山西省大同市柴油机厂子弟学校2023年高二数学理期末试题含解析

山西省大同市柴油机厂子弟学校2023年高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.定义在上的可导函数满足：且，则的解集为（

）A、

B、

C、

D、参考答案：C2.已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则a的值为A．

B．

C．4

D．10参考答案：C3.在5道题中有3道理科题和2道文科题.不放回地依次抽取2道题，则在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略4.已知命题p：?x∈R，lnx+x﹣2=0，命题q：?x∈R，2x≥x2，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q参考答案：C【考点】复合命题的真假．【分析】先判定命题p是真命题，得￢p是假命题；再判定命题q是假命题，得￢q是真命题；从而判定各选项是否正确．【解答】解：对于命题p：∵y=lnx与y=2﹣x在坐标系中有交点，如图所示；即?x0∈R，使lnx0=2﹣x0，∴命题p正确，￢p是假命题；对于命题q：当x=3时，23＜32，∴命题q错误，￢q是真命题；∴p∧q是假命题，￢p∧q是假命题；p∧￢q是真命题，￢p∧￢q是假命题；综上，为真命题的是C．故选：C．5.设等差数列的前项和为，若，，则（

）A．63

B．45

C．36

D．27参考答案：B6.某国企进行节能降耗技术改造，如表是该国企节能降耗技术改造后连续五年的生产利润：年号x12345年生产利润y（单位：千万元）0.70.811.11.4预测第8年该国企的生产利润约为（

）千万元（参考公式及数据：,）A.1.88 B.2.21 C.1.85 D.2.34参考答案：C【分析】由所给数据求出，再求出线性回归方程，即可预测第8年该国企的生产利润。【详解】由所给数据可得，，，所以线性回归方程为当时，故选C.【点睛】本题考查线性回归方程等知识，属于简单题。7.圆C1：（x+2）2+（y﹣2）2=1与圆C2：（x﹣2）2+（y﹣5）2=16的位置关系是（）A．外离 B．相交 C．内切 D．外切参考答案：D【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题．【分析】先根据圆的标准方程得到分别得到两圆的圆心坐标及两圆的半径，然后利用圆心之间的距离d与两个半径相加、相减比较大小即可得出圆与圆的位置关系．【解答】解：由圆C1：（x+2）2+（y﹣2）2=1与圆C2：（x﹣2）2+（y﹣5）2=16得：圆C1：圆心坐标为（﹣2，2），半径r=1；圆C2：圆心坐标为（2，5），半径R=4．两个圆心之间的距离d==5，而d=R+r，所以两圆的位置关系是外切．故选D【点评】考查学生会根据d与R+r及R﹣r的关系判断两个圆的位置关系，会利用两点间的距离公式进行求值．8.已知函数的定义域为，值域为，则在平面直角坐标系内，点的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积为

（

）

A． B．

C．

D．参考答案：C略9.已知点到和到的距离相等，则的最小值为A.

B.

C.

D.参考答案：D10.若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值(▲)A．4

B．5

C．6

D．7参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知方程，有且仅有四个解，，，，则______．参考答案：由图可知,且时,与只有一个交点,令,则由,再由,不难得到当时与只有一个交点,即,因此点睛：(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.12.设直线是曲线的一条切线，则实数．参考答案：ln2-113.两个不重合的平面可以把空间分成________部分.参考答案：3或414.已知函数f（x）=sin（2x﹣），那么f′（）的值是_________．参考答案：略15.一物体的运动方程是，则该物体在时的速度为参考答案：略16.设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意x∈M（M?D），有x+t∈D，且f（x+t）≥f（x），则称f（x）为M上的t高调函数．如果定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=|x﹣a2|﹣a2，且f（x）为R上的4高调函数，那么实数a的取值范围是．参考答案：﹣1≤a≤1【考点】函数单调性的性质．【分析】根据分段函数的意义，对f（x）的解析式分段讨论，可得其分段的解析式，结合其奇偶性，可得其函数的图象；进而根据题意中高调函数的定义，可得若f（x）为R上的4高调函数，则对任意x，有f（x+4）≥f（x），结合图象分析可得4≥4a2；解可得答案．【解答】解：根据题意，当x≥0时，f（x）=|x﹣a2|﹣a2，则当x≥a2时，f（x）=x﹣2a2，0≤x≤a2时，f（x）=﹣x，由奇函数对称性，有则当x≤﹣a2时，f（x）=x+2a2，﹣a2≤x≤0时，f（x）=﹣x，图象如图：易得其图象与x轴交点为M（﹣2a2，0），N（2a2，0）因此f（x）在[﹣a2，a2]是减函数，其余区间是增函数．f（x）为R上的4高调函数，则对任意x，有f（x+4）≥f（x），故当﹣2a2≤x≤0时，f（x）≥0，为保证f（x+4）≥f（x），必有f（x+4）≥0；即x+4≥2a2；有﹣2a2≤x≤0且x+4≥2a2可得4≥4a2；解可得：﹣1≤a≤1；故答案为﹣1≤a≤1．17.已知向量与互相垂直，则x=________．参考答案：1【分析】两向量垂直，其数量积的等于0.【详解】【点睛】本题考查两向量垂直的数量积表示，属于基础题。

