山西省太原市外语科技实验中学高三数学文模拟试题含解析

山西省太原市外语科技实验中学高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D，当x1+x2=2a时，恒有f（x1）+f（x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心．研究函数f（x）=x3+sinx+1的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到f（﹣2015）+f（﹣2014）+f（﹣2013）+…+f+f=(

) A．0 B．2014 C．4028 D．4031参考答案：D考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：函数f（x）=x3+sinx+1图象的对称中心的坐标为（0，1），即x1+x2=0时，总有f（x1）+f（x2）=2，再利用倒序相加，即可得到结论解答： 解：∵f（x）=x3+sinx+1，∴f′（x）=3x2﹣cosx，f''（x）=6x+sinx又∵f''（0）=0而f（x）+f（﹣x）=x3+sinx+1+﹣x3﹣sinx+1=2，函数f（x）=x3+sinx+1图象的对称中心的坐标为（0，1），即x1+x2=0时，总有f（x1）+f（x2）=2，∴f（﹣2015）+f（﹣2014）+f（﹣2013）+…+f+f=2×2015+f（0）=4030+1=4031．故选：D．点评：本题考查函数的对称性，确定函数的对称中心，利用倒序相加x1+x2=0时，总有f（x1）+f（x2）=2，是解题的关键．2.设Sn是公差不为零的等差数列的前n项和，且a1>0，若S5=S9，则当Sn最大时，n=A．6 B．7 C．8 D．9参考答案：B3.已知，，则“”是“”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：D4.某几何体由圆柱挖掉半个球和一个圆锥所得，三视图中的正视图和侧视图如图所示，求该几何体的表面积（）A．60π B．75π C．90π D．93π参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由正视图与侧视图可知：圆柱的底面直径为6，高为7，球的直径为6，圆锥的底面直径为6，高为4，代入公式，可得答案．【解答】解：由正视图与侧视图可知：圆柱的底面直径为6，高为7，球的直径为6，圆锥的底面直径为6，高为4．可得该几何体的表面积S=2π×3×7+π×3×+2π×32=75π，故选：B．5.△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足＝2，＝2+，则下列结论正确的是（）A．||＝1 B．⊥ C．?＝1 D．（4+）⊥参考答案：D试题分析：,,．由题意知．．．故D正确．考点：1向量的加减法；2向量的数量积；3向量垂直．6.函数的零点个数为A．

B．

C．

D．参考答案：B7.设函数若关于的方程恰有四个不同的实数解，则实数的取值范围为（

）

A．

B．

C．

D．

参考答案：B略8.若函数与在区间[1，2]上都是减函数，则的取值范围是（）

A．（－1，0）

B．（0，1]

C．（0，1）

D．（－1，0）∪（0，1]参考答案：B由在区间[1，2]上是减函数，则；

由在区间[1，2]上都是减函数，则，得。

因此函数与在区间[1，2]上都是减函数，则，故选择B。9.若是方程式的解，则属于区间

（

）A．（0，1）

B．（1，2）.

C．（2，3）

D．（3，4）参考答案：B略10.的三内角A，B，C所对边长分别是，设向量

，若，则角的大小为

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设函数的定义域为D，若存在非零实数m满足，均有，且，则称为上的m高调函数．如果定义域为R的函数是奇函数，当时，，且为R上的8高调函数，那么实数a的取值范围是

．参考答案：12.若直线的倾斜角为钝角，则实数的取值范围是

．参考答案：13.等差数列{an}的公差d≠0，a1=20，且a3，a7，a9成等比数列．Sn为{an}的前n项和，则S10的值为

．参考答案：110【考点】等差数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】根据等比数列的性质建立条件关系，求出等差数列的公差，即可得到结论．【解答】解：由a3，a7，a9成等比数列，则a3a9=（a7）2，即（a1+2d）（a1+8d）=（a1+6d）2，化简可得2a1d+20d2=0，由a1=20，d≠0，解得d=﹣2．则S10=10a1+×（﹣2）=110，故答案为：110．【点评】本题主要考查等差数列的性质和等差数列的求和，根据等比数列的性质求出等差数列的公差是解决本题的关键，属于基础题．14.设函数的定义域是D，，有的反函数为，已知，则=___________。（用表示）；参考答案：15.当0<x<1时，的大小关系是_____________；参考答案：

