山西省太原市西山煤电集团公司第七中学2022-2023学年高三数学文期末试题含解析

山西省太原市西山煤电集团公司第七中学2022-2023学年高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.定义在R上的可导函数满足，记的导函数为，当时恒有．若，则m的取值范围是A． B． C． D．参考答案：D构造函数，所以构造函数，，所以的对称轴为，所以，是增函数；是减函数。，解得：【点睛】压轴题，考查导数与函数，涉及到构函数以及对称轴的性质。难度比较大。2.函数y＝的定义域为()A．(－4，－1)

B．(－4,1)C．(－1,1)

D．(－1,1参考答案：C3.若函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则=（

）A.

3

B.

2

C.

D.参考答案：D略4.已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）=1，且f（x）的导函数f′（x）＜，则f（x）＜+的解集为（）A．{x|﹣1＜x＜1} B．{x|＜﹣1} C．{x|x＜﹣1或x＞1} D．{x|x＞1}参考答案：D【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】根据条件，构造函数g（x）=f（x）﹣﹣，求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论．【解答】解：设g（x）=f（x）﹣﹣，则函数的g（x）的导数g′（x）=f′（x）﹣，∵f（x）的导函数f′（x）＜，∴g′（x）=f′（x）﹣＜0，则函数g（x）单调递减，∵f（1）=1，∴g（1）=f（1）﹣﹣=1﹣1=0，则不等式f（x）＜+，等价为g（x）＜0，即g（x）＜g（1），则x＞1，即f（x）＜+的解集{x|x＞1}，故选：D5.甲：函数是上的单调递增函数；乙：，则甲是乙的（

）A.充要条件

B.

既不充分也不必要条件

C.

充分不必要条件

D.必要不充分条件参考答案：C【知识点】充分条件与必要条件【试题解析】若甲成立，则乙一定成立；

反过来，才能说明是上的单调递增函数，

故反过来不成立。

所以甲是乙的充分不必要条件。

故答案为：C6.设m，n是空间两条直线，α，β是空间两个平面，则下列选项中不正确的是(

) A．当m?α时，“n∥α”是“m∥n”的必要不充分条件 B．当m?α时，“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件 C．当n⊥α时，“n⊥β”是“α∥β”成立的充要条件 D．当m?α时，“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要条件参考答案：A考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：当m?α时，“n∥α”是“m∥n”的不必要不充分条件；当m?α时，“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件；当n⊥α时，“n⊥β”是“α∥β”成立的充要条件；当m?α时，“n⊥α”?“m⊥n”，“m⊥n”?“n⊥α”．解答： 解：当m?α时，“n∥α”?“m∥n或m与n异面”，“m∥n”?“n∥α或n?α”，∴当m?α时，“n∥α”是“m∥n”的不必要不充分条件，故A错误；当m?α时，“m⊥β”?“α⊥β”，“α⊥β”推不出“m⊥β”，∴当m?α时，“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件，故B正确；当n⊥α时，“n⊥β”?“α∥β”，∴当n⊥α时，“n⊥β”是“α∥β”成立的充要条件，故C正确；当m?α时，“n⊥α”?“m⊥n”，“m⊥n”?“n⊥α”，故D正确．故选：A．点评：本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．7.某多面体的三视图如图所示，每一小格单位长度为l，则该多面体的外接球的表面积是A．27π

B．π

C．9π

D．π参考答案：A根据三视图可知，该多面体为镶嵌在正方体中的四棱锥，故外接球直径即正方体的体对角线长，故选：A

8.在平面区域内随机投入一点，则点的坐标满足的概率为（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A画出平面区域，如图，阴影部分符合，其面积为：，正方形面积为1，故所求概率为：9.已知点P是椭圆(x≠0，y≠0)上的动点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，若M是∠F1PF2的平分线上一点，且，则的取值范围是(

)A．[0,3)

B．(0,2)

C．[2，3)

D．(0,4]参考答案：B10.公差不为零的等差数列{an}中，成等比数列，则（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】设的公差为，根据成等比数列，可得，化简求得的关系再求解.【详解】设的公差为，由成等比数列，可得，即，即，故.故选：B【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的基本运算，还考查运算求解的能力，属于基础题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（理科）某单位为了了解用电量y度与气温之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温(0C)181310-1用电量(度)24343864由表中数据得线性回归方程中，预测当气温为时，用电量的度数约为________.参考答案：6812.曲线在点(0,1)处的切线方程为__________.参考答案：【分析】利用导数值确定切线斜率，再用点斜式写出切线方程。【详解】，当时其值为，故所求的切线方程为，即。【点睛】曲线切线方程的求法：(1)以曲线上的点(x0，f(x0))为切点的切线方程的求解步骤：①求出函数f(x)的导数f′(x)；②求切线的斜率f′(x0)；③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简．(2)如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组得切点(x0，y0)，进而确定切线方程．

