误差第2章-误差处理

随机误差系统误差粗大误差测量结果数据处理实例

第2章误差的基本性质与处理合肥工业大学

误差理论与数据处理随机误差产生的原因1正态分布2算术平均值3测量的标准差4第一节随机误差测量的极限误差5不等精度测量6一、随机误差产生的原因随机误差：不能确定大小和方向的误差，但整体而言，却具有统计规律性。原因：暂时未能掌握或不便掌握的微小因素。①测量装置方面的因素②环境方面的因素

③人为方面的因素一、随机误差产生的原因二、正态分布对称性单峰性有界性抵偿性正态分布误差概率密度曲线和直方图０δ二、正态分布①

对称性

②单峰性

δ=0时,

③有界性随机误差δ出现在一个有限的区间内，即

[-kσ,+kσ]的可能性较大。④补偿性随着测量次数的增加，

随机误差的特点

(1)有界性：在一定条件下的有限测量值中，误差的绝对值不会超过一定的界限。

(2)单峰性：绝对值小的误差出现的次数比绝对值大的误差出现的次数多。

(3)对称性：绝对值相等的正误差和负误差出现的次数大致相等。

(4)抵偿性：相同条件下对同一量进行多次测量，随机误差的算术平均值随着测量次数n的无限增加而趋于零，即误差平均值的极限为零。其表达式为二、正态分布令为随机误差，满足正态分布，则标准差（或均方根误差）：σ数学期望：方差：平均误差：或然误差：反映随机误差分布的中心位置反映随机误差相对于中心的分散程度平均偏差：是指单项测定值与平均值的偏差（取绝对值）之和，除以测定次数。平均偏差不计正负。或然误差：比某值大或小的概率各为1/2的误差。在一组测定中，误差绝对值大于γ的测定值与误差绝对值小于γ的测定值各占总测定值的一半。二、正态分布σ值为曲线上拐点A的横坐标，θ值为曲线右半部面积重心B的横坐标，ρ值的纵坐标线则平分曲线右半部面积。

三、算术平均值(一)定义(二)算术平均值的意义

由得即算术平均值可以作为被测量真值的估计值(三)残差(四)算术平均值的简便求法

选一个接近所有测得值的数作为参考值三、算术平均值理论值例2-1测量某物理量10次，得到结果见表，求。序号123456789101879.641879.691879.601879.691879.571879.621879.641879.651879.641879.65-0.01+0.04-0.05+0.04-0.07-0.03-0.010-0.0100+0.05-0.04+0.05-0.07-0.020+0.010+0.01

选参考值=1879.65，三、算术平均值

（五）算术平均值的计算校核

规则1:残差代数和校核

为非凑整的准确数，为凑整的非准确数，规则２:残差代数和绝对值校核

n为偶数，

n为奇数，A为实际求得的算术平均值末位数的一个单位。常用三、算术平均值例2-3测量某直径11次，得到结果如表2-2所示，求算术平均值并进行校核。

序号

(mm)

(mm)12345678910112000.072000.052000.092000.062000.082000.072000.062000.052000.082000.062000.07+0.003-0.017+0.023-0.007+0.013+0.003-0.007-0.017+0.013-0.007+0.003

三、算术平均值①计算算术平均值②校核规则１：规则２：计算正确三、算术平均值（一）单次测量标准差σ

精度评定指标之一１.σ的意义:反映了随机误差分布的分散性σ值愈小，高而陡，误差分布范围小，测量精度高。σ值愈大，低而平坦，误差分布范围大，测量精度低。测量结果＝被测量估计值（或）＋估计值的精度评定四、测量标准差（方均根误差）２.σ的计算根据随机变量标准差的定义，得δi未知时Bessel公式更准确条件：n>5四、测量标准差（方均根误差）推导过程：令，则当n适当大时，可以认为趋近于零四、测量标准差（方均根误差）3.σ的其他计算公式别捷尔斯法（Peters公式)由残差绝对值之和求σ四、测量标准差（方均根误差）序号1234567891075.0175.0475.0775.0075.0375.0975.0675.0275.0575.08－0.035－0.005＋0.025－0.045－0.015+0.045+0.015-0.025+0.005+0.0350.0012250.0000250.0006250.0020250.0002250.0020250.0002250.0006250.0000250.001225

