复变函数第八章 场论

第八章场论电工理论与新技术研究所第八章场论1.场2.数量场的方向导数和梯度3.矢量场的通量及散度4.矢量场的环量及旋度5

几种重要的矢量场第一节场一、概念如果在某一空间区域内的每一点，都对应着某个物理量的一个确定的值，则称在此区域内确定了该物理量的一个场。如在教室中温度的分布确定了一个温度场，在空间电位的分布确定了一个电位场。如果这物理量是数量,就称这个场为数量场;如果是矢量,就称这个场为矢量场。若该物理量与时间无关，则该场称为稳定场(静态场)；若该物理量与时间有关，则该场称为不稳定场(时变场)。二、数量场的等值面、等值线如果数量场确定了,则场中各点处的场点值u就确定了,对于静态场,它只是空间坐标的函数.例如,在直角坐标系下,如温度场,电位场,高度场等.等值面数量场中量值相等的点构成的面.

等值线在函数所表示的平面数量场中，具有相同c的点，组成等值线，u=c1u=c2u=c3等值线等值面

线与线之间的高度差相等,等高线密,山势陡;等高线疏：山势缓.300m400m200m100m100m100m缓陡等值面、等值线研究的意义:可以直观的帮助我们了解场中的物理量的分布情况。例如：例1求数量场通过点的等值面方程。解:点M的坐标是,则该点的数量场值为

其等值面方程为:或三、矢量场的矢量线如果矢量场确定了,则场中各点处的矢量就确定了,对于静态场,只是空间坐标的函数.或例如,在直角坐标系下,如力场,速度场等.矢量线研究的意义:能够了解矢量场中各点矢量方向以及整个矢量场的分布.矢量线在曲线上每一点处,曲线都和对应该点的矢量相切.

如:静电场中的电力线、磁场中的磁力线等等。+IBX讨论（在M处与矢量线相切的矢量）矢量线的方程设为矢量线上任意一点，其矢径为则微分与在M处的场矢量共线。因此有：矢量线的微分方程解:矢量场满足的微分方程为例2求矢量场的矢量线方程。从而有解之即得矢量方程解:矢量场满足的微分方程为由由例3求矢量场的矢量线方程。通过点M(2,-1,1)所以过点的矢量线方程为:第二节数量场的方向导数和梯度一、问题的提出实例：一块长方形金属板，四个顶点的坐标分别为：(1,1),(5,1),(1,3),(5,3),在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热。假定板上任一点处的温度与该点到原点的距离成反比。在(3,2)处有一只蚂蚁，问这只蚂蚁沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地方？问题的实质：应沿由热变冷快的方向（即梯度方向）爬行。讨论函数u=u(x,y)在场中每一点M沿每一方向的变化情况。二、方向导数的定义如图所示：设函数u=u(x,y)在点M(x,y)的某一邻域u(M)内有定义，当M1

沿着l趋于M时，如果存在，则定义如下：记为定义1

函数的增量两点间的的距离如果比值的极限存在，则称此极限为函数在点M沿方向l的方向导数，当M1沿着l趋于M时，定理1

如果函数u=u(x,y)在点M(x,y)是可微的，那么函数在该点沿任意方向的方向导数都存在，且有：其中α,β为l与x,y轴的方向余弦。证明:由于函数可微，则增量可表示为得到两边同除以所以：

解：例1求函数u=xe2y在点P(1,0)处沿从点P(1,0)到点Q(2,-1)方向的方向导数。方向l即为方向l的方向余弦为：所以：解：(1)最大值；(2)最小值；(3)等于零？

例2

求函数u(x,y)=x2-xy+y2在点(1,1)沿与x轴方向夹角为α∈[-π,π]的方向射线l的方向导数。并问在怎样的方向上此方向导数有:推广可得三元函数方向导数的定义:对于三元函数u=u(x,y,z)，它在空间一点M(x,y,z)沿着方向l的方向导数，可定义为：同理，当函数在此点可微时，函数在该点沿任意方向l的方向导数都存在，且有：解:l的方向余弦为:例3求函数在点M(1,0,1)处沿方向的方向导数.则前面讲的是函数u沿直线的方向导数，此外还需要研究函数u沿曲线的方向导数，其定义如下：定义2

