山西省忻州市关县陈家营中学2023年高三数学理上学期期末试题含解析

山西省忻州市关县陈家营中学2023年高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知a，b，c都是正数，则三数

（

）

A．都大于2

B．都小于2

C．至少有一个不大于2

D．至少有一个不小于2参考答案：D2.已知点是所在平面内一点，且满足，若，则=（

）A.

B.1

C.

D.参考答案：C3.如图，已知直线l：y=k(x+1)(k>0)与抛物线C：y2=4x相交于A、B两点，且A、B两点在抛物线C准线上的射影分别是M、N，若|AM|=2|BN|，则k的值是

(A)

(B)

(C)

(D)

2

参考答案：C略4.已知将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则在上的值域为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C5.对于项数都为m的数列{an}和{bn}，记bk为a1,a2,…,ak(k=1,2,…,m)中的最小值，给出下列命题： ①若数列{bn}的前5项依次为5，5，3，3，1，则a4=3； ②若数列{bn}是递减数列，则数列{an}也是递减数列； ③数列{bn}可能是先递减后递增的数列； ④若数列{an}是递增数列，则数列{bn}是常数列． 其中，是真命题的为

A．①④

B．①③

C．②③

D．②④参考答案：D略6.如果实数满足不等式组则的最小值是A．25

B．5

C．4

D．1参考答案：B在直角坐标系中画出不等式组

所表示的平面区域如图1所示的阴影部分，x2+y2的最小值即表示阴影部分（包含边界）中的点到原点的距离的最小值的平方，由图可知直线x?y+1=0与直线x=1的交点(1，2)到原点最近，故x2+y2的最小值为12+22=5.选B.7.若的内角满足，则等于（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略8.已知复数是正实数，则实数a的值为(

)A.0 B.1 C.－1 D.±1参考答案：C【分析】将复数化成标准形式，由题意可得实部大于零，虚部等于零，即可得到答案.【详解】因为为正实数，所以且，解得.故选：C【点睛】本题考查复数的基本定义，属基础题.9.已知数列为等差数列，若，，则A．36 B．42 C．45 D．63参考答案：C10.已知是定义在上的奇函数，满足,当时,，则函数在区间上的零点个数是

（

）

A．3

B．5

C．7

D．9参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知x＞0，y＞0，x+y2=4，则log2x+2log2y的最大值为．参考答案：2【考点】基本不等式．【分析】利用基本不等式、对数的运算法则和单调性即可得出．【解答】解：∵实数x，y＞0，x+y2=4，∴4=x+y2≥2，化为xy2≤4，当且仅当x=2，y=时取等号．则log2x+2log2y=log2（xy2）≤log24=2．因此log2x+2log2y的最大值是2．故答案为：2．12.若a∈R+，则当a+的最小值为m时，不等式m＜1的解集为．参考答案：{x|x＜﹣3或x＞﹣1}【考点】指、对数不等式的解法．【分析】利用基本不等式求出a+的最小值m，再代入不等式m＜1，化为等价的不等式x2+4x+3＞0，求出解集即可．【解答】解：∵a∈R+，∴a+≥2=，当且仅当a=，即a=时取“=”；∴a+的最小值为m=；∴不等式m＜1为：（）＜1，等价于x2+4x+3＞0，解得x＜﹣3或x＞﹣1；故所求不等式的解集为{x|x＜﹣3或x＞﹣1}．故答案为：{x|x＜﹣3或x＞﹣1}．【点评】本题考查了利用基本不等式求最值以及指数不等式的解法与应用问题，是基础题目．13.一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积为_____.参考答案：12略14.设是等比数列的前n项和，若，，成等差数列，则公比等于____________________。参考答案：1/3略15.定积分(+x)dx的值为．参考答案：【考点】定积分．【分析】根据定积分的几何意义计算dx，利用微积分基本定理计算xdx，然后相加即可．【解答】解：根据定积分的几何意义可知dx表示以1为半径的圆面积的，∴dx=，又xdx=|=，∴（+x）dx=dx+xdx=．故答案为：．16.已知实数x，y满足，则的取值范围是．参考答案：[1，]【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用直线斜率的几何意义进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，的几何意义是区域内的点到定点D（0，﹣1）的斜率，由图象知，AD的斜率最大，BD的斜率最小，此时最小值为1，由得，即A（1，），此时AD的斜率k==，即1≤≤，故的取值范围是[1，]故答案为：[1，]17.设函数，则的最小值是，若，则的取值范围是。参考答案：答案：

