第四章 持续期与凸性

第四章持续期与凸性债券风险中，价格风险是非常重要的内容。衡量价格风险的主要指标是持续期和凸性持续期可以衡量收益率曲线水平与非水平变动下，债券价格的变化。凸性可以弥被持续期不足，更精确地衡量债券价格风险。这两个指标可以广泛地应用在组合免疫和避险上。第一节影响债券价格—利率敏感性的因素一、利率与债券价格关系债券价格与市场利率相反关系，利率越高，债券价格越低，利率越低，债券价格越高。如下图所示：到期收益率价格P2P1y2y1二、基点价值与价格波动的收益率价值为分析债券价格与到期收益率之间的关系，人们建立了基点价值与价格波动收益率价值两个概念。1.基点价值。指到期收益率变动一个基点所对应的债券价格变化额。一个基点是0.01%例：一个债券期限为5年，票面利率为9%，半年支付一次息，价格为100元，求该债券的基点价值。2.价格波动收益率。指债券价格发生一定金额变化（在美国一般指一美元的1/32）所对应的到收期收益率变化幅度。例：一个债券期限为5年，票面利率为9%，半年支付一次息，价格为100元，求该债券价格波动的收益率价值。三、影响价格—利率敏感性的主要因素1.偿还期：假定其它因素不变，偿还期越长，价格—利率敏感性越大，但随着偿还期的延长，敏感性增大的速度下降。2.票面利率：假定其它因素不变，票面利率越低，价格—利率敏感性越大。3.市场利率。假定其它因素不变，市场利率越低，价格—利率敏感性越大。但市场利率同样幅度的上升与下降，引起债券价格波动幅度却是不相同的。利率下降引起债券价格上升的幅度，要高于同样幅度的利率上升引起的债券价格下降的幅度。第二节持续期duration一、金额持续期（一）定义与数学解释、金额持续期是指市场利率发生1个百分数的变化，债券价格变化的金额。下面是持续期公式的推导过程：1.如果到期收益率曲线呈水平状，那么债券价格如果到期收益率发生微小变化，债券价格变化为：2.如果到期收益率曲线不是水平状，债券价格为：如果到期收益率有一个微小的变化，债券价格的变化应该是债券价格的全导数：如果到期收益率曲线是水平移动的，即各期收益率都波动dy，那么：3.把1/(1+y)当作一个共同因子，从上式提取出来。这不是一个严格的数学推导，而是求取债券价格变化的近似等式。4.我们可以用金额持续期来反映市场利率变化一个百分点引起的债券价格变化数额：5.由得：PS：为了与债券价格计算公式相匹配，债券的金额持续期的计算更应该为：注意：上式中的dt不是积分，而是折现因子。二、持续期几何解释对于价格-到期收益率曲线，当利率由y1下降到y2时，债券价格由P1升到P2，用持续到期收益率价格y1y2P1P2P’2期计算，则为P‘2。当市场利率变化不大时，两者相差不大，当市场利率变化较大时，两者相差会较大。例：计算金额持续期：8年债券,面值100,票面利率10%,1年支付一次。期限(年)到期收益率折现因子现金流现值t倍现值14.5056%0.9569109.579.5724.6753%0.9127109.1318.2534.8377%0.8679108.6826.0444.9927%0.8229108.2332.9255.1404%0.7783107.7838.9265.2807%0.7344107.3444.0675.4136%0.6914106.9148.4085.5391%0.649711071.47571.74价值129.11789.89金额持续期7.9如果半年付款一次，注意利率的变化。例：一个期限2面值100利率6%债券，一年付息两次，到期收益率如表所示。计算金额持续期。期限(年)到期收益率折现因子现金流现值t倍现值14.4181%0.978432.942.9424.5056%0.956432.875.7434.5914%0.934232.80804144.6753%0.911710393.91375.62价值102.51392.70金额持续期3.92注意：第一期和第二期折现因子是这样得来的一年支付两次的金额持续期二、比率持续期利率波动一个百分点对债券价格波动幅度所造成的影响，需要建立债券价格波动率这一指标，这一指标可用比率持续期来Ω表示。由于：定义例：上例中，债券的金额持续期为3.92，债券的价格为102.51，则其比率持续期为：3.92/102.51=3.82%即到期收益率曲线移动一个百分点，债券价格将发生3.82%的波动。三、修正持续期修正持续期是在比率持续期的基础上考虑短期利率的影响。定义为：如果半年支付一次利息，则例：一个债券的金额持续期为15.5，债券的价格为144.46，1年期利率为4.5056%，其修正持续期为：先计算比率持续期：然后计算修正持续期：四、有效持续期有效持续期的定义为：其中，P-为到期收益率下降Δy时债券价格P+为到期收益率上升Δy时债券价格P为债券目前价格Δy为到期收益率波动的基点。例：一个20年期债券，票面利率9%，一年支付一次利息，债券非含权。债券价格为150，到期收益率为6%。到期收益率分别上升和下降20基点时，债券价格分别为145和156。该债券的有效持续期。五、组合的持续期（一）组合的金额持续期当得到各种债券金额的持续期后，可以用下面的方法求得一个组合的金额持续期Ni为第i种证券投资数量，Δi持续期为第i种证券金额持续期（二）组合的比率持续期当得到各种债券比率持续期后，可以用下面的方法求得一个组合的比率持续期ωi为第i种证券投资比重，Ωi为第i种证券比率持续期当堂作业11.有一个10年期付息票债券，面值1000元，票面利率为10%，一年付息一次，到到期收益率如下：求其金额持续期。期限12345利率%4.54.64.84.95.1期限678910利率%5.25.45.55.65.7期限到期收益率折现因子现金折现t倍折现10.0450.95693810095.6937895.6937820.0460.9139810091.39799182.79630.0480.86879310086.87927260.637840.0490.82584410082.58441330.337650.0510.77980610077.98057389.902960.0520.73774410073.77438442.646370.0540.69201510069.20153484.410780.0550.65159910065.15989521.279190.0560.61238510061.23853551.1467100.0570.5744471100631.89196318.919合计