16.函数的图象与的图象（且）交于两点（2,5），（8,3），则的值等于

；参考答案：1017.若集合A={x|lgx＜1}，B={y|y=sinx，x∈R}，则A∩B=．参考答案：（0，1]分析： 由对数函数、正弦函数的性质求出集合A、B，再由交集的运算求出A∩B．解答： 解：由lgx＜1=lg10得，0＜x＜10，则集合A={x|0＜x＜10}=（0，10），由﹣1≤sinx≤1得，集合B={y|﹣1≤y≤1}=[﹣1，1]，所以A∩B=（0，1]，故答案为：（0，1]．点评： 本题考查了交集及其运算，以及对数函数、正弦函数的性质，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.一水渠的横截面如下图所示，它的横截面曲线是抛物线形，AB宽2m，渠OC深为1.5m，水面EF距AB为0.5m.（1）求截面图中水面宽度；（2）如把此水渠改造成横截面是等腰梯形，要求渠深不变，不准往回填土，只准挖土，试求截面梯形的下边长为多大时，才能使所挖的土最少？参考答案：（2）如上图，设抛物线一点M(t,t2-)（t>0），因改造水渠中需挖土，而且要求挖出的土最少，所以只能沿过点M与抛物线相切的切线挖土.由y=x2-,求导得y′=3x，∴过点M的切线斜率为3t，切线方程为y-(t2-)=3t(x-t).令y=0，则x1=,令y=-,则x2=,故截面梯形面积为S=(2x1+2x2)·=(+t)≥,当且仅当t=时所挖土最少，此时下底宽m.

略19.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的方程为，曲线C2的参数方程为（为参数），曲线C3的方程为，（），曲线C3与曲线C1，C2分别交于P，Q两点．（Ⅰ）求曲线C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）求的取值范围．参考答案：解：（Ⅰ）因为，，所以曲线的极坐标方程为，即由（为参数），消去，即得曲线直角坐标方程为将，，代入化简，可得曲线的极坐标方程为（Ⅱ）曲线的极坐标方程为，由（1）得，即因为，所以，所以

20.已知椭圆C：（a＞b＞0）的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，F1，F2为椭圆的左、右焦点．M为椭圆上任意一点，△MF1F2面积的最大值为4．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C上的任意一点N（x0，y0），从原点O向圆N：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=3作两条切线，分别交椭圆于A，B两点．试探究|OA|2+|OB|2是否为定值，若是，求出其值；若不是，请说明理由．参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）求得抛物线的焦点，可得c，再由当M位于椭圆短轴端点处△MF1F2面积取得最大值．可得b，由a，b，c的关系求得a，进而得到椭圆方程；（2）设直线OA：y=k1x，OB：y=k2x，A（x1，y1），B（x2，y2），设过原点圆（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=3的切线方程为y=kx，运用直线和圆相切的条件：d=r，联立直线OA、OB方程和椭圆方程，求得A，B的坐标，运用韦达定理，化简整理，即可得到定值．【解答】解：（1）抛物线的焦点为（2，0），由题意可得c=2，△MF1F2面积的最大值为4，可得当M位于椭圆短轴端点处取得最大值．即有b?2c=4，解得b=2，a2=b2+c2=4+8=12，则椭圆方程为+=1；

（2）证明：设直线OA：y=k1x，OB：y=k2x，A（x1，y1），B（x2，y2），设过原点圆（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=3的切线方程为y=kx，则有=，整理得（x02﹣3）k2﹣2x0y0k+y02﹣3=0，即有k1+k2=，k1k2=，又因为+=1，所以可求得k1k2==﹣，将y=k1x代入椭圆方程x2+3y2=12，得x12=，则y12=，同理可得x22=，y22=，所以|OA|2+|OB|2=+===16．所以|OA|2+|OB|2的值为定值16．21.(2011·福州高二检测)当实数m为何值时，复数z=(m2－8m+15)+(m2+3m－28)i(m∈R)在复平面内对应的点，(1)在x轴上？

(2)在第四象限？

(3)位于x轴负半轴上？参考答案：解：(1)由已知得：m2+3m－28=0，∴(m+7)(m－4)=0，解得：m=－7或m=4.(2)由已知得：，∴，∴－7<m<3.(3)由已知得：，∴，∴m=4.

22.（本小题满分12分）已知数列满足（为常数），成等差数列.（Ⅰ）求p的值及数列的通项公式；（Ⅱ）设数列满足，证明：.参考答案：解：（Ⅰ）由得∵成等差数列，∴即得………（2分）依题意知，当时，…相加得∴∴……………（4分）又适合上式，………（5分）故……………………（6分）（Ⅱ）证明：∵∴∵

…（8分）若则即当时，有…………………（10分）又因为………（11分）故……………………（12分）（Ⅱ）法二：要证

只要证…………（7分）下面用数学归纳法证明：①