若在有向光滑曲线C上取定一点M0作为计算弧长s的起点，并以C之正向作为s增大的方向。如图所示，M为C上的任意一点，从点M出发沿C之正向取一点M1，记弧长MM1M0lC。若当M1→M时，比式的极限存在，则称此极限为函数u在点M处沿曲线C(正向)的方向导数，即定理2有向曲线如图所示。MM1M0lC证明:当曲线C光滑，函数u在点M处可微时，函数u沿l方向的方向导数就等于函数u对s的全导数，即：定理3若曲线C光滑，在点M处函数u可微，则有推论函数u在点M处沿曲线C（正向）的方向导数与函数u在M处沿切线方向(指向C的正向一侧)的方向导数相等,即解：例4求函数在点M(2，3)处沿曲线朝x增大一方的方向导数。则三、梯度问题：函数u在点M沿哪一方向增加的速度最快？由此可见，矢量G的方向就是函数u变化率最大的方向，其模也正好是这个最大变化率的数值。G称作函数u在给定点处的梯度，定义如下：1)梯度的概念定义3

若在数量场u中的一点M处，存在这样一个矢量G，其方向为函数u在点M处变化率最大的方向，其模也正好是这个最大变化率的数值，则称矢量G为函数u在点M处的梯度，记作gradu，即2)梯度的性质a.

函数u沿l方向的方向导数等于梯度在该方向上的投影。b.

函数u中每一点M处的梯度，垂直于过该点的等直面，且指向函数u增大的一方。由此可知，在等直面上任一点处的单位法矢量n0，可以用通过该点处的梯度表示如下：梯度运算的基本公式例5

求函数u=x2+2y2+3z2+3x-2y在点(1,1,2)处的梯度，并问在哪些点的梯度为零？故解：在点P0(-3/2，1/2，0)处梯度为0。解:①例6求数量场u=xy2+yz3在点M(2,-1,1)处的梯度及在矢量方向的方向导数.②例7设有位于坐标原点的点电荷q,由电学知道,在其周围空间的任一点M(x,y,z)处所产生的电位为:其中试求电位的梯度.解:由于电场强度所以结论:电场中的电场强度等于电位的负梯度.第三节矢量场的通量及散度实例：

以不可压缩流体的稳定流速场为例，认识通量。如图所示，S为流速场中的任意曲面，在面积元dS内的流速场可以看成均匀流速场。因此，在1秒内通过dS的流体的流量，即体积流量：通过曲面S的体积流量可见，通过任意曲面S的体积数量Q在数值上等于通过曲面S的流线的数量。事实上，这种形式的曲面积分，还存在于其它矢量场中，如电位移矢量D分布的电场中，穿过曲面S的电通量：在磁感应强度矢量B分布的磁场中，穿过曲面S的磁通量为了便于研究，数学上把形如上述的一类曲面积分，概括成为通量的概念，定义如下：(2)封闭曲面上的面元:封闭面的外法线方向。在矢量分析中,将曲面的一个面元用矢量来表示,其方向取为面元的法线方向,其大小为ds,即一、通量

是面元的法线方向单位矢量。(1)开曲面上的面元:右手螺旋法则。如果S是一个封闭面,则定义1矢量沿有向曲面的面积分称作矢量穿过有向曲面的通量。如果则有此式表明，通量是可以叠加的。1.通量的定义在直角坐标系中，设又则通量可以写成2.通量在直角坐标系中的表达式负侧面正侧面3.正、负、零通量的物理意义流体向正侧面流过面积元，为正流量流体向负侧面流过面积元，为负流量表示正流量多于负流量，表示正流量小于负流量通量即为向S正侧面流过的正负流量的代数和SMS正源负源泉源（正源）：产生流体漏洞（负源）：吸收流体统称通量源至于源的实际意义为何，应视具体的物理场而定。例如对于静电场而言：＋结论：

的值正比于S面中的净通量源的值，即S

面中的净电量。－例1在点电荷q所产生的电场中,任何一点M处的电位移矢量为其中r是点电荷q到点M的距离,是从点电荷q指向点M的单位矢量.设S为以点电荷为中心,R为半径的球面,求从内穿出S的电通量Φe

