山西省太原市铁路职工子弟第三中学2021-2022学年高一数学文期末试题含解析

山西省太原市铁路职工子弟第三中学2021-2022学年高一数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知正四棱锥P-ABCD的顶点均在球O上，且该正四棱锥的各个棱长均为2，则球O的表面积为()A.4π B.6π C.8π D.16π参考答案：C设点在底面的投影点为，则，，平面，故，而底面所在截面圆的半径，故该截面圆即为过球心的圆，则球的半径，故球的表面积，故选C.点睛：本题考查球的内接体的判断与应用，球的表面积的求法，考查计算能力；研究球与多面体的接、切问题主要考虑以下几个方面的问题：（1）球心与多面体中心的位置关系；（2）球的半径与多面体的棱长的关系；（3）球自身的对称性与多面体的对称性；（4）能否做出轴截面.2.下列函数图象关于原点对称的有（

）①；②；③④.

A．①②

B．①③

C．②③

D．②④参考答案：D略3.下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的是()

A.

B.

C.

D.参考答案：D4.在△ABC中，点D满足，则（

）A. B.C. D.参考答案：D【详解】因为，所以，即；故选D.5.已知奇函数f（x）在[﹣1，0]上为单调减函数，又α，β为锐角三角形内角，则（）A．f（cosα）＞f（cosβ） B．f（sinα）＞f（sinβ） C．f（sinα）＜f（cosβ） D．f（sinα）＞f（cosβ）参考答案：C【考点】余弦函数的单调性．【分析】由“奇函数y=f（x）在[﹣1，0]上为单调递减函数”可知f（x）在[0，1]上为单调递减函数，再由“α、β为锐角三角形的两内角”可得到α+β＞，转化为α＞﹣β，两边再取正弦，可得sinα＞sin（﹣β）=cosβ＞0，由函数的单调性可得结论．【解答】解：∵奇函数y=f（x）在[﹣1，0]上为单调递减函数，∴f（x）在[0，1]上为单调递减函数，∴f（x）在[﹣1，1]上为单调递减函数，又α、β为锐角三角形的两内角，∴α+β＞，∴α＞﹣β，∴sinα＞sin（﹣β）=cosβ＞0，∴f（sinα）＜f（cosβ）．故选C．6.已知在［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是（

）A．（0，1）

B．（0，2）

C．（1，2）

D．［2，＋∞）参考答案：C7.若样本的频率分布直方图中一共有n个小矩形，中间一个小矩形的面积等于其余n－1个小矩形面积和的，且样本容量为160，则中间一组的频数是()A．32

B．20

C．40

D．25参考答案：A略8.表示不超过的最大整数，例如，已知，，，则函数的零点个数为（

）A．4

B．3

C．2

D．1参考答案：C9.下列各式不能化简为的是

（）A．

B．C．

D．参考答案：C略10.已知函数f（x）=|lgx|﹣（）x有两个零点x1，x2，则有（）A．x1x2＜0 B．x1x2=1 C．x1x2＞1 D．0＜x1x2＜1参考答案：D【考点】函数的零点与方程根的关系；指数函数与对数函数的关系．【分析】先将f（x）=|lgx|﹣（）x有两个零点转化为y=|lgx|与y=2﹣x有两个交点，然后在同一坐标系中画出两函数的图象得到零点在（0，1）和（1，+∞）内，即可得到﹣2﹣x1=lgx1和2﹣x2=lgx2，然后两式相加即可求得x1x2的范围．【解答】解：f（x）=|lgx|﹣（）x有两个零点x1，x2即y=|lgx|与y=2﹣x有两个交点由题意x＞0，分别画y=2﹣x和y=|lgx|的图象发现在（0，1）和（1，+∞）有两个交点不妨设x1在（0，1）里x2在（1，+∞）里那么在（0，1）上有2﹣x1=﹣lgx1，即﹣2﹣x1=lgx1…①在（1，+∞）有2﹣x2=lgx2…②①②相加有2﹣x2﹣2﹣x1=lgx1x2∵x2＞x1，∴2﹣x2＜2﹣x1即2﹣x2﹣2﹣x1＜0∴lgx1x2＜0∴0＜x1x2＜1故选D．【点评】本题主要考查确定函数零点所在区间的方法﹣﹣转化为两个函数的交点问题．函数的零点等价于函数与x轴的交点的横坐标，等价于对应方程的根．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（6分）已知直线x+ay=2a+2与直线ax+y=a+1平行，则实数a的值为