四、测量标准差（方均根误差）极差法1）极差ωn2）σ的计算若等精度多次测量测得值服从正态分布，则n2345678910111213141516171819201.131.692.062.332.532.702.852.973.083.173.263.343.413.473.533.593.643.693.74四、测量标准差（方均根误差）

例2-5仍用表2-3的测量数据，用极差法求得标准差。解：四、测量标准差（方均根误差）最大误差法：当各个独立测量值服从正态分布时，

已知真值：

未知真值：n1234567891011121314151.250.880.750.680.640.610.580.560.550.530.520.510.500.500.49n1617181920212223242526272829300.480.480.470.470.460.460.450.45

0.450.440.44

0.44

0.440.430.43n2345678910152025301.771.020.830.740.680.640.610.590.570.510.480.460.44四、测量标准差（方均根误差）

例2-6仍用表2-3的测量数据，按最大误差法求标准差，则有而故标准差为四、测量标准差（方均根误差）例2-7某激光管发出的激光波长经检定为，由于某些原因未对次检定波长作误差分析，但后来又用更精确的方法测得激光波长，试求原检定波长的标准差。解：后测得的波长是用更精确的方法，故认为其测得值为实际波长(或约定真值)，则原检定波长的随机误差为：

故标准差为：四、测量标准差（方均根误差）四种计算方法的优缺点贝塞尔公式:最常用，适用于测量次数较多的情况，计算精度较高，但较麻烦。对重要的测量或多种结果矛盾时，以贝塞尔公式为准。②别捷尔斯公式：最早用于前苏联列宁格勒附近的普尔科夫天文台，它的计算速度较快，但计算精度较低，计算误差为贝氏公式的1.07倍。③极差法：简单、迅速，当n<10时可用来计算σ，此时计算精度高于贝氏公式。④最大误差法：更为简捷，n很小时，有一定精度。尤其适用于一次实验。四、测量标准差（方均根误差）（二）测量列算术平均值标准差算术平均值精度评定标准测量结果=1.的计算四、测量标准差（方均根误差）2.的意义n愈大，越小，说明的精度越高；为提高测量精度，可以增大n；n的选取要适当。σ一定时，当n>10以后，的减小很慢。此外，由于增加测量次数难以保证测量条件的恒定，从而引入新的误差，因此一般情况下取n=10以内较为适宜。总之，提高测量精度，应采取适当精度的仪器，选取适当的测量次数。四、测量标准差（方均根误差）例2-8用游标卡尺对某一尺寸测量10次，假定已消除系统误差和粗大误差，得到数据如下(mm)：75.01，75.04，75.07，75.00，75.03，75.09，75.06，75.02，75.08。求算术平均值及其标准差。解：本例题中的测量数据与表2-3中的测量数据一样，表中的算术平均值为，根据上述各个误差计算公式可得：

四、测量标准差（方均根误差）（一）极限误差定义指在一定的观测条件下，测量误差不应超出的范围极限值。若测量误差落在范围内的概率为Ｐ，超出该范围的概率为１－Ｐ，则为置信概率Ｐ的极限误差。（二）单次测量的极限误差以正态分布为例，随机误差落在（-δ,+δ）之间的概率：五、测量的极限误差（容许误差）将上式进行变量置换，设经变换，上式成为：超出的概率为确定极限误差的步骤：Ｐt标准正态分布，其值可由标准正态分布表（附录表１）查得置信概率五、测量的极限误差（容许误差）现已查出t=1,2,3,4等几个特殊值的积分值，并求出随机误差不超出相应区间的概率p=2φ(t)和超出相应区间的概率α=1-2φ(t)，如表2-6所示（图2－4）。t不超出的概率超出的概率测量次数n超出的测量次数0.6712340.6712340.49720.68260.95440.99730.99990.50280.31740.04560.00270.000123223701562611111五、测量的极限误差（容许误差）由于在一般测量中，测量次数很少超过几十次，因此可以认为绝对值大于3σ的误差是不可能出现的，通常把这个误差称为单次测量的极限误差，即

