高中数学人教A版本册总复习总复习 全国获奖2

2023学年河北武邑中学上学期高二第二次月考文科数学一、选择题：共12题1．如图所示为一个简单几何体的三视图,则其对应的实物是A. B. C. D.【答案】A【解析】B,D两项中的几何体的正视图都是一个矩形,但其中的对角线看不到,应该为一条虚线,与已知不符,所以排除B,D;C项的正视图是一个矩形,但其中对角线的方向自左到右应该是向下的,并且侧视图的矩形中的对角线也应是虚线,与已知不符,所以排除C.故选A.

2．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能等于___. B.2 C.2-12 【答案】C【解析】本小题主要考查三视图及考生的空间想象能力,考查函数与方程思想.由题可知正方体的底面与水平面平行,先把正方体正放,然后将正方体按某一侧棱逆时针旋转,易知当正方体正放时,其正视图的面积最小,为1×1=1;当正方体逆时针旋转45°时,其正视图的面积最大,为1×2=2.而2-12<1,所以正方体的正视图的面积不可能等于

3．用平行于圆锥底面的截面去截圆锥，所得小圆锥的侧面积与原来大圆锥的侧面积的比是12A.12 C.22 【答案】C【解析】本题主要考查空间几何体的结构特征.由用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，所得小圆锥与原来的圆锥相似，则根据面积比等于相似比的平方比，而小圆锥侧面积与原来大圆锥侧面积的比是12，得相似比为22，故小圆锥的高与原来大圆锥的高的比值是2

4．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，下面有三个命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β.则真命题的个数为

【答案】C【解析】本题主要考查空间点线面的位置关系.①若α∥β，由l⊥平面α，则l⊥平面β，由直线m⊂平面β，则l⊥m，故①正确；②当α⊥β,直线l与平面α关系不确定,则l∥m不一定成立，故②错误；③当l∥m时，由l⊥平面α，则m⊥平面α，又m⊂平面β，则根据面面垂直的判定定理可知α⊥β成立，则③正确，综上，正确的命题为①③，故选C.

5．已知m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是A.若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β B.若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥βC.若m∥n，m∥α，则n∥α D.若n⊥α，n⊥β，则α∥β【答案】D【解析】本题主要考查空间点线面的位置关系.由m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，得若α⊥γ,α⊥β,则γ∥β或γ与β相交，故A不正确；若m∥n,m⊂α,n⊂β,则α∥β或α与β相交，故B不正确；若m∥n,m∥α,则n∥α或n⊂α，故C不正确；若n⊥α,n⊥β,则由平面平行的判定定理知α∥β，故D正确，故选D.

6．正六棱锥P—ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D－GAC与P－GAC体积之比为∶1 ∶2 ∶1 ∶2【答案】C【解析】本题主要考查空间几何体体积.由于G是PB的中点，故三棱锥P-GAC的体积等于三棱锥B-GAC的体积，在底面正六边形ABCDEF中，BH=ABtan30∘=33AB，而

7．如图，设平面α∩β＝EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分别是点B，D，如果增加一个条件，就能推出BD⊥EF，这个条件不可能是下面四个选项中的⊥β ⊥EF与BD在β内的射影在同一条直线上 与α，β所成的角相等【答案】D【解析】本题考查演绎推理.只要能推出EF⊥AC即可说明BD⊥EF.当AC与α，β所成的角相等时，推不出EF⊥AC，选D.

8．若二面角M－l－N的平面角大小为2π3，直线m⊥平面M，则平面内的直线与mA.[π6，π2] B.[π4，π2] C.[π【答案】A【解析】本题主要考查二面角.由二面角M-l-N的平面角大小为2π3，直线m⊥平面M，则直线m与平面N内的直线所成角最小为m与平面N所成的角，由m与平面N所成的角为π6，则平面N内的直线与m所成角的最小角为π6，又N内一定有直线与m垂直，则平面N内的直线与m所成角的最大角为π2，则平面N内的直线与m

9．如下图所示，E、F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是下图中的A.四个图形都正确 B.只有(2)(3)正确 C.只有(4)错误 D.只有(1)(2)正确【答案】B【解析】本题主要考查平行投影.由正方体是对称的几何体，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可分为：自上而下、自左至右、由前及后三个方向的射影，也就是在面ABCD、面ABB1A1、面ADD1A1上的射影，四边形BFD1E在面ABCD和面ABB1A1

10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，其棱长为1，下列命题中，正确的命题个数为①A1C1和AD1所成角为π3②点B1到截面A1C1D的距离为23③正方体的内切球与外接球的半径之比为1∶2 【答案】C【解析】本题主要考查空间几何体的结构特征.对于①连结AC,CD1,AD1，则∠CAD1就是A1C1和AD1所成角，在等边△ACD1中，则∠CAD1=π3,故①正确；对于②，V三棱锥B1-A1C1

