第1章信号及其描述-1

车辆测试技术第1章信号及其描述信号的分类与描述周期信号与离散频谱顺变非周期信号与连续频谱随机信号车辆测试技术第一节信号的分类与描述概述信号的分类信号的时域和频域描述信号的定义：物理角度，数学角度，工程角度。信号就是承载某种或某些信息的物理量的变化历程。信号就是函数，就是某一变量随时间或频率或其他变量而变化的函数。信号表现为一组数据或波形，这组数据通常是由某一检测仪器，如传感器，从某一物理系统上检测得到的，以数据的形式记录在纸上，或存储在某种磁性介质上，或以波形形式显示在仪器的显示屏上。车辆测试技术一、概述交通信号灯信息信号信息的载体是光信号红灯亮黄灯亮绿灯亮停止通行注意车辆测试技术如心电图，就是利用仪器从人体上获得的心脏跳动的数据，通常显示在仪器上供医生诊断之用，或记录在纸上作为病人病例记录。车辆测试技术

信号的分类主要是依据信号波形特征来划分的，在介绍信号分类前，先建立信号波形的概念。信号波形：被测信号的幅度随时间的变化的历程称为信号波形。信号波形电容传声器齿轮啮合振动二、信号的分类

车辆测试技术常见标准信号波形车辆测试技术信号波形图：用被测物理量的强度作为纵坐标，用时间做横坐标，记录被测物理量随时间的变化情况。车辆测试技术

为深入了解信号的物理实质，将其进行分类研究是非常必要的，从不同角度观察信号，可分为：从信号描述上：确定性信号与非确定性信号；从信号幅值和能量：能量信号与功率信号；从分析域：时域与频域；从连续性：连续时间信号与离散时间信号；从可实现性：物理可实现信号与物理不可实现信号。车辆测试技术1、确定性信号与非确定性信号

可以用明确数学关系式描述的信号称为确定性信号。不能用数学关系式描述的信号称为非确定性信号。信号非确定性信号确定性信号非平稳随机信号平稳随机信号非周期信号周期信号简单周期信号一般周期信号准周期信号瞬态信号车辆测试技术周期信号：按一定时间间隔周而复始出现的信号

x(t)

=

x(t+nT)简单周期信号一般周期信号车辆测试技术谐波信号频率单一的正弦或余弦信号。简单周期信号：信号的“波形”车辆测试技术+=x1(t)=A1Sin(ω1t+θ1)=A1Sin(2πƒ1t+θ1)=10Sin(2π·3·t+π/6)x2(t)=A2Sin(ω2t+θ2)=A2Sin(2πƒ2t+θ2)=5Sin(2π·2·t+π/3)x3(t)=10Sin(2π·3·t+π/6)+5Sin(2π·2·t+π/3)+=由多个乃至无穷多个频率成分叠加而成，叠加后存在公共周期的信号一般周期信号:车辆测试技术b)非周期信号：再不会重复出现的信号。准周期信号:由多个周期信号合成，其中至少有一对频率比不是有理数。车辆测试技术瞬态信号：在有限时间段内存在，或随着时间的增加而幅值衰减至零的信号。0车辆测试技术(a)锤击物体的力信号(b)T’段为汽车加速过程信号(c)半个正弦信号(d)矩形窗信号车辆测试技术c)非确定性信号：不能用数学式描述，其幅值、相位变化不可预知，所描述物理现象是一种随机过程。平稳与非平稳噪声信号(平稳)噪声信号(非平稳)统计特性变异车辆测试技术2.连续信号与离散信号时间幅值连续离散被采样信号模拟信号连续离散量化信号数字信号车辆测试技术(a)汽车速度连续信号(b)开水房锅炉水温度的变化连续信号车辆测试技术(c)每日股市的指数变化（离散信号）(d)某地每日的平均气温变化（离散信号）(e)每隔5分钟测定开水房锅炉水的温度变化（离散信号）(f)每隔2微妙对正弦信号采样获得的离散信号车辆测试技术3.能量信号与功率信号