3

，．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知定点，，满足的斜率乘积为定值的动点的轨迹为曲线。(1)求曲线的方程;(2)过点的动直线与曲线的交点为，与过点垂直于轴的直线交于点，又已知点,试判断以为直径的圆与直线的位置关系，并证明。参考答案：(1)设，得。(2)设代入得得当时,,,又得,PD的中点，圆M的半径.圆心M到时直线PF距离，当.综上，直线PF与BD为辅直径的圆M相切。略19.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值．参考答案：【考点】余弦定理．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）由余弦定理和题设条件求得cosB的值，进而利用诱导公式和二倍角公式对化简整理，最后把cosB的值代入即可求得答案．（Ⅱ）利用（Ⅰ）中cosB的值，可求得sinB的值，进而通过．利用基本不等式求得ac的范围，最后利用三角形面积公式，求得三角形面积最大值．【解答】解：（Ⅰ）由余弦定理：===

（Ⅱ）由cosB=，得sinB=．∵b=2，∴，从而故（当且仅当a=c时取等号）【点评】本题主要考查了余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，二倍角公式的化简求值．考查了学生分析推理和基本运算的能力．20.（本小题共14分）如图在四棱锥中，底面是菱形，，平面平面，，为的中点，是棱上一点，且.（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）证明：∥平面；（Ⅲ）求二面角的度数.参考答案：（Ⅲ）连结，底面是菱形，且，是等边三角形，由（Ⅰ）平面..以为坐标原点，分别为轴轴轴建立空间直角坐标系则.————10分设平面的法向量为，，注意到∥，解得是平面的一个法向量——12分21.已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a≠0）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）+（a+1）x+4﹣e≤0对任意x∈[e，e2]恒成立，求实数a的取值范围（e为自然常数）．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）先求导，再分类讨论即可得到函数的单调性；（2）令F（x）=alnx﹣ax﹣3+（a+1）x+4﹣e=alnx+x+1﹣e，从而求导F′（x）=，再由导数的正负讨论确定函数的单调性，从而求函数的最大值，从而化恒成立问题为最值问题即可．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=﹣a==（x＞0），当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，单调减区间为[1，+∞）；当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），单调减区间为（0，1]；（Ⅱ）令F（x）=alnx﹣ax﹣3+（a+1）x+4﹣e=alnx+x+1﹣e，则F′（x）=，若﹣a≤e，即a≥﹣e，F（x）在[e，e2]上是增函数，F（x）max=F（e2）=2a+e2﹣e+1≤0，a≤（e﹣1﹣e2），无解．若e＜﹣a≤e2，即﹣e2≤a＜﹣e，F（x）在[e，﹣a]上是减函数；在[﹣a，e2]上是增函数，F（e）=a+1≤0，即a≤﹣1．F（e2）=2a+e2﹣e+1≤0，即a≤（e﹣1﹣e2），∴﹣e2≤a≤（e﹣1﹣e2）．若﹣a＞e2，即a＜﹣e2，F（x）在[e，e2]上是减函数，F（x）max=F（e）=a+1≤0，即a≤﹣1，∴a＜﹣e2，综上所述，a≤（e﹣1﹣e2）．22.（本题满分12分）参加市数学调研抽测的某校高三学生成绩分析的茎叶图和频率分布直方图均受到不同程度的破坏，但可见部分信息如下，据此解答如下问题：（Ⅰ）求参加数学抽测的人数、抽测成绩的中位数及分数分别在，内的人数；（Ⅱ）若从分数在内的学生中任选两人进行调研谈话，求恰好有一人分数在内的概率．参考答案：（Ⅰ）分数在内的频数为2，由频率分布直方图可以看出，分数在内同样有人．

……………2分，由，得，……………3分茎叶图可知抽测成绩的中位数为．

…………………4分分数在之间的人数为……5分参加数学竞赛人数，中位数为73，分数在、内的人数分别为人