山西省太原市同心外国语学校2021年高三数学理月考试题含解析

山西省太原市同心外国语学校2021年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知正实数，若，则的最大值为A．1

B．

C．

D．

参考答案：C2.已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，它们在第一象限内的交点为，且与轴垂直，则此双曲线的离心率为（

）

A．

B．2

C．

D．参考答案：C略3.设复数z满足（其中i为虚数单位）,则下列说法正确的是（

）A．B．复数z的虚部是iC．D．复数z在复平面内所对应的点在第一象限参考答案：D4.已知f(x)是定义在[－10,10]上的奇函数，且，则函数f(x)的零点个数至少为（

）A.3 B.4 C.5 D.6参考答案：C【分析】根据函数是定义在上的奇函数可得，可判断函数的零点个数为奇数，结合求得的值为零，从而可得结果.【详解】是定义在上的奇函数，，且零点关于原点对称，零点个数为奇数，排除选项，又，，，，的零点至少有个，故选C.【点睛】本题主要考查函数的零点、函数奇偶性的应用以及抽象函数的解析式，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.5.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：cm3）是（

）A．

B．

C.

D．参考答案：B6.若tanα＞0，则（）A．sinα＞0 B．cosα＞0 C．sin2α＞0 D．cos2α＞0参考答案：C【考点】三角函数值的符号．【分析】化切为弦，然后利用二倍角的正弦得答案．【解答】解：∵tanα＞0，∴，则sin2α=2sinαcosα＞0．故选：C．7.已知是定义在上的函数，且满足,．若曲线在处的切线方程为，则曲线在处的切线方程为

A．

B．

C．

D．参考答案：D【知识点】函数的图象与性质B4

B8由题意可知函数为偶函数，且函数关系对称，所以函数的周期为4，又根据处的切线方程为，可知处的切线方程为，所以向右平移4个单位可得在处的切线方程.【思路点拨】根据函数的性质可判定函数的对称轴与周期，再经过图象的平移可得到切线方程.8.设复数eiθ=cosθ+isinθ，则复数e的虚部为（）A． B． C．i D．i参考答案：B【考点】复数代数形式的混合运算；复数的基本概念．【专题】数系的扩充和复数．【分析】把代入已知条件，求出三角函数值即可得到复数的虚部．【解答】解：由eiθ=cosθ+isinθ，得e=，∴复数e的虚部为．故选：B．【点评】本题考查了复数的基本概念，考查了三角函数的求值，是基础题．9.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，，则△ABC的面积为（

）A.2 B. C.4 D.参考答案：B【分析】由正弦定理化简得，再由余弦定理得，进而得到，利用余弦定理，列出方程求得，最后结合三角形的面积公式，即可求解.【详解】在△ABC中，，由正弦定理，可得，即，又由余弦定理可得，可得，因为，，由余弦定理，可得，即，即，解得，所以三角形的面积为.故选：B.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.10.若，则“”是“”的（A）充分不必要条件

（B）必要不充分条件

（C）充要条件

（D）既不充分也不必要条件参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数的定义域为,则函数的定义域为

参考答案：（0，1/2）略12.用系统抽样法要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1——160编号。按编号顺序平均分成20组（1—8号，9—16号，……153—160号），若第16组应抽出的号码为126，则第一组中用抽签方法确定的号码是________。参考答案：6

略13.已知的零点在区间上，则的值为

参考答案：【知识点】函数的零点B9【答案解析】1解析：解：观察y=ln（x+1）与y=的图象交点位置∵ln2＜1，ln3＞∴的零点在区间（1，2）上，故k=1故答案为1．【思路点拨】先画出y=ln（x+1）与y=的图象，然后关系交点所处的区间，比较区间端点的函数值是否大小发生变化，总而确定零点所在区间．14.已知的展开式中含项的系数为－14，则

.参考答案：

根据乘法分配律得，，.，，表示圆心在原点，半径为的圆的上半部分.当时，，故.

15.在的展开式中常数项的系数是60，则a的值为

．参考答案：2．解：Tr+1==ar，令3﹣=0，解得r=2．∴=60，a＞0，解得a=2．故答案为：2．【考点】二项式系数的性质．考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16.（5分）（2014?东营二模）设E，F分别是Rt△ABC的斜边BC上的两个三等分点，已知AB=3，AC=6，则=．参考答案：10【考点】：平面向量数量积的运算．【专题】：计算题．【分析】：由已知中E，F分别是Rt△ABC的斜边BC上的两个三等分点，已知AB=3，AC=6，我们可以以A为坐标原点，AB、AC方向为X，Y轴正方向建立坐标系，分别求出向量，的坐标，代入向量数量积的运算公式，即可求出答案．解：以A为坐标原点，AB、AC方向为X，Y轴正方向建立坐标系∵AB=3，AC=6，则A（0，0），B（3，0），C（0，6）又∵E，F分别是Rt△ABC的斜边BC上的两个三等分点，则E（2，2），F（1，4）则=（2，2），=（1，4）∴=10故答案为：10【点评】：本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，其中建立坐标系，将向量数量积的运算坐标化可以简化本题的解答过程．17.已知，则______．参考答案：..三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在△ABC中，角的对边分别为，且满足：

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若△的面积为，，求边的值。参考答案：（1）解法一：由余弦定理，

………………

3分即：

………………

5分

所以，A=B。

………………6分

解法二：由正弦定理，等价于………………

2分

又因为，所以：……3分则：

……4分又因为：，所以：

……5分所以：A-B=0.即：A=B

……6分（2） 解：因为，所以。则：……7分又因为，所以：a=b=5

……9分则：……11分ks5u所以：

……12分略19.（本小题满分14分）如图，两座建筑物的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9和15，从建筑物的顶部看建筑物的视角.(1)

求的长度；(2)

在线段上取一点点与点不重合），从点看这两座建筑物的视角分别为问点在何处时，最小？参考答案：⑴作，垂足为，则，，设，则…2分，化简得，解之得，或（舍）答：的长度为．………………6分⑵设，则，．………8分设，，令，因为，得，当时，，是减函数；当时，，是增函数，所以，当时，取得最小值，即取得最小值，………12分因为恒成立，所以，所以，，因为在上是增函数，所以当时，取得最小值．答：当为时，取得最小值．……………14分略20.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知sinB+sinC=msinA（m∈R），且a2﹣4bc=0．（1）当a=2，时，求b、c的值；（2）若角A为锐角，求m的取值范围．参考答案：【考点】HR：余弦定理．【分析】（1）sinB+sinC=msinA（m∈R），利用正弦定理可得：b+c=ma，且a2﹣4bc=0．a=2，时，代入解出即可得出．（2）利用余弦定理、不等式的解法即可得出．【解答】解：（1）由题意得b+c=ma，a2﹣4bc=0．当时，，bc=1．解得．（2）．∴，又由b+c=ma可得m＞0，所以．21.

（13分）已知函数，在曲线的所有切线中，有且仅有一条切线l与直线垂直.

(Ⅰ)求a的值和切线l的方程；

(Ⅱ)设曲线上任一点处的切线的倾斜角为，求的取值范围.参考答案：解析：(Ⅰ).………2分∵在曲线的所有切线中，有且仅有一条切线l与直线垂直，∴有且只有一个实数根.∴.

∴.…………………4分∴,.

∴切线l:.

即.………7分(Ⅱ)

∵.………………9分∴