a)能量信号当信号x(t)在所分析的区间（-∞，∞），能量为有限值的信号称为能量信号，满足条件：

一般持续时间有限的瞬态信号是能量信号。车辆测试技术b)功率信号当信号x(t)在所分析的区间（-∞，∞），能量。此时，在有限区间(t1,t2)内的平均功率是有限的。一般持续时间无限的信号都属于功率信号。噪声信号一般周期信号车辆测试技术信号的时域描述：以时间为独立变量，其强调信号的幅值随时间变化的特征。信号的频域描述：以角频率或频率为独立变量，其强调信号的幅值和相位随频率变化的特征。三、信号的时域和频域描述信号的“域”时域频域车辆测试技术时域描述：直接观测或记录到的信号，以时间为独立变量的，称其为信号的时域描述。车辆测试技术频域描述：以频率作为变量的，称其为信号的频域描述。周期信号的频域描述车辆测试技术第二节周期信号与离散频谱傅立叶级数三角展开傅立叶级数复指数展开车辆测试技术时域分析反映信号的幅值随时间的变化情况，频域分析反映信号的频率组成和各频率分量大小。

图例：受噪声干扰的多频率成分信号

28车辆测试技术

信号频域分析是采用傅立叶变换将时域信号x(t)变换为频域信号X(f)，从另一个角度来了解信号的特征。8563ASPECTRUMANALYZER9kHz-26.5GHz傅里叶变换一.周期信号的频谱分析——傅立叶级数三角展开车辆测试技术时间幅值频率时域分析频域分析信号的频谱X(f)代表了信号在不同频率分量处信号成分的大小，它能够提供比时域信号波形更直观，丰富的信息。时域分析与频域分析的关系谱线车辆测试技术 在有限区间上，一个周期信号x（t）当满足狄里赫利条件时可展开正交函数线性组合的无穷级数，如三角函数集的傅里叶级数。 式中，T――周期，ω0――基波圆频率，

。注意：an是n或nω0的偶函数，a-n=an；

bn是n或nω0的奇函数，b-n=-bn。

车辆测试技术狄里赫利条件:（1）函数在一周期内极大值与极小值为有限个。（2）函数在一周期内间断点为有限个。（3）在一周期内函数绝对值积分为有限值。即车辆测试技术信号x（t）的另一种形式的傅里叶级数表达式：

式中，

An称信号频率成分的幅值，φn称初相角。注意：An是n或nω0的偶函数，A-n=An；

φn是n或nω0的奇函数，φ-n=-φn。

并可知：n＝1,2,……n＝1,2,……车辆测试技术小结与讨论式中第一项a0为周期信号中的常值或直流分量；从第二项依次向下分别称信号的基波或一次谐波、二次谐波、三次谐波、……、n次谐波；将信号的角频率ω0作为横坐标，可分别画出信号幅值An和相角φn随频率ω0变化的图形，分别称之为信号的幅频谱和相频谱图。

车辆测试技术例1求图所示的周期方波信号x（t）的傅里叶级数及其频谱。 解：信号x（t）在它的一个周期中的表达式为：

有：图周期方波信号

注意：本例中x(t)为一奇函数，而cosnω0t为偶函数，两者的积x(t)cosnω0t也为奇函数，而一个奇函数在上、下限对称区间上的积分值等于零。

车辆测试技术可得周期方波信号的傅里叶级数表达式为：

周期方波信号的频谱图车辆测试技术周期函数的奇偶特性若周期函数x(t)为奇函数，即x(t)=-x(-t)若周期函数x(t)偶函数，即x(t)=x(-t)车辆测试技术周期性三角波作业:周期性三角波的三角频谱车辆测试技术周期信号频谱特点

1、由于

为整数，各频率分量仅在

的频率处取值，因而得到的是关于幅值

和相角

的离散谱线﹔2、诸分量频率都是基波频率的整数倍﹔3、各频率分量的谱线高度表示该谐波的幅值和相位角，工程上常见的信号，其谐波幅值总的趋势是随谐波次数的增高而减小的。周期信号的频谱具有离散性、谐波性和收敛性三个特点。车辆测试技术欧拉公式则那么令二、傅里叶级数的复指数函数展开式：an是n的偶函数，a-n=an；bn是n的奇函数，b-n=-bn。