13.在边长为1的正方形ABCD中,E、F分别为BC、DC的中点，则__________.参考答案：1略14.若二次函数的图象和直线y=x无交点，现有下列结论：

①方程一定没有实数根；

②若a>0，则不等式对一切实数x都成立；

③若a<0，则必存存在实数x0，使；

④若，则不等式对一切实数都成立；

⑤函数的图像与直线也一定没有交点。

其中正确的结论是

（写出所有正确结论的编号）.参考答案：①②④⑤因为函数的图像与直线没有交点，所以或恒成立．①

因为或恒成立，所以没有实数根；②若，则不等式对一切实数都成立；

③若，则不等式对一切实数都成立，所以不存在，使；

④若，则，可得，因此不等式对一切实数都成立；

⑤易见函数，与的图像关于轴对称，所以和直线也一定没有交点15.定义运算符号“”：表示若干个数相乘，例如：．记，其中为数列中的第项．（1）若，则

；（2）若，则

．参考答案：（1105；（2）16.集合A={1，3，a2}，集合B={a+1，a+2}，若B∪A=A，则实数a=

．参考答案：2【考点】18：集合的包含关系判断及应用．【分析】根据并集的意义，由A∪B=A得到集合B中的元素都属于集合A，列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值．【解答】解：由A∪B=A，得到B?A，∵A={1，3，a2}，集合B={a+1，a+2}，∴a+1=1，a+2=a2，或a+1=a2，a+2=1，或a+1=3，a+2=a2，或a+1=a2，a+2=3，解得：a=2．故答案为2．【点评】此题考查了并集的意义，以及集合中元素的特点．集合中元素有三个特点，即确定性，互异性，无序性．学生做题时注意利用元素的特点判断得到满足题意的a的值．17.若，则的最小值是

．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分13分）已知关于的一元二次方程．（Ⅰ）若是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率；（Ⅱ）若，求方程没有实根的概率．参考答案：（Ⅰ）基本事件共有36个，方程有正根等价于，即。设“方程有两个正根”为事件，则事件包含的基本事件为共4个，故所求的概率为；

……………6分（Ⅱ）试验的全部结果构成区域，其面积为设“方程无实根”为事件，则构成事件的区域为，其面积为故所求的概率为

……………13分19.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），是上一点，点满足，点轨迹为.（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与的异于极点的交点为，与

的异于极点的交点为，求.参考答案：（Ⅰ）设，则由条件知，由于在上，，即，的参数方程为（为参数）；（Ⅱ）曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，射线与的交点的极径为，射线与的交点的极径为，.20.（12分）某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．（Ⅰ）求直方图中x的值；（Ⅱ）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿；（Ⅲ）从学校的新生中任选4名学生，这4名学生中上学所需时间少于20分钟的人数记为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中新生上学所需时间少于20分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于20分钟的概率）

参考答案：考点:离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题:概率与统计．分析:（I）由题意，可由直方图中各个小矩形的面积和为1求出x值．（II）再求出小矩形的面积即上学所需时间不少于1小时组人数在样本中的频率，再乘以样本容量即可得到此组的人数即可．（Ⅲ）求出随机变量X可取得值，利用古典概型概率公式求出随机变量取各值时的概率，列出分布列，利用随机变量的期望公式求出期望．解：（Ⅰ）由直方图可得：20×x+0.025×20+0.0065×20+0.003×2×20=1．所以x=0.0125．（Ⅱ）新生上学所需时间不少于1小时的频率为：0.003×2×20=0.12，因为600×0.12=72，所以600名新生中有72名学生可以申请住宿．（Ⅲ）X的可能取值为0，1，2，3，4．由直方图可知，每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为，，，，，．所以X的分布列为：．（或）所以X的数学期望为1．点评:本题考查频率分布直方图，考查离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的期望等，解题的关键是理解直方图中各个小矩形的面积的意义及各个小矩形的面积和为1，考查了识图的能力．

21.已知集合A={a1，a2，…，am}．若集合A1∪A2∪A3∪…∪An=A，则称A1，A2，A3，…，An为集合A的一种拆分，所有拆分的个数记为f（n，m）．（1）求f（2，1），f（2，2），f（3，2）的值；（2）求f（n，2）（n≥2，n∈N*）关于n的表达式．参考答案：【考点】并集及其运算．【分析】（1）设A1∪A2={a1}，得f（2，1）=3；设A1∪A2={a1，a2}，得f（2，2）=9；设A1∪A2∪A3={a1，a2}，由此利用分类讨论思想能求出f（3，2）．（2）猜想f（n，2）=（2n﹣1）2，n≥2，n∈N*，再利用数学归纳法进行证明．【解答】解：（1）设A1∪A2={a1}，共有3种，即f（2，1）=3；…设A1∪A2={a1，a2}，若A1=?，则有1种；若A1={a1}，则有2种；若A1={a2}，则有2种；若A1={a1，a2}，则有4种；即f（2，2）=9；…设A1∪A2∪A3={a1，a2}，若A1=?，则A2∪A3={a1，a2}，所以有f（2，2）=9种；若A1={a1}，则A2∪A3={a1，a2}或A2∪A3={a2}，所以有f（2，2）+f（2，1）=12；若A1={a2}，则有12种；若A1={a1，a2}，则A2∪A3={a1，a2}或A2∪A3={a1}或A2∪A3={a2}或A2∪A3=?，所以有1+3+3+9=16种；即f（3，2）=49．…（2）猜想f（n，2）=（2n﹣1）2，n≥2，n∈N*，用数学归纳法证明．当n=2时，f（2，2）=9，结论成立．…假设n=k时，结论成立，即f（k，2）=（2k﹣1）2，当n=k+1时，A1∪A2∪…∪Ak+1={a1，a2}当Ak+1=?时，A1∪A2∪A3∪…∪Ak={a1，a2}，所以有f（k，2）=（2k﹣1）2种；当Ak+1={a1}时，A1∪A2∪…∪Ak={a1，a2}，所以有f（k，2）=（