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分） 已知函数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数在处取得极值，对,恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，求证：．参考答案：（1）得0<x<,得x>∴在上递减，在上递增.（2）∵函数在处取得极值，∴，

∴，

令，可得在上递减，在上递增，∴，即．（3）证明：，令，则只要证明在上单调递增，又∵，显然函数在上单调递增．∴，即，∴在上单调递增，即，∴当时，有．19.某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）．（1）应收集多少位女生的样本数据？（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]①估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率P；②假设该校每个学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率都为P，试求从中任选三人至少有一人每周平均体育运动时间超过4小时的概率（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．P（K2≥k0）0.100.050.0100.005k02.7063.8416.6357.879附：K2=．

男生女生总计每周平均体育运动时间不超过4小时453075每周平均体育运动时间超过4小时16560225总计21090300参考答案：【考点】独立性检验．【分析】（1）根据分层抽样原理计算应收集的女生数；（2）①由频率分布直方图计算对应的频率值即可；②根据n次对立重复实验的概率模型计算概率值；（3）计算对应的数值，填写列联表，计算观测值K2，即可得出结论．【解答】解：（1）300×=90，所以应收集90位女生的样本数据；（2）①由频率分布直方图得1﹣2×（0.100+0.025）=0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75；②假设该校每个学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率都为0.75，从中任选三人至少有一人每周平均体育运动时间超过4小时的概率为P=1﹣0.754=；（3）由（2）知，300位学生中有300×0.75=225人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时，又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：每周平均体育运动时间与性别列联表

男生女生总计每周平均体育运动时间不超过4小时453075每周平均体育运动时间超过4小时16560225总计21090300结合列联表可算得K2==≈4.762＞3.841，所以有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．20.（12分）设分别是椭圆C：的左、右焦点.

（1）设椭圆C上的点到两点距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；(2)设是（1）中所得椭圆上的动点，求线段的中点B的轨迹方程。参考答案：（1）由于点（在椭圆上，所以，2a=4,

解得a=2,

b=.所以椭圆C的方程为

焦点坐标分别为（—1，0），（1，0）………6分（2）设的中点为B(x，y),则点(2x+1,2y)在椭圆上。把点坐标代入椭圆中得故线段的中点B的轨迹方程为………………12分略21.已知，:,:．（I）若是的充分条件，求实数的取值范围；（Ⅱ）若，“或”为真命题，“且”为假命题，求实数的取值范围参考答案：（I）是的充分条件是的子集的取值范围是

………5分（Ⅱ）当时，，由题意可知一真一假，……………6分真假时，由………7分假真时，由………9分所以实数的取值范围是………10分22.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过点P（1，），且两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形．（1）求椭圆的方程．（2）过定点（0，-）的动直线l，交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T．若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：(1)；(2)答案见解析.试题分析：（）由题可知，则，椭圆经过点，带入可得，由此可知所求椭圆方程为；(2)分别求出与轴平行时和与轴垂直时得圆得方程，联立可求得两圆得切点，进而推断所求的点如果存在只能是，当直线与轴垂直时，以为直径的圆过点，当直线不垂直于轴时设直线的方程为，与椭圆的方程联立求得，证明出,即以为直径得圆恒过点.试题解析：（1）∵椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，∴，∴，又∵椭圆经过点，代入可得，∴，故所求椭圆方程为．（2）当与轴平行时，以为直径的圆的方程：，当与轴垂直时，以为直径的