则重新观测以消除粗差3.学习误差理论的目的了解偶然误差产生的规律正确处理观测成果，即根据一组观测数据，求出未知量的最可靠值，并衡量其精度根据误差理论来指导实践，使测量作业能达到预期的精度要求。第二节偶然误差的特性

在相同的观测条件下，独立地观测了817个三角形的全部内角。由于观测结果中存在着偶然误差，三角形的三个内角观测值之和不等于三角形内角和的理论值（真值）。设三角形内角和的真值为X，观测值为Li，则三角形内角和的真误差（或简称误差）为Δi=Li-X（i一1，2，…n）

Δi=Li-X(i=1,2,…,n)

12

X=

k/n/d

Δi=Li-X(i=1,2,…,n)

14

X=

k/n/d

1、偶然误差的特性1)有界性：在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。

2)单峰性：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多。

3)对称性：

绝对值相等的正、负误差出现的机会基本相等。

4)补偿性：

偶然误差的算术平均值随着观测次数的无限增加而趋于零。

当n具有足够大时，误差在各个区间出现的相对个数就趋于稳定。误差分布曲线。其方程（称概率密度）为式中参数σ是观测误差的标准差（方根差或均方根差）

σ对偶然误差分布曲线形状的影响f(Δ)ΔO0.6830.683σ愈小，曲线顶点愈高，误差分布比较密集；反之较离散。1)有界性：2)单峰性：3)对称性：1．f(Δ)是偶函数。所以曲线对称于纵轴。这就是偶然误差的第三特性。2.Δ愈小，f（Δ）愈大。 当Δ=0时，f（Δ）有最大值： Δ愈大，f（Δ）愈小。 当Δ→±∞时，f（Δ）→0。 这就是偶然误差的第一和第二特性。如何处理含有偶然误差的数据？例如：对同一量观测了n次对标靶射n次观测值为:l1,l2,l3,….ln如何评价数据的精度？成绩多少？以上就是研究误差的两个目的第三节评定精度的指标 在一定的观测条件下进行一组观测，如果该组误差值总的说来偏小些，即误差分布比较密集，则表示该组观测质量好些，这时标准差σ的值也较小；反之成立。 因此，一组观测误差所对应的标准差值的大小，反映了该组观测结果的精度。所以在评定观测精度时，可用该组误差所对应的标准差σ的值。1.中误差设对某真值

已知的量进行了n次等精度独立观测得观测值l1，l2，┄ln各观测量的真误差Δ1，

Δ2，┄Δn

观测值精度可表示为：m称为观测值的中误差标准差σ跟中误差m的不同，在于观测个数n上例设对某个三角形用两种不同的精度分别对它进行了10次观测，试求这两组观测值的中误差。中误差与真误差不同，它只是表示一组观测值的精度指标，并不等于任何观测值的真误差。由于是等精度观测，每个观测值的精度都等于中误差。§3评定真误差精度的指标2.相对误差真误差和中误差都是绝对误差相对误差是专门为距离测量定义的精度指标相对误差——绝对误差的绝对值与相应观测值之比通常用分子是1的分式形式来表示工程测量第六章测量误差的基本知识例如丈量两条直线，一条长100m，另一条长20m，它们的中误差都是全10mm，那么，能不能说两者测量精度相同呢？即前者的精度比后者高。实践证明：大于一倍中误差的真误差，其出现的可能性约为31.7%。大于两倍中误差的真误差，其出现的可能性约为4.6％。大于三倍中误差的真误差，其出现的可能性只占3‰左右。3、极限误差结论：在观测次数不多的情况下，可认为大于三倍中误差的偶然误差实际上是不可能出现的测量中常取两倍中误差作为误差的限值，也就是在测量中规定的容许误差（或称限差）。|Δ容|=2m在有的测量规范中也有取三倍中误差作为容许误差的。|Δ容|=3m第四节算术平均值及其中误差

设在相同的观测条件下对未知量观测了n次，观测值为L1、L2……Ln，现在要根据这n个观测值确定出该未知量的最或然值。设未知量的真值为X，写出观测值的真误差公式为∆i=Li-X(i=1,2…n)将上式相加得或故设以x表示上式右边第一项的观测值的算术平均值，即以∆X表示算术平均值的真误差，即代入上式，则得由偶然误差第四特性知道，当观测次数无限增多时，∆X趋近于零，即也就是说，n趋近无穷大时，算术平均值x即为真值。1、等精度独立观测量的最可靠值在等精度观测条件下对某一量进行多次观测通常取算术平均值作为最后结果算术平均值是未知量的最可靠值或最或然值。2.白塞尔公式在实际工作中常用观测值的改正数求中误差算术平均值和观测值之差，称为观测值的改正数，通常以v表示。两端取和，得：将改正数和真误差相加得：即：将上式相乘，然后取和，得：上式两端除n，得：由于Δ1，Δ2，┄Δn

都是偶然误差，故Δ1Δ2

，Δ1Δ3┄也具有偶然误差的性质。根据偶然误差的第四个特性，当n

趋于无穷大时，其总和应趋近于零，即趋近于零当n为较大的有限值时，的值也远小于[ΔΔ]，故可忽略不记。于是上式得：根据中误差的定义得：即：这就是利用观测值改正数Vi