（p＝99.73％）其它t值也可．一般情况下，测量列单次测量的极限误差可用下式表示：若已知测量的标准差σ，选定置信系数t，则可由上式求得单次测量的极限误差。五、测量的极限误差（容许误差）（三）算术平均值的极限误差算术平均值误差：当多个测量列的算术平均值误差为正态分布时，根据概率论知识，可得t为置信系数，为算术平均值的标准差。当测量列的测量次数较少时，应按“学生氏”分布(“student”distribution)或称t分布来计算：五、测量的极限误差（容许误差）式中的为置信系数，它由给定的置信概率和自由度来确定，具体数值见附录3；为超出极限误差的概率（称显著度或显著水平），通常取=0.01或0.02,0.05；n为测量次数；为n次测量的算术平均值标准差。对于同一测量列，按正态分布和t分布分别计算时，即使置信概率的取值相同，但由于置信系数不同，因此求得的算术平均值极限误差也不同。五、测量的极限误差（容许误差）例2-9对某量进行6次测量，测得数据如下：802.40，802.50，802.38，802.48，802.42，802.46。求算术平均值及其极限误差。解：算术平均值标准差

因测量次数较少，应按t分布计算算术平均值的极限误差。已知，取，则由附录表3查得，五、测量的极限误差（容许误差）若按正态分布计算，取，置信概率，由附录表1查得t＝2.60，则算术平均值的极限误差为：由此可见，当测量次数较少时，按两种分布计算的结果有明显的差别。则有：五、测量的极限误差（容许误差）六、不等精度测量（一）不等精度测量列不同测量条件，不同仪器，不同测量方法，不同测量次数，不同的测量者等（二）权的概念六、不等精度测量权:描述不等精度测量列中各个值的可信赖程度。Pi越大，说明该测量值越可信赖。等精度测量：P1=P2=…=Pn不等精度测量：P1≠P2≠…≠Pn（三）权的确定以第２种情况为例：pi=ni一般情况：权的大小是由测量值的标准差决定六、不等精度测量例2-10对一级钢卷尺的长度进行了三组不等精度测量，其结果为求各测量结果的权。解：由式(2-42)得

因此各组的权可取为

六、不等精度测量（四）测量结果估计加权算术平均值仍以例２说明：例2-11工作基准米尺在连续三天内与国家基准器比较，得到工作基准米尺的平均长度为999.9425mm(三次测量的)，999.9416mm(两次测量的)，999.9419mm(五次测量的)，求最后测量结果。六、不等精度测量解：按测量次数来确定权：，选则有（五）单位权化－使不等精度测量列转化为等精度测量列六、不等精度测量等精度：Pi=P=1σ－单位权标准差

不等精度：单位权化：任何一个量值乘以自身权数的平方根。（六）加权算术平均值的标准差（六）加权算术平均值的标准差六、不等精度测量近似精确例2-12求例2-11的加权算术平均值的标准差。解：由加权算术平均值，可得各组测量结果的残余误差为：又已知

代入式(2-51)得

六、不等精度测量第二节系统误差系统误差的产生原因1系统误差的特征与分类2系统误差的发现方法3系统误差的减小和消除方法4一、系统误差的产生原因计量校准后发现的偏差、仪器设计原理缺陷、仪器制造和安装的不正确等。测量时的实际温度对标准温度的偏差、测量过程中的温度、湿度按一定规律变化的误差。采用近似的测量方法或计算公式引起的误差等。测量人员固有的测量习性引起的误差等。①

