高中数学人教A版第二章数列等比数列的前n项和 第二章

学习目标1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题．知识点一等比数列的前n项和公式的推导思考对于S64＝1＋2＋4＋8＋…＋262＋263，用2乘以等式的两边可得2S64＝2＋4＋8＋…＋262＋263＋264，对这两个式子作怎样的运算能解出S64?答案比较两式易知，两式相减能消去同类项，解出S64，即S64＝eq\f(1－264,1－2)＝264－1.梳理设等比数列{an}的首项是a1，公比是q，前n项和Sn可用下面的“错位相减法”求得．Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1. ①则qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn. ②由①－②得(1－q)Sn＝a1－a1qn.当q≠1时，Sn＝eq\f(a11－qn,1－q).当q＝1时，由于a1＝a2＝…＝an，所以Sn＝na1.结合通项公式可得：等比数列前n项和公式：Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a11－qn,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)q≠1，,na1q＝1.))知识点二等比数列的前n项和公式的应用思考要求等比数列前8项的和：(1)若已知其前三项，用哪个公式比较合适？(2)若已知a1，a9，q的值．用哪个公式比较合适？答案(1)用Sn＝eq\f(a11－qn,1－q).(2)用Sn＝eq\f(a1－anq,1－q).梳理一般地，使用等比数列求和公式时需注意：(1)一定不要忽略q＝1的情况；(2)知道首项a1、公比q和项数n，可以用eq\f(a11－qn,1－q)；知道首尾两项a1，an和q，可以用eq\f(a1－anq,1－q)；(3)在通项公式和前n项和公式中共出现了五个量：a1，n，q，an，Sn.知道其中任意三个，可求其余两个．类型一等比数列前n项和公式的应用命题角度1前n项和公式的直接应用例1求下列等比数列前8项的和：(1)eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，eq\f(1,8)，…；(2)a1＝27，a9＝eq\f(1,243)，q<0.解(1)因为a1＝eq\f(1,2)，q＝eq\f(1,2)，所以S8＝eq\f(\f(1,2)[1－\f(1,2)8],1－\f(1,2))＝eq\f(255,256).(2)由a1＝27，a9＝eq\f(1,243)，可得eq\f(1,243)＝27·q8.又由q<0，可得q＝－eq\f(1,3).所以S8＝eq\f(27[1－－\f(1,3)8],1－－\f(1,3))＝eq\f(1640,81).反思与感悟求等比数列前n项和，要确定首项、公比或首项、末项、公比，应特别注意q＝1是否成立．跟踪训练1若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝________；前n项和Sn＝________.答案22n＋1－2解析设等比数列的公比为q，∵a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，∴20q＝40，且a1q＋a1q3＝20，解得q＝2，且a1＝2.因此Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝2n＋1－2.命题角度2通项公式、前n项和公式的综合应用例2在等比数列{an}中，a1＝2，S3＝6，求a3和q.解由题意，得若q＝1，则S3＝3a1＝6，符合题意．此时，q＝1，a3＝a1＝2.若q≠1，则由等比数列的前n项和公式，得S3＝eq\f(a11－q3,1－q)＝eq\f(21－q3,1－q)＝6，解得q＝－2.此时，a3＝a1q2＝2×(－2)2＝8.综上所述，q＝1，a3＝2或q＝－2，a3＝8.反思与感悟(1)应用等比数列的前n项和公式时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．(2)当q＝1时，等比数列是常数列，所以Sn＝na1；当q≠1时，等比数列的前n项和Sn有两个公式．当已知a1，q与n时，用Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)比较方便；当已知a1，q与an时，用Sn＝eq\f(a1－anq,1－q)比较方便．跟踪训练2在等比数列{an}中，S2＝30，S3＝155，求Sn.解方法一由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a11＋q＝30，,a11＋q＋q2＝155，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝5，,q＝5))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝180，,q＝－\f(5,6).))从而Sn＝eq\f(51－5n,1－5)＝eq\f(5,4)(5n－1)或Sn＝eq\f(180[1－－\f(5,6)n],1－－\f(5,6))＝eq\f(1080[1－－\f(5,6)n],11)，n∈N*.方法二若q＝1，则S3∶S2＝3∶2，而事实上，S3∶S2＝31∶6，故q≠1.所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a11－q2,1－q)＝30，①,\f(a11－q3,1－q)＝155，②))两式作比，得eq\f(1＋q,1＋q＋q2)＝eq\f(6,31)，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝5，,q＝5))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝180，,q＝－\f(5,6)，))从而Sn＝eq\f(51－5n,1－5)＝eq\f(5,4)(5n－1)或Sn＝eq\f(180[1－－\f(5,6)n],1－－\f(5,6))＝eq\f(1080[1－－\f(5,6)n],11)，n∈N*.