山西省忻州市陈家堡中学2022-2023学年高三数学理模拟试题含解析

山西省忻州市陈家堡中学2022-2023学年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，，点P为三角形ABC所在平面上一动点，且满足=1，则的取值范围是A.

B.

C.[-2,2]

D.参考答案：D根据题意，建立平面直角坐标系，如图所示则A（0，2），B（2，0），C（0，0），由||=1知，点P在以B为圆心，半径为1的圆上，设P（2+cosθ，sinθ），θ∈[0，2π）；则=（cosθ，sinθ），又+=（2，2）；∴?（+）=2cosθ+2sinθ=2sin（θ+），当θ+=，即θ=时，?（+）取得最大值2，当θ+=，即θ=时，?（+）取得最小值﹣2，∴?（+）的取值范围是[﹣2，2]．故选：D．

2.如图，长方形的四个顶点为，曲线经过点．现将一质点随机投入长方形中，则质点落在图中阴影区域的概率是A．

B．

C．

D．参考答案：C3.若则的大小关系 （A）

（B）（C）

（D）参考答案：B4.已知二次函数的导数为，，对于任意实数都有，则的最小值为(

)A．2

B．

C．3

D．参考答案：A5.复数（是虚数单位）的模等于（

）A． B．10 C． D．5参考答案：A由题意：，该复数的模为.本题选择A选项.6.“更相减损术”是出自《九章算术》的一种求最大公约数的算法，如框图中若输入的a、b分别为198、90，则输出的i为（）

A．3 B．4 C．5 D．6参考答案：D【考点】程序框图．【分析】由题中程序框图知，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：由程序框图可知：当a=198，b=90时，满足a＞b，则a=198﹣90=108，i=1由a＞b，则a=108﹣90=18，i=2由a＜b，则b=90﹣18=72，i=3由a＜b，则b=72﹣18=54，i=4由a＜b，则b=54﹣18=36，i=5由a＜b，则b=36﹣18=18，i=6由a=b=6，输出i=6．故选：D．7.在△ABC中，“A＜B＜C”是“cos2A＞cos2B＞cos2C”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】在△ABC中，“A＜B＜C”?a＜b＜c，再利用正弦定理、同角三角函数基本关系式、倍角公式即可得出．【解答】解：在△ABC中，“A＜B＜C”?a＜b＜c?sinA＜sinB＜sinC?sin2A＜sin2B＜sin2C?1﹣2sin2A＞1﹣2sin2B＞1﹣2sin2C?“cos2A＞cos2B＞cos2C”．∴在△ABC中，“A＜B＜C”是“cos2A＞cos2B＞cos2C”的充要条件．故选：C．8.组合数（n＞r≥1，n、r∈Z）恒等于（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：【解析】由.答案：9.在中，点D在线段BC的延长线上，且，点O在线段CD上（与点C、D不重合），若的取值范围是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D略10.在区间[﹣π，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f（x）=x2+2ax﹣b2+π有零点的概率为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】等可能事件的概率．【分析】先判断概率的类型，由题意知本题是一个几何概型，由a，b使得函数f（x）=x2+2ax﹣b2+π有零点，得到关于a、b的关系式，写出试验发生时包含的所有事件和满足条件的事件，做出对应的面积，求比值得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，∵a，b使得函数f（x）=x2+2ax﹣b2+π有零点，∴△≥0∴a2+b2≥π试验发生时包含的所有事件是Ω={（a，b）|﹣π≤a≤π，﹣π≤b≤π}∴S=（2π）2=4π2，而满足条件的事件是{（a，b）|a2+b2≥π}，∴s=4π2﹣π2=3π2，由几何概型公式得到P=，故选B．【点评】高中必修中学习了几何概型和古典概型两种概率问题，先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．再看是不是几何概型，它的结果要通过长度、面积或体积之比来得到．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在△ABC中，D为BC边上一点，若△ABD是等边三角形，且AC=4，则△ADC的面积的最大值为

．参考答案：【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】先利用余弦定理求得建立等式，利用基本不等式的性质确定AD?DC的最大值，进而根据三角形面积公式求得三角形面积的最大值．【解答】解：在△ACD中，cos∠ADC===﹣，整理得AD2+CD2=48﹣AD?DC≥2?AD?DC，∴AD?DC≤16，AD=CD时取等号，∴△ADC的面积S=AD?DC?sin∠ADC=AD?DC≤4，故答案为：【点评】本题主要考查了正弦定理的应用和余弦定理的应用．本题灵活运用了基本不等式的基本性质解决了三角形求最值的问题．12.在x（x+a）10的展开式中，x8的系数为15，则a=