车辆测试技术即由所以即车辆测试技术一般情况下，Cn是复数42Cn与C-n共轭把周期函数x(t)展开为傅立叶级数以后，作关系图

CnR—ω0称为实频图

CnI—ω0称为虚频图

|Cn|—ω0称为双边幅频图，n=-∞~+∞，nω=-∞~+∞，

φn—ω0称为双边相频图车辆测试技术解：有

例

求周期矩形脉冲的频谱，设周期矩形脉冲的周期为T，脉冲宽度为τ，如下图所示。图周期矩形脉冲

由于ω0=2π/T，代入上式得 定义

则上式变为 可得到周期矩形脉冲信号的傅里叶级数展开式为的图像:车辆测试技术傅里叶变换傅里叶变换的主要性质几种典型信号的频谱第三节

瞬变非周期信号与连续频谱车辆测试技术非周期信号准周期信号信号中各简谐成分的频率比为无理数具有离散频谱瞬变信号在一定时间区间内存在或随时间的增长衰减至零准周期信号x(t)0tx(t)0t瞬变信号I0tx(t)瞬变信号II车辆测试技术车辆测试技术一.瞬变非周期信号频谱的求取方法周期信号x(t)，在[-T/2,T/2]区间内式中，当T→∞时，

①积分区间由[-T/2,T/2]变为(-∞,∞)；

②ω0=2π/T

→0，→离散频率nω0→连续变量ω。

X(ω)为单位频宽上的谐波幅值，具有“密度”的含义，故把X(ω)称为瞬态信号的“频谱密度函数”，或简称“频谱函数”。一般为复数，用X(ω)表示为：X(ω)称为信号x(t)的傅立叶变换。

车辆测试技术傅立叶逆变换当T→∞时，ω0=2π/T→0

，①ω0=dω②离散频率nω0→连续变量ω③求和Σ→积分。则：x(t)为X(ω)的傅立叶逆变换（反变换）周期信号瞬变非周期信号傅立叶变换对由于ω=2πƒ52-f

连续幅值谱-f

连续相位谱矩形窗函数矩形窗函数

例:矩形窗函数的频谱矩形窗函数频谱例：单边指数衰减函数的频谱周期和非周期信号幅值谱的区别

①|X(ƒ)|为连续频谱，而|Cn|为离散频谱；②|Cn|的量纲和信号幅值的量纲一致，即振幅，而|X(ƒ)|的量纲相当于|Cn|/ƒ，为单位频宽上的幅值，即“频谱密度函数”，振幅/频率（如cm/Hz）。非周期信号幅值谱|X(ƒ)|与周期信号幅值谱|Cn|之间的区别：车辆测试技术二.傅立叶变换的性质a.若x(t)是实函数a1.若x(t)为实偶函数，则ImX(ƒ)=0，而X(ƒ)是实偶函数；a2.若x(t)为实奇函数，则ReX(ƒ)=0，而X(ƒ)是虚奇函数；b.若x(t)是虚函数b1.若x(t)为虚偶函数，则ReX(ƒ)=0，而X(ƒ)是虚偶函数；b2.若x(t)为虚奇函数，则ImX(ƒ)=0，而X(ƒ)是实奇函数。1.奇偶虚实性车辆测试技术如果有则2.线性叠加性

证明﹕

车辆测试技术例子：求下图波形的频谱+X1(f)X2(f)用线性叠加定理简化车辆测试技术3.对称性若:(时域信号)x(t)↔X(ƒ)(频域信号)，则X(t)↔x(-ƒ)

11车辆测试技术对称性：X(t)x(-f)证明：

互换t

和f从而：X(t)x(-f)车辆测试技术4.时间尺度改变特性若，则对于实常数，有当时域尺度压缩(>1)时，对应的频域展宽且幅频谱谱线高度减小；当时域尺度展宽(<1)时，对应的频域压缩且幅频谱谱线高度增加。信号的持续时间与信号占有的频带宽成反比。车辆测试技术信号持续时间扩展k倍(k>1)，则信号的频宽压缩k倍，而幅值变为原来的k倍。

k=1时间尺度改变性

证明：（k>0）（k<0）综上所述时间尺度改变特性表明：信号在时域中压缩（k>1，变化速度加快）等效于在频域扩展（频带加宽）；反之亦然。5.时移性65若，则在时域中信号沿时间轴平移一常值t0（时移），则如果信号在时域中延迟了时间t0，其频谱幅值不会改变，而相频谱中各次谐波的相移-2πƒt0，与频率成正比。