11．正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱BB1中点，G是DD1中点，F是BC上一点且FB＝14BC，则GB与EF° ° ° °【答案】D【解析】本题主要考查空间角.以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则G(0,0,1),B(2,2,0),E(2,2,1),F(32,2,0)，则GB=(2,2,-1),EF=(-12

12．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝BC＝2.若二面角B1－DC－C1的大小为60°，则AD的长为A.2 B.3 D.2【答案】A【解析】本题主要考查空间角.由∠A1C1B1=∠ACB=90∘，则B1C1⊥A1C1，又由直三棱柱性质知B1C1⊥CC1，则B1C1⊥平面ACC1A1，如图,在面ACC1A1内过C1作C二、填空题：共4题13．如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直径为1的圆，那么这个几何体的侧面积为________.【答案】π【解析】本题主要考查三视图.依题意，该几何体为底面直径和高均为1的圆柱，其侧面积为S=π，故填π

14．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上移动，并且总是保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是________.【答案】线段B1C【解析】本题主要考查直线与平面垂直的性质定理.如图,先找到一个平面总是保持与BD1垂直，连接AC,AB得BD1⊥CB1,BD1⊥AC；则BD1⊥面ACB1，又点

15．已知每条棱长都为3的直平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，∠BAD＝60°，长为2的线段MN的一个端点M在DD1上运动，另一个端点N在底面ABCD上运动.则MN中点P的轨迹与该直平行六面体的表面所围成的几何体中体积较小的几何体的体积为________.【答案】2π【解析】本题主要考查空间几何体体积.如图可得，端点N在正方形ABCD内运动，(N与D不重合)连接N点与D点，由ND，DM，MN构成一个直角三角形，设P为MN的中点，根据直角三角形斜边上的中线长度为斜边的一半可得，不论△MDN如何变化，P点到D点的距离始终等于1，N与D重合也满足题意，∠ADC=120°，故P点的轨迹是一个以D中心，半径为1的半球的13，则所求体积为13×

16．已知点E、F分别在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1、CC1上,且B1E=2EB,CF=2FC1,则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于.

【答案】2【解析】本小题主要考查线面垂直、利用面积射影公式求二面角以及应用同角三角函数间的基本关系求解问题的能力.设面AEF与面ABC所成的二面角为θ,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,则△AEF在面ABC上的射影是△ABC.在△AEF中,AE=32+12=10,AF=(32)2+22=22,EF=(2-1)2+32=10,△AEF的面积等于12×22×(10)2-(1222)2=3112,而△ABC的面积等于三、解答题：共4题17．如图，在三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点.求证：(1)平面EFG∥平面ABC；(2)BC⊥SA.【答案】(1)因为AS＝AB，AF⊥SB，垂足为F，所以F是SB的中点.又因为E是SA的中点，所以EF∥AB.因为EF同理EG∥平面ABC.又EF∩EG＝E，所以平面EFG∥平面ABC.(2)因为平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB，又AF因为BC又因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF，AB因为SA【解析】本题主要考查面面平行的判定定理及线面垂直的判定定理.(1)先证得EF∥AB，从而得EF∥平面ABC，利用面面平行的判定定理得平面EFG∥平面ABC.(2)利用平面SAB⊥平面SBC，利用面面垂直的判定定理证得AF⊥SB，从而证得AF⊥平面SBC，从而得AF⊥BC，利用线面垂直的判定定理证得BC⊥平面SAB，从而证得BC⊥SA.