类型二等比数列前n项和的实际应用例3借贷10000元，月利率为1%，每月以复利计息，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？≈,≈，精确到整数)解方法一设每个月还贷a元，第1个月后欠款为a0元，以后第n个月还贷a元后，还剩下欠款an元(1≤n≤6，n∈N*)，则a0＝10000，a1＝－a，a2＝－a＝－(1＋a，…a6＝－a＝…＝－[1＋＋…＋]a.由题意，可知a6＝0，即－[1＋＋…＋]a＝0，a＝eq\f×102,－1).因为≈，所以a≈eq\f×102,－1)≈1739(元)．故每月应支付1739元．方法二一方面，借款10000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为S1＝104(1＋6＝104×6(元)，另一方面，设每个月还贷a元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为S2＝a(1＋5＋a(1＋4＋…＋a＝eq\f(a[1＋6－1],－1)＝a[－1]×102(元)．由S1＝S2，得a＝eq\f×102,－1)≈1739(元)．故每月应支付1739元．反思与感悟解决此类问题的关键是建立等比数列模型及弄清数列的项数，所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为S＝P(1＋r)n，其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和．跟踪训练3一个热气球在第一分钟上升了25m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125m吗？解用an表示热气球在第n分钟上升的高度，由题意，得an＋1＝eq\f(4,5)an，因此，数列{an}是首项a1＝25，公比q＝eq\f(4,5)的等比数列．热气球在前n分钟内上升的总高度为Sn＝a1＋a2＋…＋an＝eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(25×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))n)),1－\f(4,5))＝125×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))n))<125.故这个热气球上升的高度不可能超过125m.1．等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和Sn等于()\f(1－xn,1－x) \f(1－xn－1,1－x)\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1－xn,1－x)，x≠1，,n，x＝1)) \b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1－xn－1,1－x)，x≠1，,n，x＝1))答案C解析当x＝1时，Sn＝n；当x≠1时，Sn＝eq\f(1－xn,1－x).2．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则eq\f(S4,a2)等于()A．2B．4\f(15,2)\f(17,2)答案C解析方法一由等比数列的定义，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝eq\f(a2,q)＋a2＋a2q＋a2q2，得eq\f(S4,a2)＝eq\f(1,q)＋1＋q＋q2＝eq\f(15,2).方法二S4＝eq\f(a11－q4,1－q)，a2＝a1q，∴eq\f(S4,a2)＝eq\f(1－q4,1－qq)＝eq\f(15,2).3．等比数列{an}的各项都是正数，若a1＝81，a5＝16，则它的前5项的和是()A．179 B．211C．243 D．275答案B解析∵q4＝eq\f(a5,a1)＝eq\f(16,81)＝(eq\f(2,3))4，且q>0，∴q＝eq\f(2,3)，∴S5＝eq\f(a1－a5q,1－q)＝eq\f(81－16×\f(2,3),1－\f(2,3))＝211.4．某厂去年产值为a，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为________．答案11a－1)解析去年产值为a，今年起5年内各年的产值分别为，,,,.∴＋＋＋＋＝11a－1)．1．在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”．2．前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即当q≠1和q＝1时是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情况．3．一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列且公比为q，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减的方法求和．40分钟课时作业一、选择题1．设数列{(－1)n}的前n项和为Sn，则Sn等于()\f(n[－1n－1],2) \f(－1n＋1＋1,2)\f(－1n＋1,2) \f(－1n－1,2)答案D解析Sn＝eq\f(－1[1－－1n],1－－1)＝eq\f(－1n－1,2).2．