装置方面的因素②

环境方面的因素

③

测量方法的因素

④

测量人员的因素一、系统误差的产生原因二、系统误差的分类和特征系统误差的特征：在同一条件下，多次测量同一测量值时，误差的绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，误差按一定的规律变化，不具有抵偿性。根据系统误差在测量过程中所具有的不同变化特性，将系统误差分为不变系统误差和变化系统误差两大类。二、系统误差的分类和特征（一）不变系统误差（固定系统误差）在整个测量过程中，误差的大小和符号始终不变。

eg:千分尺或测长仪读数装置的调零误差；量块或其它标准件尺寸的偏差等．（二）变化系统误差

在整个测量过程中，误差的大小和方向随测试的某一个或某几个因素按确定的函数规律而变化。eg:量块中心长度随温度的变化①线性变化的系统误差二、系统误差的分类和特征②周期变化的系统误差eg:指针在任一转角处引起的读数误差。③复杂规律变化的系统误差例如:微安表的指针偏转角与偏转力距间不严格保持线性关系，而表盘仍采用均匀刻度所产生的误差就属于复杂规律变化的系统误差。

e90o0o180o270oeΔL0O90O180O360O三、系统误差的发现方法

1、实验对比法改变产生系统误差的条件，进行不同条件的测量，以发现系统误差,适用于发现不变的系统误差。2、残余误差观察法适于发现有规律变化的系统误差。三、系统误差的发现方法

3、残余误差校核法(有两种方法)①用于发现线性系统误差三、系统误差的发现方法若上式的两部分值Δ显著不为O，则有理由认为测量列存在线性系统误差。这种校核法又称“马列科夫准则”，它能有效地发现线性系统误差。但要注意的是，有时按残余误差校核法求得差值Δ=0，仍有可能存在系统误差。

②用于发现周期性系统误差三、系统误差的发现方法若则认为该测量列中含有周期性系统误差。这种校核法又叫阿卑——赫梅特准则（Abbe-Helmert准则），它能有效地发现周期性系统误差。

4、不同公式计算标准差比较法贝塞尔公式：

别捷尔斯公式：令，若则怀疑测量列中存在系统误差。判断时，违反“准则”时可直接判定，而在遵守“准则”时，不能得出“不含系统误差”的结论，因为每个准则均有局限性，不具有“通用性”。

三、系统误差的发现方法则任意两组结果与间不存在系统误差的标志是：若对同一量独立测量得m组结果，已知它们的算术平均值和标准差为：(二)测量列组间的系统误差发现方法而任意两组结果之差为：其标准差为：1、计算数据比较法三、系统误差的发现方法2、秩和检验法——用于检验两组数据间的系统误差

对独立测得两组的数据：将它们混和以后，从1开始，按从小到大的顺序重新排列，观察测量次数较少那一组数据的序号，它的测得值在混合后的次序编号（即秩），再将所有测得值的次序相加，得到的序号号即为秩和T。当两组的测量次数，可根据测量次数较少的组的次数n1

和测量次数较多的组的次数n2

，由秩和检验表2-10查得T-

和T+

（显著度0.05），若则无根据怀疑两组间存在系统误差。三、系统误差的发现方法243112531326414274162841829420210521336153471735720368223792438927391029310113144122445132746143047153348163649173941018425519365620405722435823475925505102654662820673054683258693363610356777396678417179437671046808852848954908105795996610591069111101083127三、系统误差的发现方法当，秩和T近似服从正态分布括号中第一项为数学期望，第二项为标准差，此时T-

和T+

可由正态分布算出。根据求得的数学期望值a和标准，则：选取概率，由正态分布分表（附录表1）查得t，若，则无根据怀疑两组间存在系统误差。三、系统误差的发现方法解：查表2-10得例2-16

对某量测得两组数据如下，判断两组间有无系统误差。

xi:14.7,14.8,15.2,15.6;yi：14.6,15.0,15.1i123456714.714.815.215.614.615.015.1

已知计算秩和T=1+4+5=10因故无根据怀疑两组间存在系统误差。若两组数据中有相同的数值，则该数据的秩按所排列的两个次序的平均值计算。三、系统误差的发现方法令变量由数理统计知，变量t是服从自由度为()的t分布变量。3、t检验法当两组测量数据服从正态分布，或偏离正态不大但样本数不是太少（最好不少于20）时，可用t检验法判断两组间是否存在系统误差。设独立测得两组数据为：其中三、系统误差的发现方法注意:式中使用的和,不是方差的无偏估计，若将贝塞尔计算的和用于上式，则该式应作相应的变动。取显著性水平α，由t分布表（附录表3）查出中的。