．参考答案：考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：由条件利用二项式展开式的通项公式，求得x8的系数为?a3=15，从而得到a的值．解答： 解：由于在x（x+a）10的展开式中，由x8的系数为?a3=15，求得a=，故答案为：．点评：本题主要考查二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．13.若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________.参考答案：由题意可将函数有三个不同的零点转化为函数y=a与有三个不同的交点，如图所示：当时，的图象易得，当时，函数g(x)=，==0，x=1,在区间(0，1)上单调递减，在区间(1，)上单调递增，如图所示：有三个不同的交点，a≤4故答案为：

14.已知随机变量服从正态分布，若，则

．参考答案：试题分析：根据正态分布的特定，可知，而.考点：正态分布.15.直线过抛物线的焦点,且与抛物线交于两点,若,则弦的中点到轴的距离为________

参考答案：16.设两直线与，若，则▲；若，则▲．参考答案：【知识点】两直线的位置关系H2由则（3+m）（5+m）-42=0,得m=-1或m=-7,当m=-1时重合，舍去。由则（3+m）2+4（5+m）=0，m=-.【思路点拨】利用两直线的位置关系斜率的关系，求出m.17.《九章算术》中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”大意为：有个圆柱形木头，埋在墙壁中（如图所示），不知道其大小，用锯沿着面AB锯掉裸露在外面的木头，锯口CD深1寸，锯道AB长度为1尺，问这块圆柱形木料的直径是__________．（注：1尺＝10寸）参考答案：26寸设圆柱形木料的半径是，则，得，所以圆柱形木料的直径是26寸．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）前不久，省社科院发布了2013年度“安徽城市居民幸福排行榜”，芜湖成为本年度安徽最“幸福城”.随后，师大附中学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：（Ⅰ）指出这组数据的众数和中位数；（Ⅱ）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”，若幸福度低于7.5分，则称该人的幸福度为“不幸福”.现从这16人中感到“极幸福”和“不幸福”的调查人里随机选取2人，恰有1人是“极幸福”的概率.参考答案：（Ⅰ）众数：8.6；中位数：8.75；

……4分（Ⅱ）记“不幸福”2人为，记“极幸福”4人为……5分则列举如下：

共15种

其中恰有1人是“极幸福”的是8种

……10分则

……12分19.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=．（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）求曲线C1上的任意一点P到曲线C2的最小距离，并求出此时点P的坐标．参考答案：考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）曲线C1的参数方程为（α是参数），x=2cos2α=1+cos2α，利用cos22α+sin22α=1即可得出．曲线C2的极坐标方程为ρ=，化为ρsinθ﹣ρcosθ=1，利用即可得出．（2）设与曲线C2平行且与曲线C1的直线方程为y=x+t，代入圆的方程可得：2x2+2（t﹣1）x+t2=0，利用△=0，解得t．利用平行线之间的距离公式可得最小距离，进而得出点P．解答： 解：（1）曲线C1的参数方程为（α是参数），x=2cos2α=1+cos2α，∴（x﹣1）2+y2=1．曲线C2的极坐标方程为ρ=，化为ρsinθ﹣ρcosθ=1，∴y﹣x=1，即x﹣y+1=0．（2）设与曲线C2平行且与曲线C1的直线方程为y=x+t，代入圆的方程可得：2x2+2（t﹣1）x+t2=0，∵△=4（t﹣1）2﹣8t2=0，化为t2+2t﹣1=0，解得．取t=﹣1，直线y=x+1与切线的距离d==﹣1，即为曲线C1上的任意一点P到曲线C2的最小距离．此时2x2+2（t﹣1）x+t2=0，化为=0，解得x==，y=，∴P．点评：本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆相切转化为△=0、平行线之间的距离公式、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，.（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）设，求边的大小.参考答案：解析：（Ⅰ），由得，，………………2分∴，………………4分∴.……………………6分（Ⅱ）由，知B为锐角，所以，…………………8分∴，………11分由正弦定理得：.………14分21.（本小题满分12分）记，若不等式的解集为（1，3），试解关于的不等式.参考答案：由题意知.且故二次函