．参考答案：1考点： 直线的一般式方程与直线的平行关系．分析： 利用两条直线平行，斜率相等，建立等式即可求a的值．解答： 因为直线ax+y=a+1的斜率存在，要使两条直线平行，必有解得a=±1，当a=﹣1时，已知直线x﹣y=0与直线﹣x+y=0，两直线重合，当a=1时，已知直线x+y=4与直线x+y=3，两直线平行，则实数a的值为1．故答案为：1．点评： 本题考查两条直线平行的判定，是基础题．本题先用斜率相等求出参数的值，再代入验证，是解本题的常用方法12.符号表示不超过x的最大整数，如，定义函数.给出下列四个结论：①函数的定义域是R，值域为[0,1]；②方程有2个解；③函数是增函数；④函数对于定义域内任意x，都有，其中正确结论的序号有

．参考答案：②④画出函数的图象（如图）。函数{x}的定义域是R，但0?x?[x]<1，故函数{x}的值域为[0,1)，故①不正确；由图象可得函数的图象与的图象有两个交点，所以方程有两个解，即方程有2个解，故②正确；由图象可得函数不是单调函数，故③不正确；因为{x+1}=x+1?[x+1]=x?{x}={x}，所以，故④正确。综上可得②④正确。答案：②

④

13.函数的最小正周期为

▲

．参考答案：

14.幂函数的图像过点，则它的单调递减区间是

.参考答案：略15.已知直线l1：y=3x﹣4和直线l2：关于点M（2，1）对称，则l2的方程为

．参考答案：3x﹣y﹣6=0【考点】IQ：与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】在直线线l2上任意取一点A（x，y），则由题意可得，点A关于点M的对称点B在直线l1：y=3x﹣4上，由此求得关于x、y的方程，即为所求．【解答】解：在直线l2上任意取一点A（x，y），则由题意可得，点A关于点M（2，1）的对称点B（4﹣x，2﹣y）在直线l1：y=3x﹣4上，故有3（4﹣x）﹣4=2﹣y，即3x﹣y﹣6=0．故答案为：3x﹣y﹣6=0．16..设函数，给出以下四个论断：①它的图象关于直线对称；

②它的图象关于点对称；③它的周期是；

④在区间上是增函数。以其中两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的命题：条件_________结论________

；（用序号表示）参考答案：有4不对

略17.已知等差数列的前项和为，若，且，，三点共线（该直线不过点），则=_____________．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知是对称轴为的二次函数，且，.（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）求在上的值域.参考答案：（Ⅰ）设（Ⅱ）19.已知函数f(x)=cos,(1)求函数f(x)的单调区间.(2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值,并求出取得最值时x的值.参考答案：(1)因为f(x)=cos,函数f(x)的单调递增区间为.单调减区间为(2)因为f(x)=cos在区间上为增函数,在区间上为减函数,又f=0,f=,f=cos=-cos=-1,故函数f(x)在区间上的最大值为,此时x=,最小值为-1,此时x=略20..已知数列{an},{bn}满足=(1)若求数列{an}的通项公式;(2)若==对一切恒成立,求实数取值范围.参考答案：（1）=；（2）.【分析】（1）由，结合可得数列为等差数列，进而可得所求；（2）由得，利用累加法并结合等比数列的前项和公式求出，化简得，再利用数列的单调性求出的最大值即可得出结论.【详解】（1）由，可得=．∴数列是首项为1，公差为4的等差数列，∴.（2）由及，得=，∴，∴，又满足上式，∴．∵对一切恒成立，即对一切恒成立，∴对一切恒成立．又数列为单调递减数列，∴，∴，∴实数取值范围为．【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式与前项和公式，考查了累加法与恒成立问题、逻辑推理能力与计算能力，解决数列中的恒成立问题时，也常利用分离参数的方法，转化为求最值的问题求解．21.已知且，求函数的最大值和最小值．参考答案：最大值是,最小值是．试题分析：因为是增函数,所以,又因为在上是增函数,所以,综上可知,,又,令,,时,；时,.试题解析：解：最大值647，最小值考点：换元法求函数值域.【思路点晴】本题考查学生的是换元法求复合函数的值域,属中档题目.首先通过解指数不