山西省忻州市原平矿务局中学2021年高三数学理期末试题含解析

山西省忻州市原平矿务局中学2021年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB的长为（）A．2 B．4 C． D．16参考答案：B【考点】简单空间图形的三视图．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，底面△ABC为等腰三角形，SC=4，△ABC中AC=4，AC边上的高为2，进而根据勾股定理得到答案．【解答】解：由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，且底面△ABC为等腰三角形，在△ABC中AC=4，AC边上的高为2，故BC=4，在Rt△SBC中，由SC=4，可得SB=4，故选B【点评】本题考查的知识点是简单空间图象的三视图，其中根据已知中的视图分析出几何体的形状及棱长是解答的关键．2.已知是锐角，若，则A.

B.

C．

D．参考答案：D3.已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为，满足，且，则不等式（e为自然对数的底数）的解集为（

）A．(－1,+∞)

B．(0,+∞)

C.

(1,+∞)

D．(－∞,0)参考答案：B4.现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】设球半径为R，正方体边长为a，由题意得当正方体体积最大时：=R2，由此能求出所得工件体积与原料体积之比的最大值．【解答】解：设球半径为R，正方体边长为a，由题意得当正方体体积最大时：=R2，∴R=，∴所得工件体积与原料体积之比的最大值为：==．故选：A．5.函数y＝x－x的图像大致为__________.参考答案：A略6.复数的共轭复数是

A．

B．

C．3＋4i

D．3－4i参考答案：A略7.“”是“函数有零点”的

(

)A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：A8.根据如图所示程序框图，若输入m=42，n=30，则输出m的值为（）A．0 B．3 C．6 D．12参考答案：C【考点】程序框图．【专题】计算题；操作型；算法和程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量m的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体后，r=12，m=30，n=12，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，r=6，m=12，n=6，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，r=0，m=6，n=0，满足退出循环的条件；故输出的m值为6，故选：C；【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．9.若方程在内有解，则的图象是参考答案：D略10.程序框图如图所示，若输入值t∈（1，3），则输出值S的取值范围是（）A．（3，4] B．（3，4） C．[1，9] D．（1，9）参考答案：A【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=的值，由t的范围，利用二次函数的图象和性质即可得解．【解答】解：由程序框图可知程序框图的功能是计算并输出S=的值，可得：当t∈（1，3）时，S=4t﹣t2=4﹣（t﹣2）2∈（3，4]．故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设样本数据x1，x2，…，x2017的方差是4，若yi=2xi﹣1（i=1，2，…，2017），则y1，y2，…y2017的方差为

．参考答案：16【考点】极差、方差与标准差．【分析】根据题意，设数据x1，x2，…，x2017的平均数为，由方差公式可得=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+（x3﹣）2+…+（x2017﹣）2]=4，进而对于数据yi=2xi﹣1，可以求出其平均数，进而由方差公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，设样本数据x1，x2，…，x2017的平均数为，又由其方差为4，则有=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+（x3﹣）2+…+（x2017﹣）2]=4，对于数据yi=2xi﹣1（i=1，2，…，2017），其平均数=（y1+y2+…+y2017）=[（2x1﹣1）+（2x2﹣1）+…+（2x2017﹣1）]=2﹣1，其方差=[（y1﹣）2+（y2﹣）2+（y3﹣）2+…+（y2017﹣）2]=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+（x3﹣）2+…+（x2017﹣）2]=16，故答案为：16．【点评】本题考查数据的方差计算，关键是掌握方差的计算公式．12.在正项等比数列中，a3a7=4，则数列{}的前9项之和为

.参考答案：答案：913.已知点,,若，则

.参考答案：14.若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是．参考答案：3考点：循环结构．专题：压轴题；图表型．分析：根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦不满足条件就退出循环，执行语句输出i，从而到结论．解答：解：当输入的值为n=12时，n不满足判断框中的条件，n=6，n不满足判断框中的条件，n=3，n满足判断框中的条件，n=10，i=2，n不满足判断框中的条件，n=5，n满足判断框中的条件，n=16，i=3，n不满足判断框中的条件，n=8，n不满足判断框中的条件，n=4，n不满足判断框中的条件，n=2，n不满足判断框中的条件，n=1，n满足下面一个判断框中的条件，退出循环，即输出的结果为i=3，故答案为：3．点评：本题主要考查了循环结构，是当型循环，当满足条件，执行循环，属于基础题．15.满足约束条件的目标函数的最小值是