若，则无根据怀疑两组间有系统误差。

三、系统误差的发现方法由及取，查t分布表(附录表3)得，又因，故无根据怀疑两组间有系统误差。则解：例2-17

对某量测得两组数据为：

x：1.9，0.8，1.1，0.1，-0.1，4.4，5.5，1.6，4.6，3.4y：0.7，-1.6，-0.2，-1.2，-0.1，3.4，3.7，0.8，0.0，2.0三、系统误差的发现方法（一）消误差源法

用排除误差源的方法消除系统误差是最理想的方法。①

基准件、标准件（如量块、刻尺等）是否准确可靠；②

量具仪器是否处于正常工作状态，是否经过检定，并有有效周期的检定证书；③

仪器的调整、测件的安装定位和支承装夹是否正确合理；④

所采用的测量方法和计算方法是否正确，有无理论误差；⑤

测量的环境条件是否符合规定要求；⑥

注意避免测量人员带入主观误差如视差、视力疲劳、注意力不集中等。四、系统误差的减小和消除（二）加修正值法预先将测量器具的系统误差检定出来或计算出来，取与误差大小相同而符号相反的值作为修正值，将测得值加上相应的修正值，即可得到不包含该系统误差的测量结果。关键在确定修正值或修正函数的规律。恒定系统误差：采用检定方法，对已知基准量重复测量取其均值，两者之差即为其修正值。可变系统误差：按照某变化因素，依次取得已知基准量的一系列测值，再计算其差值，按最小二乘法确定它随该因素变化的函数关系式，取其负值即为该可变系统误差的修正函数。四、系统误差的减小和消除四、系统误差的减小和消除（三）改进测量方法

1、消除恒定系统误差的方法

①反向补偿法（抵消法）：

四、系统误差的减小和消除测量螺距四、系统误差的减小和消除②

代替法：在测量装置上对被测量测量后不改变测量条件，立即用一个标准量代替被测量，再次进行测量，从而求出被测量与标准量的差值：被测量＝标准量＋差值③

交换法：这种方法是根据误差产生原因，将某些条件交换，以消除系统误差。四、系统误差的减小和消除2、消除线性系统误差的方法——对称法

对称法是消除线性系统误差的有效方法。将测量对称安排，取各对称点两次读数的算术平均值作为测得值，即可消除线性系统误差。例如:测定量块平面度时,先以标准量块A的中心0点对零，然后按图中所示被检量块B上的顺序逐点检定，再按相反顺序进行检定，取正反两次读数的平均值作为各点的测得值，就可消除因温度变化而产生的线性系统误差。四、系统误差的减小和消除3、消除周期性系统误差的方法——半周期法对周期性误差，可以相隔半个周期进行两次测量，取两次读数平均值，即可有效地消除周期性系统误差。设时，误差为：当时，即相差半周期的误差为：取两次读数平均值则有

例如仪器度盘安装偏心、测微表针回转中心与刻度盘中心的偏心等引起的周期性误差，皆可用半周期法予以剔除。四、系统误差的减小和消除第二节粗大误差粗大误差产生的原因1防止与消除粗大误差的方法2判别粗大误差的准则3对数据中异常值的正确判断与处理，是获得客观的测量结果的一个重要方法。原因：

①测量人员的主观原因

②客观外界条件的原因测量者工作责任感不强、工作过于疲劳、缺乏经验操作不当，或在测量时不小心、不耐心、不仔细等，造成错误的读书或记录。测量条件意外地改变（如机械冲击、外界振动、电磁干扰等）。一、粗大误差产生的原因二、防止与消除粗大误差的方法利用判别准则从测量结果中发现、鉴别、剔除；工作态度要严谨；保证测量条件稳定；改变测量条件，比对测量。统计法的基本思想：给定一个显著性水平，按一定分布确定一个临界值，凡超过这个界限的误差，就认为它不属于偶然误差的范围，而是粗大误差，该数据应予以剔除。