.解：二、散度由上述可知，在矢量场A(M)中，对于穿出闭曲面S的通量Φ，我们可以视其为正或负得知S内有产生Φ的正源或负源。但仅此还不能了解源在S内的分布情况以及源的强弱程度等问题。为了研究此问题，我们引入矢量场的散度概念。定义2设有矢量场A(M)，于场中一点M的某个邻域内作一包含M点在内的任一闭曲面ΔS，设其所包围的空间区域为ΔΩ，以ΔV表示其体积，以ΔΦ表示从其内穿出S的通量。若当ΔΩ以任意方式缩向点M时，如图所示1.散度的定义的极限存在，则称此极限为矢量场A(M)在点M处的散度，记作比式由此定义可见，散度为一数量，表示在场中一点处通量对体积的变化率，也就是在该点处对一个单位体积来说所穿出之通量，称为该点处源的强度。①矢量的散度是一个标量,是空间坐标点的函数.散度的物理意义:③散度代表矢量场的通量源的分布特性.②

散度体现了闭曲面S内各点通量源分布的密度；在矢量场中,若,称之为有源场,;若矢量场中处处,称之为无源场.(无源)(正源)(负源)如果把矢量场A中每一点的散度与场中之点一一对应起来，就得到一个数量场，称为由此矢量场产生的散度场。2.散度在直角坐标系中的表示式定理在直角坐标系中，矢量场在任一点M(x,y,z)处的散度为证明：例2.半径为R，带电量为q(q>0)的均匀带电球体的球心位于原点，求球内各点电场强度的散度。已知解：说明电场在球内各点是向外发出的，且在球内各点均有源，并且是正源。推论1通量公式可以用散度表示：（散度定理）穿出封闭曲面S的通量，等于S所围的区域Ω上的散度在Ω上的三重积分。

推论1体现了矢量函数的面积分与体积分的互换。该公式表明了区域

中场与边界上的场之间的关系。说明：例3球面S上任意点的位置矢量为试利用散度定理计算由散度定理得由于所以解:推论2若在封闭曲面S内处处有则推论3若在矢量场A内某些点(或区域)上有或不存在，而在其它的点上都有，则穿出包围这些点(或区域)的任意两张封闭曲面的通量都相等，即为一常数。解：例4

点电荷q在离其r处产生的电位移为求任意点处电位移的散度。可见，除点电荷所在源点（r=0）外，空间各点的电位移的散度均为零。因此根据推论3和例1的结果可知，电场穿过包含点电荷q在内的任何封闭曲面S的电通量都等于q，即若有m个点电荷，通过叠加得到：对于在电荷连续分布的的电场中，电位移矢量D的散度为电位移矢量D的散度等于电荷分布的体密度ρ.3.散度运算的基本公式(c为常数)例5

已知求。因为由于则解：第四节矢量场的环量及旋度实例：旋度最早是通过研究水流的漩涡建立起来的概念。河水流动时，由于水有内摩擦力，因而靠两岸速度较小，河中间速度较大，故漂在水面上的救生圈一边顺流而下，一边还会旋转，这说明水中有漩涡，如图所示：在平面流速场中，作有向封闭曲线L，如图所示，则沿L的环流，环流:=在匀速场中，V1=V2，则环流不等于0，说明区域ΔS有涡漩;环流等于0，说明没有涡漩。在变速场中，V1≠V2，则水流沿平行于水管轴线方向流动=0，无涡旋运动流体做涡旋运动0，有产生涡旋的源流速场如下图所示：这种形式的曲线积分，在其它矢量场中，也常常具有一定的物理意义。如安培环路定律：数学上把形如上述的一类曲线积分概括成为环量的概念，定义如下：

表示沿与积分路线成右手螺旋法则的方向通过l上所张曲面S的各电流的代数和。一、环量

环量表示绕线旋转趋势的大小。定义1

矢量

沿某封闭有向曲线l的线积分称为矢量场按积分所取方向沿该曲线的环量(或旋涡量),记为1.环量定义2.环量在直角坐标系中的表示定理在直角坐标系中，设矢量场又则环量可以写成解：

yxOLRR-R-R例1设有平面矢量场A=-yi+xj，L为场中的星形线，求此矢量场沿L方向的环量。二、旋度存在,则称此极限为矢量场在点M处沿方向的环量面密度.这个极限的意义就是环量的面密度,或称环量强度。当ΔS沿着自身缩向M点时,若极限定义2设M为矢量场中一点，且Δl与符合右手螺旋关系,Δl