例求图所示矩形脉冲函数的频谱。解：该函数可视为一个中心位于坐标原点的矩形脉冲时移至t0点位置所形成，则其傅里叶变换及幅频谱和相频谱分别为证明：若t0为常数

则时移结果只改变信号的相频谱，不改变信号的幅频谱时移性质

图x(t)cosω0t的频谱6.频移性若，在频域中信号沿频率轴平移一常值ƒ0（频移），则证明：若f0为常数

则频移性质

时域表达式例:求被截取的余弦信号的频谱函数7.卷积定理对于任意两个函数x1(t)和x2(t)，定义它们的卷积为：

若x1(t)↔X1(ƒ)，x2(t)↔X2(ƒ)，则 1.两个函数在时域中的卷积，对应于频域中的乘积2.两个函数在时域中的乘积，对应于频域中的卷积

x1(t)*x2(t)↔X1(ƒ)·X2(ƒ)x1(t)·x2(t)↔X1(ƒ)*X2(ƒ)车辆测试技术时域卷积特性证明71对于x1(t)和x2(t)，定义它们的卷积为：

若x1(t)↔X1(ƒ)，x2(t)↔X2(ƒ)，则

x1(t)*x2(t)↔X1(ƒ)X2(ƒ)

频域卷积特性证明对于和，定义它们的卷积为：

若x1(t)↔X1(ƒ)，x2(t)↔X2(ƒ)，则

x1(t)x2(t)↔X1(ƒ)*X2(ƒ)8.微分特性：证明：同理：车辆测试技术能量信号和功率信号

能量(energy)信号：例如：在右图所示的单自由度振动系统中： 由弹簧所积蓄的弹性势能为x2(t);

若x(t)表达为运动速度，则x2(t)反映的是系统的运动中的动能。定义：当x（t）满足关系式

则称信号x（t）为有限能量信号，简称能量信号。矩形脉冲、衰减指数信号等均属这类信号。图单自由度振动系统车辆测试技术功率(power)信号：当信号满足条件 亦即信号具有有限的（非零）平均功率，则称信号为有限平均功率信号，简称功率信号。车辆测试技术功率信号的傅里叶变换

只有满足狄里赫利条件的信号才具有傅里叶变换，即。 有限平均功率信号，它们在(-∞,∞)区域上的能量可能趋近于无穷，但它们的功率是有限的，即满足 利用δ函数和某些高阶奇异函数的傅立叶变换来实现这些函数的傅立叶变换。三、几种典型信号的频谱在ε时间内激发矩形脉冲（或三角脉冲、双边指数脉冲，钟形脉冲）所包含的面积为1；1.单位脉冲函数δ(t)及其频谱各种单位面积为1的脉冲矩形脉冲到δ函数

当ε→0时，的极限就称为单位脉冲函数，记作δ(t)，即（单位脉冲函数）。

(1)δ(t)的定义从极限角度:(2)δ(t)的特性从面积角度:矩形脉冲到δ函数车辆测试技术(3)δ(t)乘积性车辆测试技术(4)δ(t)的筛选性令t-τ=t’，则τ=t-t’，dτ=-dt’，代入则结果：x(t)与δ(t)的卷积等于x(t)。

δ函数的卷积特性(5)δ(t)与其它信号的卷积

结果：δ(t±t0)时卷积，就是将函数x(t)在发生脉冲函数的坐标位置上重新作图

当脉冲函数为δ(t±t0)时，与函数x(t)的卷积

δ函数的卷积特性2车辆测试技术(6)δ(t)的频谱逆变换：

δ(t)↔1

据对称性：1↔δ(ƒ)

δ函数的频谱直流分量的频谱车辆测试技术δ(t)↔1

1↔δ(ƒ)

根据时移特性：根据频移特性：车辆测试技术2.谐波函数余弦函数的频谱：

正弦函数的频谱：3.周期函数的频谱

周期函数x(t)的傅里叶级数形式： 式中

x(t)的傅立叶变换为：一个周期函数的傅里叶变换由无穷多个位于各谐波频率上的单位脉冲函数组成。4.周期单位脉冲序列的频谱

相等间隔的周期单位脉冲序列，常称为梳状函数

式中，Ts—周期，n—整数，n=0,±1,±2,±3,…。

该函数为周期函数，ƒs=1/Ts，用傅立叶级数的复指数形式表示：

时域中