第15章 达朗伯原理

第十五章达朗伯原理

达朗伯原理刚体惯性力系的简化

引言

前面介绍的动力学普遍定理，为解决质点系动力学问题提供了一种普遍的方法。达朗伯原理为解决非自由质点系动力学问题提供了另一种普遍的方法。这种方法的特点是：用静力学研究平衡问题的方法来研究动力学的不平衡问题，因此这种方法又叫动静法。由于静力学研究平衡问题的方法比较简单，也容易掌握，因此动静法在工程中被广泛使用。15.1达朗伯原理

一、质点的达朗伯原理

设质量为的质点M，沿图示轨迹运动，在某瞬时作用于质点M上的主动力为，约束反力为，其加速度为。

根据动力学基本方程有将上式改写成令于是，假想是一个力，称之为质点的惯性力。的大小等于质点的质量与其加速度大小的乘积，方向与其加速度的方向相反。则有即：在质点运动的任一瞬时，作用于质点上的主动力、约束反力和假想加在质点上的惯性力构成形式上的平衡力系。这就是质点的达朗伯原理。15.1达朗伯原理

例1

球磨机的滚筒以匀角速度绕水平轴O转动，内装钢球和需要粉碎的物料，钢球被筒壁带到一定高度脱离筒壁，然后沿抛物线轨迹自由落下，从而击碎物料，如图。设滚筒内壁半径为，试求钢球的脱离角。

解：以某一尚未脱离筒壁的钢球为研究对象，受力如图。

钢球未脱离筒壁前，作圆周运动，其加速度为惯性力的大小为

假想地加上惯性力，由达朗伯原理15.1达朗伯原理

例1解得：

这就是钢球在任一位置时所受的法向反力，显然当钢球脱离筒壁时，，由此可求出其脱离角为15.1达朗伯原理

二、质点系的达朗伯原理

设非自由质点系由个质点组成，其中第个质点的质量为，其加速度为，作用在此质点上的外力的合力为，内力的合力为。在该质点上假想地加上惯性力，则由质点的达朗伯原理，有

对整个质点系来讲，有个这样的力系，将这些力系叠加，将构成一个任意力系，此任意力系亦为平衡力系。由静力学知，任意力系的平衡条件是力系的主矢和对任意点O的主矩分别等于零，即15.1达朗伯原理

二、质点系的达朗伯原理

因为质点系的内力总是成对出现，并且彼此等值反向，因此有和；而剩下的外力系又可分为作用在质点系上的主动力系和外约束反力系。设、分别为作用在第个质点上的主动力的合力和外约束反力的合力，于是的得即：在质点系运动的任一瞬时，作用于质点系上的所有主动力系，约束反力系和假想地加在质点系上的惯性力系构成形式上的平衡力系。这就是质点系的达朗伯原理。15.1达朗伯原理

例2

重P长的等截面均质细杆AB，其A端铰接于铅直轴AC上，并以匀角速度绕该轴转动，如图。求角速度与角的关系。

解：以杆AB为研究对象，受力如图。

杆AB匀速转动，杆上距A点的微元段的加速度的大小为

微元段的质量。在该微元段虚加惯性力，的大小为15.1达朗伯原理

例2

于是整个杆的惯性力的合力的大小为

设力的作用点到点A的距离为，由合力矩定理，有即

假想地加上惯性力，由质点系的达朗伯原理15.1达朗伯原理

例2代入的数值，有故有或15.2刚体惯性力系的简化

下面用静力学力系简化理论研究刚体运动时惯性力系的简化结果。

首先研究惯性力系的主矢。设刚体内任一质点的质量为，加速度为，刚体的质量为M，质心的加速度为，则惯性力系的主矢为由质心的矢径表达式知，将其两边对时间求两阶导数，有于是有此式表明：无论刚体作什么运动，惯性力系的主矢都等于刚体的质量与其质心加速度的乘积，方向与质心加速度的方向相反。15.2刚体惯性力系的简化

对于惯性力系的主矩，一般来说，除与刚体运动形式有关外，还与简化中心的位置有关。下面就刚体平动、定轴转动和平面运动讨论惯性力系的简化结果。

一、刚体作平动

如图所示，将惯性力系向刚体的质心C简化，惯性力系的主矩为式中，是质心C的矢径，由于C为简化中心，显然，于是有综上可得结论：平动刚体的惯性力系，可以简化为一个通过质心的合力，合力的大小等于刚体的质量与其质心加速度大小的乘积，方向与质心加速度的方向相反。15.2刚体惯性力系的简化

二、刚体绕定轴转动

如图所示，具有质量对称面且绕垂直于质量对称面的轴转动的刚体。其上任一点的惯性力的分量的大小为方向如图所示。该惯性力系对转轴O的主矩为由于通过O点，则有，所以故15.2刚体惯性力系的简化

综上可得结论：定轴转动刚体的惯性力系，可以简化为通过转轴O的一个惯性力和一个惯性力偶。力的大小等于刚体的质量与其质心加速度大小的乘积，方向与质心加速度的方向相反；力偶的矩等于刚体对转轴的转动惯量与其角加速度大小的乘积，转向与角加速度的转向相反。

现在讨论以下三种特殊情况：

2、当刚体作匀速转动时，，若转轴不过质心，惯性力系简化为一惯性力，且，同时力的作用线通过转轴O。

1、当转轴通过质心C时，，，。此时惯性力系简化为一惯性力偶。

3、当刚体作匀速转动且转轴通过质心C时，，，惯性力系自成平衡力系。

15.2刚体惯性力系的简化

三、刚体作平面运动

如图所示，设刚体作平面运动，取质心C为基点，这时可将刚体的作平面运动分解为随同质心的平动和绕质心的转动。将随同质心平动部分的惯性力系向质心C简化，得将绕质心轴转动部分的惯性力系向质心C简化，注意到转轴通过质心，得