包围的曲面为ΔS,如图所示：1.环量面密度2.环量面密度的计算公式则环量面密度为：为ΔS在点M处的法矢量，证明：例2求矢量场在点M(1,-2,1)处沿适量方向的环量面密度。解：由于面元是有方向的,它与封闭曲线Δl的绕行方向成右手螺旋关系,因此在给定点处,上述极限值对于不同的面元是不同的。为此,引入如下定义,称为旋度(curl或rotation):

可见,在给定点处，R在任一方向上的投影，就给出该方向上的环量面密度。因此R的方向为环量面密度最大的方向,其模就是最大环量面密度的数值，它描述矢量在该点处的旋涡源强度。这个矢量R称为矢量的旋度，并定义如下：3.旋度令则定义3若在矢量场中的一点M处存在这样的一个矢量,矢量场在点M处沿其方向的环量面密度为最大，这个最大的数值，正好就是|R|,则称矢量为矢量场在点M处的旋度，记作旋度的物理意义矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。某点的旋度的大小是该点环量面密度的最大值。某点的旋度的方向是该点最大环量面密度面元的方向。在矢量场中，若,称之为旋度场(或涡旋场)，称为旋度源(或涡旋源)；若矢量场处处，称之为无旋场。通常把矢量场中的每一点的旋度与场中之点一一对应起来而得到的一个矢量场，叫做由矢量场所产生的旋度场。例3

求矢量场的旋度.解:例4自由空间中的点电荷q所产生的电场强度为求任意点处()电场强度的旋度。解:可见,向分量为零;同样,向和向分量也都为零。故这说明点电荷产生的电场是无旋场。因旋度运算的基本公式:梯度的旋度恒等于零旋度的散度恒等于零c为常数u为数性函数证明:例5证明矢量场是无旋场.

00则:所以:为无旋场.证明:例6证明(即标量函数梯度的旋度等于零).

其中因为所以证:因为例7证明(即矢量函数旋度的散度等于零).

其中所以因为旋度代表单位面积的环量,因此矢量场在闭曲线l上的环量就等于l所包围的曲面S上的旋度之总和,即此式称为斯托克斯(Stokes)定理或斯托克斯公式。它可将矢量旋度的面积分变换为该矢量的线积分,或反之。三、斯托克斯定理曲面的法向量为

第五节几种重要的矢量场两个概念

1.线单连通域对V内任何一条简单闭合曲线l，都可以作出一个以l为边界，且全部位于区域V内的曲面S，即任一闭路都可以收缩为一点。否则，为线复连通域。

2.面单连通域V内任一简单闭合曲面S所包围的全部点都在V内，即V内没有“洞”。否则，为面复连通域。

空心球体环面体一、有势场定义1设有矢量场A(M)，若存在单值函数u(M)满足

则此矢量场为有势场。令v＝－u，并称v为这个场的势函数。说明：1.有势场是一个梯度场。2.有势场的势函数有无穷多个，它们之间只相差一个常数。是否任何矢量场都为有势场呢？有下面的定理。定理1在线单连通域内矢量场为有势场的充要条件是为无旋场。证明：(2)沿G内任意简单闭曲线L的环量(1)是无旋场，即与路径无关；(3)

是一保守场，即在G内线积分定理2设G是单连域，在G内存在，则以下四个命题等价。(4)是一有势场，即在G内存在u，使

定理2的重要性：(1)给出场论中的一个具有实际意义及数学意义的重要结论，即：无旋场有势场保守场(2)给出了数学上判定保守场的多种方法；(3)特别还给出了求势函数的方法：相当于求某些二元函数的原函数的方法，同时为求解全微分方程提供了一种有效的方法。例1验证向量场是有势场，并求其势函数.解：所以，为有势场。

以下介绍两种求势函数方法。在积分与路径无关条件下，选择特殊路径，用全微分求势函数法。方法1用偏积分求势函数.方法2要求函数此例选积分路径由yxo即：是的一个原函数。势函数一般表达式为：方法1要求函数即亦