山西省大同市第十中学高三数学理上学期期末试题含解析

山西省大同市第十中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合，集合，则（）A．

B．

C．

D．参考答案：C,选C.

2.已知复数z，“z+=0”是“z为纯虚数”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也不必要条件参考答案：B【考点】复数的基本概念；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】阅读型；对应思想；分析法；数系的扩充和复数．【分析】由充分必要条件的判断方法，结合两复数和为纯虚数的条件判断．【解答】解：对于复数z，若z+=0，z不一定为纯虚数，可以为0，反之，若z为纯虚数，则z+=0．∴“z+=0”是“z为纯虚数”的必要非充分条件．故选：B．【点评】本题考查复数的基本概念，考查了充分必要条件的判断方法，是基础题．3.已知方程和(其中,)，它们所表示的曲线可能是（

）

A

B

C

D参考答案：B4.已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数＝3，＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是A．＝0.4x＋2.3

B．＝2x－2.4

C．＝－2x＋9.5

D．＝－0.3x＋4.4参考答案：【知识点】线性回归方程．I4【答案解析】A

解析：∵变量x与y正相关，∴可以排除C，D；样本平均数＝3，＝3.5，代入A符合，B不符合，故选A．【思路点拨】变量x与y正相关，可以排除C，D；样本平均数代入可求这组样本数据的回归直线方程．5.已知圆上两点M，N关于直线对称，则圆的半径为（

）．A.9 B.3 C. D.2参考答案：B由题意知，圆心在直线2x＋y＝0上，∴2－m＝0，解得m＝4，∴圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圆的半径为3.6.已知命题，命题对于实数，是的必要不充分条件，则（

）A.“或”为假

B.“或”为真C.“且”为真

D.“且”为真参考答案：D7.已知全集U={－1,0,1,2,3}，集合A={0,1,2}，B={－1,0,1}，则（

）A.{－1} B.{0,1}C.{－1,2,3} D.{－1,0,1,3}参考答案：A【分析】本题根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查.【详解】，则【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误.8.下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是(

)A.

B.

C.

D.参考答案：C略9.某程序框图如图所示，若输出的S＝57，则判断框内为()A．k＞4?

B．k＞5?

C．k＞6?

D．k＞7?参考答案：A.由程序框图可知，k＝1时，S＝1；k＝2时S＝2×1＋2＝4；k＝3时S＝2×4＋3＝11；k＝4时S＝2×11＋4＝26；k＝5时S＝2×26＋5＝57.10.命题“?x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（）A．a≥4 B．a≤4 C．a≥5 D．a≤5参考答案：C【考点】命题的真假判断与应用．【分析】本题先要找出命题为真命题的充要条件{a|a≥4}，从集合的角度充分不必要条件应为{a|a≥4}的真子集，由选择项不难得出答案．【解答】解：命题“?x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题，可化为?x∈[1，2]，a≥x2，恒成立即只需a≥（x2）max=4，即“?x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的充要条件为a≥4，而要找的一个充分不必要条件即为集合{a|a≥4}的真子集，由选择项可知C符合题意．故选C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设m为实数，若?{(x，y)|x2＋y2≤25}，则m的取值范围是________．参考答案：_0≤m≤__略12.若奇函数，当时，，则不等式的解_________。参考答案：13.中心在原点的椭圆C的一个顶点是圆E：x2+y2﹣4x+3=0的圆心，一个焦点是圆E与x轴其中的一个交点，则椭圆C的标准方程为．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】化圆的一般式方程为标准方程，求出圆心坐标和圆与x轴的交点，结合隐含条件求得椭圆的标准方程．【解答】解：由x2+y2﹣4x+3=0，得（x﹣2）2+y2=1，∴圆E的圆心为（2，0），与x轴的交点为（1，0），（3，0），由题意可得，椭圆的右顶点为（2，0），右焦点为（1，0），则a=2，c=1，b2=a2﹣c2=3，则椭圆的标准方程为：．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆标准方程的求法，是基础题．14.连续2次抛掷一颗质地均匀的骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体），观察向上的点数，则事件“点数之积是3的倍数”的概率为

．参考答案：总事件数为，目标事件：当第一颗骰子为1,2,4,6，具体事件有，共8种；当第一颗骰子为3,6，则第二颗骰子随便都可以，则有种；所以目标事件共20中，所以。

15.设f(x)是R上的奇函数，且f(－1)＝0，当x＞0时，(x2＋1)·f(x)－2x·f(x)＜0，则不等式f(x)＞0的解集为

▲

．参考答案：(－∞,－1)∪(0,1)因为′＝，而(x2＋1)f′(x)－2xf(x)＜0，所以′＜0，令g(x)＝，则函数g(x)在(0，＋∞)单调递减，且也为奇函数，g(－1)＝－g(1)＝0，作出函数g(x)的大致示意图，由图可知g(x)＞0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)，即为不等式f(x)＞0的解集．