1335.8029577.77金额持续期

95.78当堂作业计算题：2，32题计算：利用有效持续期来计算利用有效持续期，构建下式：书中答案为：1083.先计算金额持续期：债券的价格第三节凸性一、金额凸性（一）定义与由来凸性是债券价格变化曲线的曲度。即利率一个微小变化引起的债券持续期的变化比率。凸性直接来自泰勒展开式：如果只取等式前两项，那么债券价格变化近似为：1.当到期收益率曲线是水平时，债券价格为所以：定义金额凸性因此因此1.当到期收益率曲线是水平时，债券价格为如果定义y为短期利率,可以有：定义金额凸性因此因此（二）金额凸性的经济意义金额凸性的经济含义是由于凸性特征的存在，引起债券价格的额外变化。对下例所做经济解读为：该债券的金额持续期为7.9。经济含义是如果收益率曲线水平移动一个百分点，债券价格将波动7.9。该债券的金额凸性为0.6417，说明如果收益率曲线变动1个百分点，则除变动7.9外，债券价格还要变动0.32例：计算金额凸性：8年债券,面值100,票面利率10%,1年支付一次。期限到期收益率折现因子现金流现值t倍现值t(t+1)倍现值14.5056%0.9569109.579.5719.1424.6753%0.9127109.1318.2554.7534.8377%0.8679108.6826.04104.1644.9927%0.8229108.2332.92164.655.1404%0.7783107.7838.92233.5265.2807%0.7344107.3444.06308.4275.4136%0.6914106.9148.40387.285.5391%0.649711071.47571.745145.66价值129.11789.896417.45金额持续期7.90.6417（三）一年两次或多次付息的情况如果一年付息两次的付息票债券，其金额凸性计算为：定义金额凸性为：如果一年付息多次的付息票债券，其金额凸性计算为：定义金额凸性为：（四）凸性的作用使得价格波动计算更精确。二、比率凸性指由于凸性的作用，在市场利率波动一个百分点时债券价格发生多少个百分点的波动。计算公式有：其中n表示一年付息的次数。三、修正凸性考虑了短期利率大小对比率凸性的影响。其中n表示一年付息的次数。四、有效凸性有效凸性的定义为：其中，P-为到期收益率下降Δy时债券价格P+为到期收益率上升Δy时债券价格P0为债券目前价格Δy为到期收益率波动的基点。五、组合的凸性（一）组合的金额凸性当得到各种债券金额凸性后，可以用下面的方法求得一个组合的金额凸性Ni为第i种证券投资数量，