（一）准则最常用、最简单，要求n充分大对某个可疑数据，若其残差满足：

则可认为该数据含有粗大误差，应予以剔除。三、判别粗大误差的准则在n≤10的情形，用准则剔除粗误差注定失败。为此，在测量次数较少时，最好不要选用

准则。下表是准则的“弃真”概率，从表中看出

准则犯“弃真”错误的概率随n的增大而减小，最后稳定于0.3%。

n

11 1661121333a0.0190.0110.0050.0040.003

三、判别粗大误差的准则准则“弃真”概率a例2-18对某量进行15次等精度测量，测得值如下表2-11所列，设这些测得值已消除了系统误差，试判别该测量列中是否含有粗大误差的测得值。序号12345678910111213141520.4220.4320.4020.4320.4220.4320.3920.3020.4020.4320.4220.4120.3920.3920.40+0.016+0.026-0.004+0.026+0.016+0.026-0.014-0.104-0.004+0.026+0.016+0.006-0.014-0.014-0.0040.0002560.0006760.0000160.0006760.0002560.0006760.0001960.0108160.0000160.0006760.0002560.0000360.0001960.0001960.000016+0.009+0.019-0.011+0.019+0.009+0.019-0.021——-0.011+0.019+0.009-0.001-0.021-0.021-0.0110.0000810.0003610.0001210.0003610.0000810.0003610.000441——0.0001210.0003610.0000810.0000010.0004410.0004410.000121三、判别粗大误差的准则表2-11第八测得值的残余误差为：

即它含有粗大误差,故将此测得值剔除。再根据剩下的14个测得值重新计算：

剩下的14个测得值的残余误差均满足,故可以认为这些测得值不再含有粗大误差。三、判别粗大误差的准则（二）罗曼诺夫斯基准则当测量次数较少时，按t分布的实际误差分布范围来判别粗大误差较为合理。罗曼诺夫斯基准则又称t检验准则，其特点是首先剔除一个可疑的测得值，然后按t分布检验被剔除的值是否是含有粗大误差。三、判别粗大误差的准则怀疑计算：

根据测量次数n和选取的显著度，由表2-12查得t分布的检验系数。三、判别粗大误差的准则例2-21试判断例2-18中是否含有粗大误差。解：首先怀疑第八组测得值含有粗大误差，将其剔除。计算：

选取显著度，已知n＝15，查表2-14得：

故第八个数含有粗大误差，应剔除。然后对剩下的14个测得值进行判别，可知这些测得值不再含有粗大误差。

三、判别粗大误差的准则（三）格罗布斯准则

1950年格罗布斯（Grubbs）根据顺序统计量的某种分布规律提出一种判别粗大误差的准则。应用：

1974年我国有人用电子计算机做过统计模拟试验，与其它几个准则相比，对样本中仅混入一个异常值的情况，用格拉布斯准则检验的效率最高。

三、判别粗大误差的准则将按大小顺序排列成顺序统计量，

格拉布斯导出了及的分布，取定显著度,查表2-13得临界值

三、判别粗大误差的准则例2-19用例2-18测得值，试判别测量列中的测得值是否含有粗大误差。解：由表2-11计算得：

三、判别粗大误差的准则有粗大误差,剔除（四）狄克松准则

1950年狄克松（Dixon）提出另一种粗差判别方法，它是根据测量数据按大小排列后的顺序差来判别是否存在粗大误差。有人指出，用Dixon准则判断样本数据中混有一个以上异常值的情形效果较好。以下介绍一种狄克松双侧检验准则。

三、判别粗大误差的准则三、判别粗大误差的准则将按大小顺序排列成顺序统计量，

狄克松导出了的分布，取定显著度,查表2-14得临界值例2-20同例2-18测量数据,判别测量列中的测得值是