将以上两式合并，即为刚体作平面运动时，惯性力系向质心C简化的结果15.2刚体惯性力系的简化综上可得结论：平面运动刚体的惯性力系，可以简化为通过质心C的一个惯性力和一个惯性力偶。力的大小等于刚体的质量与其质心加速度大小的乘积，方向与质心加速度的方向相反；力偶的矩等于刚体对过质心轴的转动惯量与其角加速度大小的乘积，转向与角加速度的转向相反。

在用达朗伯原理求解刚体动力学问题时，应首先分析刚体的运动形式，正确虚加惯性力和惯性力偶，然后再列平衡方程求解。15.2刚体惯性力系的简化

例3

如图所示，均质杆AB的质量，长，A点以铰链连接于小车上。不计摩擦，当小车以加速度向左运动时，求D处和铰A处的约束反力。

解：以杆为研究对象，受力如图，建立如图坐标。

杆作平动，惯性力的大小为。

假想地加上惯性力，则由质点系的达朗伯原理于是得15.2刚体惯性力系的简化

例3代入数据，解之得：15.2刚体惯性力系的简化

例4

均质悬臂梁AB长l，重W，B端与重G、半径为r的均质圆轮铰接。在圆轮上作用一矩为M的力偶，借助于细绳提升重为P的重物C。试求固定端A的约束反力。

解：先以轮和重物为研究对象，受力如图。

轮的惯性力系向转轴简化，则

物体C的惯性力的大小为方向如图所示。

假想地加上惯性力，则由质点系的达朗伯原理15.2刚体惯性力系的简化

例4

将，代入，解之得

再以整体为研究对象，受力如图，建立如图坐标。

假想地加上惯性力，则由质点系的达朗伯原理15.2刚体惯性力系的简化

例4

将，及代入，解得15.2刚体惯性力系的简化

例5

质量为，长为的均质直杆AB的一端A焊接于半径为的圆盘边缘上，如图。今圆盘以角加速度绕其中心O转动。求圆盘开始转动时，AB杆上焊接点A处的约束反力。

解：以杆为研究对象，受力如图，建立如图坐标。

杆AB作定轴转动，在开始转动的瞬时，质心的加速度为

将惯性力系向转轴简化，惯性力的大小为15.2刚体惯性力系的简化

例5

惯性力偶的矩为方向如图所示。

假想地加上惯性力和惯性力偶，则由质点系的达朗伯原理15.2刚体惯性力系的简化

例5由几何关系将已知数值代入以上三式，解之得15.2刚体惯性力系的简化

例6

重P、半径为r的均质圆轮沿倾角为的斜面向下滚动。求轮心C的加速度，并求圆轮不滑动的最小摩擦系数。

解：以圆轮为研究对象，受力如图，建立如图坐标。

圆轮作平面运动，轮心作直线运动，则

将惯性力系向质心简化，惯性力和惯性力偶矩的大小为方向如图所示。15.2刚体惯性力系的简化

例6

假想地加上惯性力和惯性力偶，则由质点系的达朗伯原理得解之得

由于圆轮没有滑动，则，即由此得所以，圆轮不滑动时，最小摩擦系数15.2刚体惯性力系的简化

例7

均质杆的质量为m，长为2l，一端放在光滑地面上，并用两软绳支持，如图所示。求当BD绳切断的瞬时，B点的加速度AE绳的拉力及地面的反力。

解：以AB杆为研究对象，在BD绳切断的瞬时，受力如图，建立如图坐标。

杆AB作平面运动，如图，以B点为基点，则C点的加速度为其中

将惯性力系向质心C简化，得一惯性力，其中，和一惯性力偶，其力偶的矩为15.2刚体惯性力系的简化

例7方向如图所示。

假想地加上惯性力和惯性力偶，则由质点系的达朗伯原理即（2）即（1）即（3）15.2刚体惯性力系的简化

例7

以B为基点，则A点的加速度为其中

将上式投影到本轴上得即（4）联立求解（1）——（4）式，得15.2刚体惯性力系的简化

例8

如图所示，均质杆AB长为l，重为Q，上端B靠在半径为R的光滑圆弧上（R=l），下端A以铰链和均质圆轮中心A相连，圆轮重P，半径为r，放在粗糙的地面上，由静止开始滚动而不滑动。若运动开始瞬时杆与水平线所成夹角，求此瞬时A点的加速度。

解：设系统运动的初瞬时，圆轮中心的加速度为，角加速度为；AB杆的角加速度为，质心C的加速度为、。如图。

轮和杆均作平面运动，将惯性力系分别向质心简化，则惯性力和惯性力偶的矩的大小分别为15.2刚体惯性力系的简化

例8

先以整体为研究对象，受力如图。假想地加上惯性力和惯性力偶，则由质点系的达朗伯原理(1)15.2刚体惯性力系的简化

例8

再以AB为研究对象，受力如图。假想地加上惯性力和惯性力偶，则由质点系的达朗伯原理（2）

AB杆作平面运动，先以B点为基点，则A点的加速度为其中其加速度合成矢量图如图所示。

将其投影于轴，得（3）15.2刚体惯性力系的简化

例8

再以A为基点，则C