Γi为第i种证券金额凸性（二）组合的比率凸性当得到各种债券比率凸性后，可以用下面的方法求得一个组合的比率凸性ωi为第i种证券投资比重，Γi.Ratio为第i种证券比率凸性当堂作用计算金额凸性：4年债券,面值100,票面利率6%,1年支付一次。到期收益率如下表所示期限1234利率4.5%4.6%4.8%5%例：计算金额凸性：8年债券,面值100,票面利率10%,1年支付一次。期限到期收益率折现因子现金流现值t倍现值t(t+1)倍现值14.5%0.956965.74165.741611.483324.6%0.914065.483910.967832.903334.8%0.868865.212815.638362.553145%0.822710687.2165348.82581744.1292合计103.6447381.17351851.0688金额持续期3.81金额凸性0.19第四节持续期免疫与避险一、平衡点-持续期平衡点指债券投资者面临的价格风险与再投资收益率风险刚好相等，因而投资者所获得的收益基本稳定，而不管利率如何发生变化。也就是说，债券在其期限内，存在一个时间点，不论再投资收益率如何变化，在此时间点所获收益基本稳定。持续期即是平衡点？例4-19：在0时点上购买票面利率7%的债券，价值1000元。该债券期限10年，一年支付利息一次。该债券比率持续期为7.5年。你的投资期为7.5年。在时点7.5，你累积的财富将大致相等，而不管在0时点市场利率发生了怎样的变化。1.如果在零时点利率为7%:2.如果在债券购买(零时点)后利率立即降到4%3.如果在债券购买(零时点)后利率立即上升到10%为什么?价格风险被再投资风险抵销二、债券免疫（一）定义债券免疫是指资产和负债的现金流量相吻合。在不特别限制投资选择的情况下，免疫目标比较容易实现。通常情况下，免疫的主体包括退休基金、寿险公司、商业银行等。（二）步骤免疫通常有以下四个步骤1.找到负债的持续期2.选择一个组合，该持续期等于前面负债的持续期。3.选择每个证券投资的数量，使得组合的现值等于负债的现值。4.当市场利率发生变化，或者负债偿还，组合中短期债券到期等情况发生后，要调整投资组合。投资者可以从修正持续期、比率持续期、金额持续期出发，来寻找免疫的策略。但无论利用哪种持续期，资产与负债持续期的定义要保持一致。例4-13:单一负债的免疫。假定你10年后必须偿还1931元，到期收益率是水平的，为10%。负债的现值。负债的持续期=10。有一20年期债券，面值1000，票面利率7%(一年支付)，价格745，持续期大约为10年。投资者可以选择它实现免疫。因为当利率变化后，这一债券价值可以足够满足负债价值。即投资者可以随时卖掉手里债券，偿还负债。见下表收益率发生变化后情况收益率债券价值负债价值414091305611151078890289510745745126276221453652116466438例：4-21：用债券组合免疫一组负债。找到最高到期收益率的债券组合来免疫一组已知负债一组负债：第1年年底100；第2年年底200；第3年年底50。第一步:根据到期收益率曲线计算出负债的现值和持续期，从而得到免疫曲线（immunizationcurve）计算负债现值与持续期IRRPV(比率)持续期修正持续期6%$314.321.8331.7297%$308.961.8301.7108%$303.751.8261.6919%$298.691.8221.67210%$293.761.8181.653第二步:分析哪些债券可以用来构建组合,对于每一种债券,都计算出到期收益率和持续期

利率期限$100面值IRR持续期修正持续期

81101.416.5%1.9396.72100.736.3%1.9371.82295107.347.2%4.2683.9818.58102.878.0%6.14755.692第三步:将债券和免疫曲线画出