16.已知f（x）=sin（ω＞0），f（）=f（），且f（x）在区间上有最小值，无最大值，则ω=

．参考答案：【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】计算题；作图题；压轴题．【分析】根据f（）=f（），且f（x）在区间上有最小值，无最大值，确定最小值时的x值，然后确定ω的表达式，进而推出ω的值．【解答】解：如图所示，∵f（x）=sin，且f（）=f（），又f（x）在区间内只有最小值、无最大值，∴f（x）在处取得最小值．∴ω+=2kπ﹣（k∈Z）．∴ω=8k﹣（k∈Z）．∵ω＞0，∴当k=1时，ω=8﹣=；当k=2时，ω=16﹣=，此时在区间内已存在最大值．故ω=．故答案为：【点评】本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查逻辑思维能力，分析判断能力，是基础题．17.设集合，N＝{x|(x－1)(x－3)＜0}，则集合M∩N＝________．参考答案：(1,2)三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆的中心是原点O，焦点在x轴上，离心率为，短轴长为2，定点A（2，0）．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）过椭圆右焦点F的直线与椭圆交于点M、N，当|MN|最小时，求△AMN的面积．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），运用离心率公式和a，b，c的关系，求得a，b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）设点A到直线MN的距离为d，则△AMN的面积=|MN|d，其中|MN|可以利用弦长公式求得，利用函数求最值，进而得到所求面积．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），由题意可得e==，b=1，由a2﹣b2=c2，解得a=，c=1，即有椭圆的方程为+y2=1；（Ⅱ）椭圆的右焦点F（1，0），设直线MN的方程是x=my+1，与x2+2y2=2联立，可得（m2+2）y2+2my﹣1=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1=my1+1，x2=my2+1，由题意y1，y2满足方程（m2+2）y2+2my﹣1=0，△=4m2+4（m2+2）＞0即m2+1＞0，则方程根与系数的关系可得：y1+y2=﹣，y1y2=﹣，即有|MN|==?|y1﹣y2|，又|y1﹣y2|===，则|MN|=，令t=1+m2（t≥1），即有|MN|==≥=，当t=1即m=0时，|MN|取得最小值，点A（2，0）到直线MN的距离d==1，于是△AMN的面积S=|MN|d==，故△AMN的面积是．【点评】本题考查椭圆的方程的求法和运用，同时考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和判别式，以及弦长公式，考查运算化简能力，属于中档题．19.（本小题满分12分）数列上，（1）求数列的通项公式；

（2）若参考答案：【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和．D2D4

【答案解析】（1）an=2n+1；（2）Tn=n?3n+1解析：（1）∵点（an，an+1）在直线y=x+2上．∴数列{an}是以3为首项，以2为公差的等差数，∴an=3+2（n﹣1）=2n+1（2）∵bn=an?3n，∴bn=（2n+1）?3n∴Tn=3×3+5×32+7×33+…+（2n﹣1）?3n﹣1+（2n+1）?3n①∴3Tn=3×32+5×33+…+（2n﹣1）?3n+（2n+1）?3n+1②由①﹣②得﹣2Tn=3×3+2（32+33++3n）﹣（2n+1）?3n+1==﹣2n?3n+1∴Tn=n?3n+1．【思路点拨】（1）把点（an，an+1）代入直线y=x+2中可知数列{an}是以3为首项，以2为公差的等差数，进而利用等差数列的通项公式求得答案．（2）把（1）中求得an代入bn=an?3n，利用错位相减法求得数列{bn}的前n项和Tn．20.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最大边长为、 、

、

、参考答案：B根据三视图作出原几何体（四棱锥）的直观图如下：可计算，故该几何体的最大边长为.21.在极坐标系下，点是曲线上的动点，，线段的中点为，以极点为原点，极轴为轴正半轴建立平面直角坐标系．（1）求点的轨迹的直角坐标方程；（2）若轨迹上点处的切线斜率的取值范围是，求点横坐标的取值范围．参考答案：解：（Ⅰ）由，得

设，，则，，即，代入，得，∴；（不写累计扣1分）（Ⅱ）设，设点M处切线的倾斜角为，由斜率范围，可得，而，∴，∴，所以，点M横坐标的取值范围是．22.已知正三棱柱ABC﹣A′B′C′如图所示，其中G是BC的中点，D，E分别在线段AG，A′C上运动，使得DE∥平面BCC′B′，CC′=2BC=4．（1）求二面角A′﹣B′C﹣C′的余弦值；（2）求线段DE的最小值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法．【分析】（1）由题意画出图形，以GB所在直线为x轴，以过G且垂直于BG的直线为y轴，以GA所在直线为z轴建立空间直角坐标系，求出平面B′CC′与平面A′B′C的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值求得二面角A′﹣B′C﹣C′的余弦值；（2）设D（0，0，t）（0≤t≤），E（x，y，z），由，结合DE∥平面BCC′B′把λ用含有t的代数式表示，然后求出的最小值得答案．【解答】解：（1）如图，∵ABC﹣A′B′C′为正三棱柱，G是BC的中点，∴AG⊥平面BCC′B′，以GB所在直线为x轴，以过G且垂直于BG的直线为y轴，以GA所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则G（0，0，0），A