山西省太原市新华中学2021-2022学年高三数学理下学期期末试卷含解析

山西省太原市新华中学2021-2022学年高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知向量，若，则等于(

)

A．

B．

C．

D．参考答案：答案：C2.若则下列结论正确的是A.

B.

C.

D.参考答案：A3.已知i是虚数单位，复数z满足(z－3i)(1+2i)=10，则为（

）A.2+i

B.

2－i

C.1+2i

D.1－2i参考答案：A由得，所以．4.已知双曲线mx2﹣ny2=1（m＞0，n＞0）的离心率为2，则椭圆mx2+ny2=1的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．【分析】双曲线、椭圆方程分别化为标准方程，利用双曲线mx2﹣ny2=1（m＞0，n＞0）的离心率为2，可得m=3n，从而可求椭圆mx2+ny2=1的离心率．【解答】解：双曲线mx2﹣ny2=1化为标准方程为：∵双曲线mx2﹣ny2=1（m＞0，n＞0）的离心率为2，∴∴m=3n椭圆mx2+ny2=1化为标准方程为：∴椭圆mx2+ny2=1的离心率的平方为=∴椭圆mx2+ny2=1的离心率为故选C．5.某校新生分班，现有A，B，C三个不同的班，两名关系不错的甲和乙同学会被分到这三个班，每个同学分到各班的可能性相同，则这两名同学被分到同一个班的概率为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】利用列举法求出甲乙两同学分班的所有情况和符合条件的各种情况，由此能求出这两名同学被分到同一个班的概率．【解答】解：甲乙两同学分班共有以下情况：（A，A），（A，B），（A，C），（B，A），（B，B），（B，C），（C，A），（C，B），（C，C），其中符合条件的有三种，所以这两名同学被分到同一个班的概率为p=．故选：A．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．6.若定义在R上的偶函数满足且时,则方程的零点个数是A.

2个

B.

3个

C.4个

D.多于4个参考答案：C略7.若复数z满足，则等于（

）A． B．

C．

D．参考答案：A8.当时，下列大小关系正确的是

(

)A.B.

C.

D.参考答案：B9.若集合，，则等于（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略10.多面体MN-ABCD的底面ABCD为矩形，其正（主）视图和侧（左）视图如图，其中正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则AM的长为

（

）A. B. C. D.参考答案：C试题分析：如图，分别是和的中点，由正视图可知．由侧视图可知多面体的高为2，．所以，所以．考点：空间几何体的三视图.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知A（1，3），B（a，1），C（﹣b，0），（a＞0，b＞0），若A，B，C三点共线，则+的最小值是

．参考答案：11+6

【考点】基本不等式；三点共线．【分析】由A（1，3），B（a，1），C（﹣b，0），（a＞0，b＞0），A，B，C三点共线，可得kAB=kAC，化为3a+2b=1．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵A（1，3），B（a，1），C（﹣b，0），（a＞0，b＞0），A，B，C三点共线，∴kAB=kAC，=，化为3a+2b=1．则+=（3a+2b）=11+≥11+3×2×=11+6，当且仅当a=b时取等号．故答案为：11+6．12.已知向量，满足，|，，则|

．参考答案：2，故答案为2.

13.设函数的定义域为，若存在非零实数使得对于任意，有，且，则称为上的高调函数．如果定义域为的函数是奇函数，当时，，且为上的8高调函数，那么实数的取值范围是

．参考答案：略14.已知向量=（，1），=（0，﹣1），=（k，）．若与共线，则k=

．参考答案：1【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】利用向量的坐标运算求出的坐标；利用向量共线的坐标形式的充要条件列出方程，求出k的值．【解答】解：∵与共线，∴解得k=1．故答案为1．15.《九章算术》中有一个“两鼠穿墙”问题：“今有垣（墙，读音）厚五尺，两鼠对穿，大鼠日（第一天）一尺，小鼠也日（第一天）一尺．大鼠日自倍（以后每天加倍），小鼠日自半（以后每天减半）．问何日相逢，各穿几何？”在两鼠“相逢”时，大鼠与小鼠“穿墙”的“进度”之比是