18．如图所示，在三棱锥P－ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA＝BP＝BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ＝2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，联结GH.(1)求证：AB∥GH；(2)求二面角D－GH－E的余弦值.【答案】(1)证明：因为D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，所以EF∥AB，DC∥AB，所以EF∥DC.又EF又EF又EF∥AB，所以AB∥GH.(2)方法一：在△ABQ中，AQ＝2BD，AD＝DQ，所以∠ABQ＝90°，即AB⊥BQ.因为PB⊥平面ABQ，所以AB⊥PB.又BP∩BQ＝B，所以AB⊥平面PBQ.由(1)知AB∥GH，所以GH⊥平面PBQ.又FH平面PBQ，所以GH⊥FH.同理可得GH⊥HC，所以∠FHC为二面角D－GH－E的平面角.设BA＝BQ＝BP＝2.联结FC，在Rt△FBC中，由勾股定理得FC＝2，在Rt△PBC中，由勾股定理得PC＝5.又H为△PBQ的重心，所以HC＝13PC＝53.同理FH＝在△FHC中，由余弦定理得cos∠FHC＝59+59-22×59＝－45方法二：在△ABQ中，AQ＝2BD，AD＝DQ，所以∠ABQ＝90°.又PB⊥平面ABQ，所以BA，BQ，BP两两垂直.以B为坐标原点，分别以BA，BQ，BP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设BA＝BQ＝BP＝2，则E(1，0，1)，F(0，0，1)，Q(0，2，0)，D(1，1，0)，C(0，1，0)，P(0，0，2).所以EQ＝(－1，2，－1)，FQ＝(0，2，－1)，DP＝(－1，－1，2)，CP＝(0，－1，2).设平面EFQ的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)，由m·EQ＝0，m·FQ＝0得-x1+2y1-z1=02y1设平面PDC的一个法向量为n＝(x2，y2，z2)，由n·＝0，n·＝0，得-取z2＝1，得n＝(0，2，1).所以cos〈m，n〉＝mnm|n|因为二面角D－GH－E为钝角，所以二面角D－GH－E的余弦值为－45.【解析】本题主要考查线面平行的判定定理及性质定理、二面角的求法.(1)利用D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，证得EF∥DC，利用线面平行的判定定理证得EF∥平面PCD，又EF2)方法一：先证得∠FHC为二面角D－GH－E的平面角.设BA＝BQ＝BP＝2.联结FC，在Rt△PBC中，求得HC，FH的长，在△FHC中，由余弦定理求得cos∠FHC，从而求得二面角.方法二：建立空间直角坐标系，写出各点坐标，设平面EFQ的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)，利用空间向量数量积求得m＝(0，1，2).同理求得平面PDC的一个法向量为n，利用数量积求得二面角的余弦值.

19．如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，E是PB上任意一点，△AEC面积的最小值是3.(1)求证：AC⊥DE；(2)求四棱锥P－ABCD的体积.【答案】(1)连接BD，设AC与BD相交于点F.因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.又因为PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以PD⊥AC.而PD∩BD＝D，所以AC⊥平面PDB.E为PB上任意一点，DE⊂平面PDB，所以AC⊥DE.(2)连接EF.由(1)知AC⊥平面PDB，EF⊂平面PDB，所以AC⊥EF.S△ACE＝12AC·EF，在△ACE面积最小时，EF最小，则EF⊥P此时S△ACE＝3，12×6×EF＝3解得EF＝1.由△PDB∽△FEB，得PD由于EF＝1，FB＝4，所以PB＝4PD.又PB＝FD2+64，∴FD2+64解得PD＝815∴VP－ABCD＝13S菱形ABCD·＝13×24×81515【解析】本题主要考查线面垂直的判定定理及空间几何体体积.(1)连接BD，设AC与BD相交于点F.利用PD⊥平面ABCD，证得PD⊥AC.利用线面垂直的判定定理证得AC⊥平面PDB.从而证得AC⊥DE.(2)连接EF.由(1)知AC⊥平面PDB，从而证得AC⊥EF.求得在△ACE面积最小时，EF最小，则EF⊥PB.求得EF的长，利用△PDB∽△FEB，求得PB＝4PD，从而求得PD的长，利用四棱锥的体积公式求得VP－ABCD.

20．如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱A1A⊥底面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E为棱AA1的中点.(Ⅰ)证明B1C1⊥CE;(Ⅱ)求二面角B1-CE-C1的正弦值;(Ⅲ)设点M在线段C1E上,且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为26,求线段AM的长【答案】解法一如图,以点A为原点建立空间直角坐标系,依题意得A(0,0,0),B(0,0,2),C(1,0,1),B1(0,2,2),C1(1,2,1),E(0,1,0).(Ⅰ)易得B1C1=(1,0,-1),CE=(-1,1,-1),于是B1C1·CE=0,所以(Ⅱ)B1C=(1,-2,-1).设平面B1CE则m·B1C=0,m·CE=0,即由(Ⅰ)知,B1C1⊥CE,又CC1⊥B1C1,可得B1C1⊥平面CEC1,故B1C1=(1,0,-1)为平面CEC于是cos<m,B1C1>=m·B从而sin<m,B1C1所以二面角B1-CE-C1的正弦值为217(Ⅲ)AE=(0,1,0),EC1=(1,1,1).设EM=λEC1=(λ,λ,λ),0≤λ≤1,有AM=AE+EM=(λ,λ+1,λ).可取AB=(0,0,2)为平面ADD1A1的一个法向量.设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角,则sinθ=|cos<AM,AB>|=|AM·AB||AM|·|AB|=2λλ2解法二(Ⅰ)因为侧棱CC1⊥底面A1B1C1D1,B1C1⊂平面A1B1C1D1,所以CC1⊥B1C1.经计算可得B1E=5,B1C1=2,E