(修正持续期vs.到期收益率).本图可以告诉我们哪种债券组合可以产生最大的IRR.在本例中,1年期债券与8年期债券的组合或许会产生最高的到期收益率.也可以采用其他组合.你建议哪个组合?剩下的事情是决定每种债券投资的数量,使得:1)组合的现值等于负债的现值.2)持续期相等.根据已知的到期收益率,负债修正持续期大约为1.7年.1年期和8年期债券的组合权重为:X(0.939)+(1–X)(5.692)=1.7这意味着84%投资于1年期债券,而16%投资于8年期债券.三、避险（一）定义指利用一种证券给另一种证券的价格变化提供保护。（二）利用持续期避险例4-24。做市商的资产组合的避险一公司债券做市商在某交易日末尾拥有5年期公司债券面值100万，票面利率6.9%（半年支付），价格为平价。该债券流动性很差，因此出售该债券会遭受很大的损失。而隔夜持有该债券也有很大风险，因为如果市场利率上升，该债券价格会下降。替代出售该公司债券的做法有不少，其中之一是卖空流动性很强的国债。市场中有下面两种债券:10年期，利率8%的国债，价格P=1,109.0（面值$1,000）3年期，利率6.3%的国债，价格P=1,008.1（面值$1,000）问题：a.为了避险，应该卖空多少10年期国债？如果卖空3年期国债，卖空多少？b.如果所有债券到期收益率一夜之间上升1%，该做市商在了结自己的卖空头寸之后，自己的交易结果如何？c.如果他要卖空这两种国债，那么10年期和3年期国债各卖空多少？为了回答(a)，需要进行如下操作：1.找到被避险债券的修正持续期2.找到卖空债券的修正持续期3.找到避险系数（hedgeratios）对于5年期公司债券而言，票面利率6.9%，平价交易，因此y=6.9%，修正久期Dm=4.1688对于10年期国债而言，票面利率8%，价格1109.0，y=6.5%，修正久期Dm=7.005对于3年期国债而言，票面利率6.3%，价格1008.1，y=6.00%，修正久期Dm=2.700设10年期国债卖空数量x：

x×7.005=100×4.1688；x=593,861.5设3年期国债卖空数量y：y×2.7=100×4.1688；y=1544000(b):如果全部债券的到期收益率一夜之间都上升了1%,看一看做市商了结卖空头寸后的交易结果5年期公司债券收益率y=7.9%，价格下降到959.344。投资者损失：100×(1-0.959344)=$40,65610年期国债y=7.5%，价格下降到1034.74，为原来的93.3%(1034.74/1109=.933)。卖空盈利为：

(1-.933)(593,861.5)=$39,765.73年期债券y=7%，价格下降到981.35，为原来97.35%(981.35/1,008.1=.97346)，卖空盈利为：

(1-.97346)(1,540,720)=$40,891c.如果他要卖空这两种国债，那么10年期和3年期国债各卖空多少？为了避险,被避险公司债券的价值应该等于避险债券价值,而且资产和负债的持续期应该相等:x(7.005)+(1-x)(2.7)=4.1688X=34.12%1-x=65.78%x为10年期国债卖空的比重四、持续期与凸性在投资组合风险管理中的应用（一）其他因素都一样，凸性被认为可以作为一个有益因素，对投资者是有价值的。固定收益证券管理中存在着努力实现组合凸性最大化动机。那么如何获得？（二）Barbellsvs.Bullets策略通常认为，在其他因素不变的情况下，一次性支付（Bulletpayment）的凸性要小于杠铃式—现金流量两头分布（Barbellpayments）。因此Barbell会给投资者带来收益。（三）给定到期收益率和修正持续期，票面利率越低，凸性越小。例4-25:Bulletvs.Barbell策略有以下国债，均为平价交易:BondCoupon(%)Maturity(yrs)YieldsDmΓmA8.558.54.0019.81B9.5209.58.88124.2C9.25109.256.4355.451.两种国债组合策略:（1）只投资于C(bulletstrategy)（2）投资于A和B，组合的金额持续期等于C.也就是A投资50.2%，B投资49.8%。因为：50.2%×

4.00+49.8%×

8.88=6.432.组合中存在收益与凸性的均衡组合经理期望在市场利率变化后，barbell表现得好一些，所以该经理或许愿意舍弃一点收益率，而获得较高的凸性。

bullet的到期收益率为9.25%；假定barbell的到期收益率是两个债券的加权平均，barbell的到期收益率为:0.502×8.5%+0.498×9.5%=8.998%在本例中，该经理为获得凸性已经舍弃了一些收益率。Bulletvs.Barbell比较利率波动.水平移动变平缓变陡

-5.0-7.19-10.69-3.89-4.0-4.00-6.88-1.27-3.5-2.82-5.44-0.35-2.0-0.59-2.551.25-1.00.06-1.541.570.00.25-1.061.482.0-0.31-1.180.492.75-0.73-1.46-0.053.00-0.88-1.58-0.243.75-1.39-1.98-0.85变陡：意思是5年期到期收益率比水平移动少涨25个基点,而20年期到期收益率比水平移动多涨25个基点。上表说明的是在6个月的持有期间，bullet收益金额减去barbell收益金额后的结果。barbell策略不是永远好于bullet,为什么?到期收益率曲线水平、变陡、变缓三种情况下，bullet相对于barbell的优劣。变缓：意思是5年期到期收益率比水平移动多