相似和量纲分析

第四章

相似和量纲分析DimensionalAnalysisandSimilitude4-1相似原理4-2Π定理和量纲分析的应用

第四章相似原理与量纲分析以相似原理为基础

解决流体力学问题的方法数学分析

实验研究

模型实验在相似原理和准则的指导下，进行流体力学模型实验。应用量纲分析理论寻找表示流动过程的关系式。主要解决两个问题：4-1相似原理SIMILITUDE相似条件相似：如果两个流动系统的相应点上所有表征流动状况的物理量都维持各自的固定比例关系，则这两个流动系统就是相似。确定两者之间存在相似关系的原理称为相似原理。流体力学实验方法之一就是进行模型试验模型试验葛洲坝船模试验模型－相似理论－原型4-1相似原理SIMILITUDE一、力学相似1.几何相似几何相似是指原型和模型两个流场的几何形状相似，两个流动的对应的线段长度成比例，对应角相等。线性比例尺面积比例体积比例2.运动相似运动相似是两个流场相应点的速度方向相同，大小成比例，即

速度比例尺时间比例尺加速度比例尺3.动力相似动力相似是指模型和原型流动受同种外力作用，而对应点上的对应力成比例。密度比例尺质量比例尺力的比例尺1、几何相似、运动相似、动力相似的涵义是什么？2、为什么说动力相似是运动相似的保证？几何相似是力学相似的前提？思考题一、力学相似基本比例尺是各自独立的，它们确定后，一切物理量的比例尺都可以确定。几何相似是前提，动力相似是决定运动相似的主导因素，运动相似是几何相似和动力相似的表现。二、相似准则

两个流动要实现动力相似，作用在相应质点上的各种作用力的比尺要满足一定的约束关系，这种约束关系称为相似准则。作用在流体质点上的力可以分为两类:①是企图维持原有运动状态的力；②是企图改变其运动状态的力。两个流动对应处作用在流体质点上的惯性力与其它各种力的比值应相等。在几何相似的前提下，要保证流动相似，主要看动力相似。相似准则数即由重力和惯性力的关系式中为一无量纲量，称为佛劳德数

上式表明，两个流动的惯性力和重力成比例，则它们的佛劳德数相等，这就是佛劳德准则，或称重力相似准则。1.佛劳德数即式中为雷诺数。

上式表明，两个流动的惯性力和粘滞力成比例，则它们的雷诺数相等，这就是雷诺准则，或称为粘滞力相似准则。2.雷诺数由惯性力和粘性力的关系相似准则数即式中

为一无量纲量，称为欧拉数

上式表明，两个流动的惯性力和流体动压力成比例，则它们的欧拉数相等，这就是欧拉准则，或称为压力相似准则。3.欧拉数由总压力和惯性力的关系相似准则数近似模型法

在有自由面的流动现象中，重力起主导作用，粘性力不起显著作用，重力相似准则Fr数就是相似准则。采用弗劳德相似准则进行模型设计。应用在模拟船舶的运动和水利工程上。1.佛劳德模型法2.雷诺模型法

实际流体在管内流动，粘性力决定流体流动的阻力损失，形成压降。此时重力等是次要因素，雷诺数是主要相似准则。采用雷诺相似准则进行模型设计如果是可压缩流动还要满足马赫准则。应用在管内流动、液压技术、流体机械的试验中。

当Re数大于某一定值时流体的速度分布彼此相似与雷诺数不再有关，流体的流动进入自模化区内，惯性力起主要作用，粘性力的影响减弱。此时尽管雷诺数不同，但粘性的效果却是一样的，雷诺数处在自动模型区，雷诺准则失去判别相似的作用。3.欧拉模型法欧拉模型法用于自动模型区德管中流动、风洞实验及气体绕流等情况。4-2∏定理和量纲分析的应用量纲是各种类别物理量的标志，量纲又称为因次。量纲和单位单位是度量各种物理量数值大小的标准。量纲力学中任何一个物理量n的量纲都可以用三个基本量纲的指数乘积形式表示，即基本量纲导出量纲无量纲量

某些物理量的量纲可以化简为1，即量纲公式中各指数均可化简为零，用公式表示即为称n为无量纲量（数），也称纯数无量纲量的组成①由两个具有相同量纲的物理量相比而得到。②由几个有量纲的量通过乘除组合而成，组合的结果为各基本量纲的指数均为零。流体力学中无量纲量一般有三种①相似准数；②系数；③比例数常用量的量纲[]3-MLrπ定理

(Buckinghamπ-Theorem)在量纲和谐原理基础上发展起来的量纲分析方法有两种。瑞利法（Rayleigh），适用于比较简单的问题。π定理或称为布金汉（Buckingham）定理，是一种具有普遍性的方法π定理

量纲和谐原理

是指凡正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲都必须是一致的例如：

有量纲

长度量纲无量纲用途：①确定方程式中系数的量纲，以及分析经验公式的结构是否合理；②确定方程式中物理量的指数，找到物理量之间的函数关系。

π定理

(Buckinghamπ-Theorem)①π定理的基本内容是：若某一物理过程包含有n个物理量，可表示为如下函数关系其中有m个基本物理量，则该物理过程可由n个物理量所构成的（n-m）个无量纲组合量所表达的关系式来描述，即式中个无量纲数，因为这些无量纲数用π表示，所以此定理就称为π定理。π定理

(Buckinghamπ-Theorem)②π定理的解题步骤是:a.找出对物理过程有影响的n个物理量，写成关系式b.从n个物理量中选取m个相互独立的基本物理量。对于不可压缩流体运动，一般取m=3。设n1、n2、n3为所选的基本物理量。

π定理

c.基本物理量依次与其余量组合成（n-m）个无量纲π项式中xi、yi、zi为各π项的待定系数。d.根据量纲和谐原理，求出各π项指数xi、yi、z