参考答案：－2.作出约束条件表示的平面区域可知，当，时，目标函数取最小值，为－2.16.如图，是以为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形内”，B表示事件“豆子落在扇形（阴影部分）内”，则（1）；（2）

参考答案：（1）；

（2）

17.规定记号“”表示一种运算，即．若，则函数的值域是

参考答案：(1,+∞)由a△b=ab+a+b，a，b∈R+，若1△k=3，则1?k+1+k=3，解得k=1，∴函数f（x）=k△x=1△x=1?x+1+x=2x+1，其中x∈R+，∴2x+1＞1，∴f（x）的值域是（1，+∞）．故答案为：（1，+∞）．

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知函数（1）求函数的值域；（2）若，函数的最小值为-7，求的最大值。参考答案：(1)令a=t

则t﹥0

∴y=-t-2t+1

（t﹥0）二次函数对称轴为：t=-1，开口向下∴y=-t-2t+1在（0，+∞）上单调递减∴y﹤1∴函数的值域为：（﹣∞，1）.(2)因为所以当时，解得：当时，函数有最大值。19.如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=AD=1，E、F分别为PD、AC上的动点，且==λ，（0＜λ＜1）．（Ⅰ）若λ=，求证：EF∥平面PAB；（Ⅱ）求三棱锥E﹣FCD体积最大值．参考答案：考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）分别取PA和AB中点M、N，连接MN、ME、NF，四边形MEFN为平行四边形．由此能证明EF∥平面PAB．（Ⅱ）在平面PAD内作EH⊥AD于H，则EH⊥平面ADC，EH∥PAEH=λPA=λ．，由此能求出三棱锥E﹣FCD体积最大值．解答： （Ⅰ）证明：分别取PA和AB中点M、N，连接MN、ME、NF，则NFAD，MEAD，所以NFME，∴四边形MEFN为平行四边形．∴EF∥MN，又EF?平面PAB，MN?平面PAB，∴EF∥平面PAB．

（Ⅱ）解：在平面PAD内作EH⊥AD于H，因为侧棱PA⊥底面ABCD，所以平面PAD⊥底面ABCD，且平面PAD∩底面ABCD=AD，所以EH⊥平面ADC，所以EH∥PA．因为（0＜λ＜1），所以，EH=λPA=λ．==1﹣λ，，VE﹣DFC=×λ==，（0＜λ＜1），∴三棱锥E﹣FCD体积最大值．点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查三棱锥的体积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20.设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）求cosA+sinC的取值范围．参考答案：考点：正弦定理；正弦函数的定义域和值域．专题：计算题．分析：（1）先利用正弦定理求得sinB的值，进而求得B．（2）把（1）中求得B代入cosA+sinC中利用两角和公式化简整理，进而根据A的范围和正弦函数的性质求得cosA+sinC的取值范围．解答： 解：（Ⅰ）由a=2bsinA，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以，由△ABC为锐角三角形得．（Ⅱ）===．由△ABC为锐角三角形知，0＜A＜，，所以．由此有≤，所以，cosA+sinC的取值范围为（，]．点评：本题主要考查了正弦定理得应用和三角函数中两角和公式的运用．涉及了正弦函数的性质，考查了学生对三角函数知识的把握．21.已知x=1是函数的一个极值点。（）（1）求a的值；（2）任意时，证明：（1）参考答案：解：，………………2分由已知得.当a=1时，，在x=1处取得极小值，所以a=1.…………4分（2）证明：由（1）知，.当在区间[0，1]单调递减；当在区间(1，2]单调递增；所以在区间[0，2]上，f(x)的最小值为f(1)=-e.………………8分又,所以在区间[0，2]上，f(x)的最大值为f(2)=0.…………10分对于，有.所以.……12分

略22.本小题满分12分)已知公差不为０的等