：

．参考答案：59，26．【考点】等差数列的前n项和；等比数列的前n项和．【分析】第一天的时候，大鼠打了1尺，小鼠1尺；第二天的时候，大鼠打了2尺，小鼠打了尺；第三天设大鼠打了X尺，小鼠则打了（0.5﹣X）尺，则X÷4=（0.5﹣x）÷，由此能求出大鼠与小鼠“穿墙”的“进度”之比．【解答】解：第一天的时候，大鼠打了1尺，小鼠1尺，一共2尺，还剩3尺；第二天的时候，大鼠打了2尺，小鼠打了尺，这一天一共打了2.5尺，两天一共打了4.5尺，还剩0.5尺．第三天按道理来说大鼠打4尺，小鼠尺，可是现在只剩0.5尺没有打通了，所以在第三天肯定可以打通．我们现在设大鼠打了X尺，小鼠则打了（0.5﹣X）尺则打洞时间相等：X÷4=（0.5﹣x）÷解方程得X=，所以大鼠在第三天打了8/17尺，小鼠打了0.5﹣=尺所以三天总的来说：大鼠打了3+=尺，小鼠打了5﹣尺，∴大鼠与小鼠“穿墙”的“进度”之比是59：26．故答案为：59，26．【点评】本题考查等差数列与等比数列在生产生活中的实际应用，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．16.已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）+k有三个零点，则k的取值范围是．参考答案：（，0）考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：利用数形结合的思想，若函数g（x）=f（x）+k有三个零点，也就是f（x）=g（x）﹣k，即y=﹣k与f（x）有三个交点，只要求出f（x）的最小值即可．解答：解：如图所示，∵f（x）=（x≥0）∴令f′（x）=0，则x=1，当0≤x＜1时，f′（x）＞0，函数f（x）为单调递增函数，当x＞1时，f′（x）＜0，函数f（x）为单调递减函数，∴当x=1时，函数f（x）有最大值，最大值为f（1）=，∴﹣k=即k=，∴k的取值范围是（，0）点评：本题考查了函数零点的问题，利用数形结合的思想，转化为求函数的最值问题，属于中档题．17.(极坐标与参数方程)直线（）被曲线所截的弦长为_______.参考答案：．略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知（1）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；（2）若，，求的值.参考答案：【知识点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．菁优C3C7

【答案解析】（1）；2；1；（2）。解析：（1）∵，∴，∴函数的最小正周期为，∵，∴，∴，；（2）由（1）可知，则，，又∵，∴，∴，即.【思路点拨】（1）化简得，求出函数的最小正周期以及最大、最小值；（2）由（1）知，，求出的值，考虑x0的取值范围，求出的值．19.已知曲线C1的极坐标方程为ρ（cosθ﹣sinθ）=a，曲线C2的参数方程为（θ为参数），且C1与C2有两个不同的交点．（1）写出曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程；（2）求实数a的取值范围．参考答案：【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）根据三种方程的转化方法，写出曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程；（2）联立两个曲线方程，可得，即可求实数a的取值范围．【解答】解：（1）曲线C1的极坐标方程为ρ（cosθ﹣sinθ）=a，直角坐标方程为x﹣y﹣a=0；曲线C2的参数方程为（θ为参数），消去参数，普通方程为y=x2，x∈[-,]；（2）联立两个曲线方程，可得，∵x∈，C1与C2有两个不同的交点，∴a=x2﹣∈[-1/2,4]．20.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆，如图所示，斜率为k（k＞0）且不过原点的直线l交椭圆C于两点A，B，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线x＝﹣3于点D（﹣3，m）．（1）求m2+k2的最小值；（2）若|OG|2＝|OD|?|OE|，求证：直线l过定点．参考答案：（1）2；（2）见解析【分析】（1）设出直线方程为，联立直线的方程和椭圆的方程，化简为一元二次方程的形式.根据直线和椭圆有两个交点得出判别式大于零，写出韦达定理，根据中点坐标公式求得点的坐标，由此求得直线的斜率和方程，根据点坐标求得的关系式，结合基本不等式求得的最小值.（2）将直线的方程代入椭圆方程，求得点坐标，结合两点坐标以及两点间的距离公式，求得，代入列方程，解方程求得的关系，由此判断出直线过定点.【详解】（1）设直线l的方程为y＝kx+t（k＞0），由题意，t＞0，由方程组，得（3k2+1）x2+6ktx+3t2﹣3＝0，由题意△＞0，所以3k2+1＞t2，设A（x1，y1），B（x2，y2），由根与系数的关系得，所以，由于E为线段AB的中点，因此，此时，所以OE所在直线的方程为，又由题意知D（﹣3，m），令x＝﹣3，得，即mk＝1，所以m2+k2≥2mk＝2，当且仅当m＝k＝1时上式等号成立，此时由△＞0得0＜t＜2，因此当m＝k＝1且0＜t＜2时，m2+k2取最小值2．（2）证明：由（1）知D所在直线的方程为，将其代入椭圆C的方程，并由k＞0，解得，又，由距离公式及t＞0得，，，由|OG|2＝|OD|?|OE|，得t＝k，因此直线l的方程为y＝k（x+1），所以直线l恒过定点（﹣1，0）．【点睛】本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查根于系数关系，考查直线和直线交点坐标、直线和椭圆交点坐标的求法，考查两点间的距离公式，考查直线过定点的问题，综合性较强，属于中档题.21.已知函数（）.（Ⅰ）当时，求的图象在处的切线方程；（Ⅱ）若函数在上有两个零点，求实数的取值范围；（Ⅲ）若函数的图象与轴有两个不同的交点，且，求证：（其中是的导函数）．参考答案：（Ⅰ）当时，，，切点坐标为，切线的斜率，则切线方程为，即. 2分（Ⅱ），则，∵，故时，.当时，；当时，.故在处取得极大值. 4分又，，，则，∴在上的最小值是. 6分在上有两个零点的条件是解得，∴实数的取值范围是. 8分

（Ⅲ）∵的图象与轴交于两个不同的点，∴方程的两个根为，则两式相减得.又，，则.下证（*），即证明，，∵，∴，即证明在上恒