在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前3项和为21，则a3＋a4＋a5等于()A．33 B．72C．84 D．189答案C解析由S3＝a1(1＋q＋q2)＝21且a1＝3，得q2＋q－6＝0.∵q>0，∴q＝2，∴a3＋a4＋a5＝q2(a1＋a2＋a3)＝q2·S3＝22·21＝84.3．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则eq\f(S5,S2)等于()A．11 B．5C．－8 D．－11答案D解析由8a2＋a5＝0得8a1q＋a1q4＝0，∴q＝－2，则eq\f(S5,S2)＝eq\f(a11＋25,a11－22)＝－11.4．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1等于()\f(1,3) B．－eq\f(1,3)\f(1,9) D．－eq\f(1,9)答案C解析设等比数列{an}的公比为q，由S3＝a2＋10a1得a1＋a2＋a3＝a2＋10a1，即a3＝9a1，q2＝9，又a5＝a1q4＝9，所以a1＝eq\f(1,9).5．一弹球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)()A．300米 B．299米C．199米 D．166米答案A解析小球10次着地共经过的路程为100＋100＋50＋…＋100×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))8＝299eq\f(39,64)≈300(米)．6．已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝－eq\f(4,3)，则{an}的前10项和等于()A．－6(1－3－10) \f(1,9)(1－3－10)C．3(1－3－10) D．3(1＋3－10)答案C解析由3an＋1＋an＝0，得eq\f(an＋1,an)＝－eq\f(1,3)，故数列{an}是公比q＝－eq\f(1,3)的等比数列．又a2＝－eq\f(4,3)，可得a1＝4.所以S10＝eq\f(4\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－－\f(1,3)10)),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3))))＝3(1－3－10)．二、填空题7．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝________.答案3解析∵S6＝4S3⇒eq\f(a11－q6,1－q)＝eq\f(4·a11－q3,1－q)⇒q3＝3.∴a4＝a1·q3＝1×3＝3.8．数列a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，…是首项为1，公比为2的等比数列，那么an＝________.答案2n－1解析an－an－1＝a1qn－1＝2n－1，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－a1＝2，,a3－a2＝22，,…,an－an－1＝2n－1.))各式相加得an－a1＝2＋22＋…＋2n－1＝2n－2，故an＝a1＋2n－2＝2n－1.9．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则{an}的公比为________．答案eq\f(1,3)解析由已知4S2＝S1＋3S3，即4(a1＋a2)＝a1＋3(a1＋a2＋a3)．∴a2＝3a3，∴{an}的公比q＝eq\f(a3,a2)＝eq\f(1,3).10．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋S6＝2S9，则数列的公比q＝________.答案－eq\f(\r(3,4),2)解析当q＝1时，Sn＝na1，S3＋S6＝3a1＋6a1＝9a1＝S9≠2S9；当q≠1时，eq\f(a11－q3,1－q)＋eq\f(a11－q6,1－q)＝2×eq\f(a11－q9,1－q)，得2－q3－q6＝2－2q9，∴2q9－q6－q3＝0，解得q3＝－eq\f(1,2)或q3＝1(舍去)或q3＝0(舍去)，∴q＝－eq\f(\r(3,4),2).三、解答题11．求和：1×21＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，n∈N*.解设Sn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，则2Sn＝1×22＋2×23＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1，∴－Sn＝21＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1＝eq\f(21－2n,1－2)－n×2n＋1＝2n＋1－2－n×2n＋1＝(1－n)×2n＋1－2，∴Sn＝(n－1)·2n＋1＋2.12．为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2023年开始出口，当年出口a吨，以后每年出口量均比上一年减少10%.(1)以2023年为第一年，设第n年出口量为an吨，试求an的表达式；(2)因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2023年最多出口多少吨？(保留一位小数，参考数据：≈解(1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a1＝a，公比q＝1－10%＝，∴an＝a·－1(n≥1，n∈N*)．(2)10年的出口总量S10＝eq\f(a