高中数学人教A版第二章数列 课后提升作业九

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课后提升作业九等差数列的性质(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2023·济南高二检测)已知等差数列{an}的公差为d(d≠0),且a3+a6+a10+a13=32,若am=8,则m=() 【解析】选A.因为a3+a6+a10+a13=4a8=32,所以a8=8,即m=8.2.(2023·郑州高二检测)在等差数列{an}中,a2=3,a3+a4=9,则a1a6的值为() 【解析】选A.因为a2=3,a3+a4=9,所以a2+a3+a4=12,即3a3=12,故a3=4,a4=5,所以an=n+1,所以a1a6=2×7=14.3.已知数列{an}为等差数列且a1+a7+a13=4π,则tan(a2+a12)的值为()A.3 B.±3 33 【解析】选D.由等差数列性质知a1+a13=2a7,即3a7=4π,所以a7=4π3,所以a2+a12=2a7=8π3,即tan(a2+a4.在等差数列{an}中,a5+a6=4,则log2(2a1·2a +log25【解析】选B.由等差数列的性质知a1+a2+…+a10=5(a5+a6)=5×4=20,从而log2(2a1·2a2·…·2a5.在等差数列{an}中,a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,则a3+a6+a9的值为() 【解题指南】构造数列{bn},使bn=an+an+3+an+6,易证{bn}是等差数列,从而可求b3,即a3+a6+a9的值.【解析】选B.令b1=a1+a4+a7=39,b2=a2+a5+a8=33,b3=a3+a6+a9,因为{an}成等差数列,所以b1,b2,b3成等差数列,所以a3+a6+a9=b3=b2+(b2-b1)=2b2-b1=27.6.下列命题中正确的个数是()(1)若a,b,c成等差数列,则a2,b2,c2一定成等差数列;(2)若a,b,c成等差数列,则2a,2b,2c可能成等差数列;(3)若a,b,c成等差数列,则ka+2,kb+2,kc+2一定成等差数列;(4)若a,b,c成等差数列,则1a,1b,个 个 个 个【解析】选B.对于(1),取a=1,b=2,c=3⇒a2=1,b2=4,c2=9,(1)错.对于(2),a=b=c⇒2a=2b=2c,(2)正确;对于(3),因为a,b,c成等差数列,所以a+c=2b.所以(ka+2)+(kc+2)=k(a+c)+4=2(kb+2),(3)正确;对于(4),a=b=c≠0⇒1a=1b=(4)正确.综上可知选B..7.已知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四个根组成一个首项为14 B.34 C.12 【解析】选C.因为y=x2-2x+m与y=x2-2x+n有相同的对称轴,设四个根分别为x1,x2,x3,x4,不妨设x1,x4为x2-2x+m=0的两根,x2,x3为x2-2x+n=0的两根,则x因为x1=14,所以x4=74,x2=34,x3所以m=716,n=1516,所以|m-n|=8.若{an}是等差数列,则a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9,…,a3n-2+a3n-1+a3n()A.一定不是等差数列 B.一定是递增数列C.一定是等差数列 D.一定是递减数列【解析】选C.设等差数列{an}的公差为d,则a4+a5+a6-(a1+a2+a3)=9d,a7+a8+a9-(a4+a5+a6)=9d,…,a3n-2+a3n-1+a3n-(a3n-5+a3n-4+a3n-3)=9d,所以a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9,…,a3n-2+a3n-1+a3n一定是等差数列.【误区警示】解答本题容易忽视所研究的数列中的项都是原数列三项的和,未能想到应用等差数列的定义和性质证明该数列为等差数列.二、填空题(每小题5分,共10分)9.设等差数列{an}中,已知am=n,an=m,则am+n=________.【解析】设公差为d,则d=am-a从而am+n=am+(n+m-m)d=n+n×(-1)=0.答案:010.已知在等差数列{an}中,a3,a15是方程x2-6x-1=0的两根,则a7+a8+a9+a10+a11=________.【解析】由题意知a3+a15=6,即2a9=6,所以a9=3,根据等差数列的性质知a7+a11=a8+a10=2a9,所以a7+a8+a9+a10+a11=5a9=15.答案:15【延伸探究】本题条件不变,则a1+a2+…+a17=________.【解析】a1+a2+…+a17=17a9=17×3=51.答案:51三、解答题(每小题10分,共20分)11.已知递增的等差数列{an}满足a2+a3+a4=15,a2a3a4=105,求a1.【解析】因为{an}是等差数列,所以a2+a3+a4=3a3=15.所以a3=5.所以a2+a4=10.所以a2a3a4=5a2a4=105.即a2a4=21.即a2a4=21,又{an}是递增数列,所以a4>a2,即a2=3,a4=7.所以a1=2a2-a3=6-5=1.12.某公司经销一种数码产品,第1年可获利200万元.从第2年起,由于市场竞争等方面的原因,其利润每年比上一年减少20万元,按照这一规律,如果公司不开发新产品,也不调整经营策略,从哪一年起,该公司经销这一产品将亏损?【解析】设从第1年起,第n年的利润为an,则a1=200,an-an-1=-20,n≥2,n∈N*.所以每年的利润an可构成一个等差数列{an},且公差d=-20.从而an=a1+(n-1)d=220-20n.若an<0,则该公司经销这一产品将亏损,所以由an=220-20n<0,得n>11,即从第12年起,该公司经销此产品将亏损.【能力挑战题】已知5个数成等差数列,它们的和为5,平方和为859【解析】设第一个数是a1,公差为d,由已知条件列出方程组a所以5解得a1=-13,d=23或a1=73这5个数分别是-13