高中数学苏教版第二章统计抽样方法 苏教版 　分层抽样 学案

2．分层抽样1.了解分层抽样的概念．2.理解分层抽样、简单随机抽样的联系与区别和各自适用的范围．3．掌握分层抽样的特点及一般步骤．1．分层抽样的概念一般地，当总体由差异明显的几个部分组成时，为了使样本更客观地反映总体情况，我们常常将总体中的个体按不同的特点分成层次比较分明的几部分，然后按各部分在总体中所占的比实施抽样，这种抽样方法叫分层抽样，所分成的各个部分称为“层”．2．分层抽样的步骤(1)将总体按一定标准分层；(2)计算各层的个体数与总体的个体数的比；(3)按各层个体数占总体的个体数的比确定各层应抽取的样本容量；(4)在每一层进行抽样(可用简单随机抽样)．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在分层抽样时，每层可以不等可能抽样．()(2)在分层抽样的过程中，每个个体被抽到的可能性是相同的，与层数及分层有关．()答案：(1)×(2)×2．为了保证分层抽样时每个个体被等可能地抽取，必须要求()A．每层等可能抽取B．每层抽取的个体数相等C．每层抽取的个体数可以不一样多，但必须满足抽取ni＝n·eq\f(Ni,N)(i＝1，2，…，k)个个体(其中i是层的序号，k是总层数，n为抽取的样本容量，Ni是第i层中的个体数，N是总体容量)D．只要抽取的样本容量一定，每层抽取的个体数没有限制解析：选C.分层抽样时，在各层中按层中所含个体在总体中所占的比例进行抽样．A中，虽然每层等可能地抽样，但是没有指明各层中应抽取几个个体，故A不正确；B中，由于每层的个体数不一定相等，每层抽取同样多的个体数，显然从总体来看，各层的个体被抽取的可能性就不相等了，因此B也不正确；C中，对于第i层的每个个体，它被抽到的可能性与层数i无关，即对于每个个体来说，被抽取为样本的可能性是相同的，故C正确；D显然不正确．3．某地区为了解居民家庭生活状况，先把居民按所在行业分为几类，然后每个行业抽取eq\f(1,100)的居民家庭进行调查，这种抽样是________．解析：符合分层抽样的特点．答案：分层抽样4．一个班共有54人，其中男、女比为5∶4，若抽取9人参加教改调查会，则每个男同学被抽取的可能性为________，每个女同学被抽取的可能性为________．解析：男、女每人被抽取的可能是相同的，因为男同学共有54×eq\f(5,9)＝30(人)，女同学共有54×eq\f(4,9)＝24(人)，所以每个男同学被抽取的可能性为eq\f(5,30)＝eq\f(1,6)，每个女同学被抽取的可能性为eq\f(4,24)＝eq\f(1,6).答案：eq\f(1,6)eq\f(1,6)分层抽样的概念判断下列对分层抽样的说法是否正确，并说明理由．(1)因为抽样在不同层内进行，所以不同层的个体被抽到的可能性不一样；(2)分层后，为确保公平性，在每层都应用同一抽样方法；(3)所有层用同一抽样比，等可能抽样；(4)所有层抽同样多容量的样本，等可能抽样．【解】判断依据是分层抽样的定义及操作步骤．eq\a\vs4\al()(1)不正确．因为不同层内抽取的样本数是由该层个体数与总体数的比乘以样本容量得到的，所以每层抽取的样本数与该层个体总数比是一样的．所以对总体中每个个体而言，被抽取的可能性是一样的．(2)不正确．在每层可根据不同情况采用不同的抽样方法．(3)正确．由分层抽样定义和操作步骤可知．(4)不正确．每层抽取的样本数不一定相同．与该层个体数占总体数的比有关．对于分层抽样的概念要从如何分层，每层确定样本数，每层采用何种抽样方法，及抽样是否具有公平性等方面彻底理解．只有彻底理解了概念才能避免操作中的错误．1.某政府机关在编人员共100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级部门为了了解该机关对政府机构改革的意见，要从中抽取20人，用哪种方法最合适？解：由于总体是由差异明显的三部分组成，故用分层抽样最合适．分层抽样中的有关计算(1)某单位共有老、中、青年职工430人，其中有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为________．(2)某高中学校为了促进学生个体的全面发展，针对学生发展要求，开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团，已知报名参加这两个社团的学生共有800人，按照要求每人只能参加一个社团，各年级参加社团的人数情况如下表：高一年级高二年级高三年级泥塑abc剪纸xyz其中x∶y∶z＝5∶3∶2，且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的eq\f(3,5)，为了了解学生对两个社团活动的满意程度，从中抽取一个50人的样本进行调查，则从高二年级“剪纸”社团的学生中应抽取________人．【解析】(1)设该单位老年职工人数为x，由题意得3x＝430－160，解得x＝90.则样本中的老年职工人数为90×eq\f(32,160)＝18.(2)法一：因为“泥塑”社团的人数占总人数的eq\f(3,5)，故“剪纸”社团的人数占总人数的eq\f(2,5)，所以“剪纸”社团的人数为800×eq\f(2,5)＝320；因为“剪纸”社团中高二年级人数比例为eq\f(y,x＋y＋z)＝eq\f(3,2＋3＋5)＝eq\f(3,10)，所以“剪纸”社团中高二年级人数为320×eq\f(3,10)＝96.由题意知，抽样比为eq\f(50,800)＝eq\f(1,16)，所以从高二年级“剪纸”社团中抽取的人数为96×eq\f(1,16)＝6.法二：因为“泥塑”社团的人数占总人数的eq\f(3,5)，故“剪纸”社团的人数占总人数的eq\f(2,5)，所以抽取的50人的样本中，“剪纸”社团中的人数为50×eq\f(2,5)＝20.又“剪纸”社团中高二年级人数比例为eq\f(y,x＋y＋z)＝eq\f(3,2＋3＋5)＝eq\f(3,10)，所以从高二年级“剪纸”社团中抽取的人数为20×eq\f(3,10)＝6.【答案】(1)18(2)6eq\a\vs4\al()分层抽样中有关计算的方法(1)抽样比＝eq\f(样本容量n,总体容量N)＝eq\f(该层抽取的个体数,该层的个体数).(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．对于分层抽样中求某层个体数，或某层要抽取的样本个体数，都可以通过上面两个等量关系求解．2.(1)为了调查城市的情况，按地域把48个城市分成大型、中型、小型三组，相应的城市数分别为8，16，24.若用分层抽样的方法抽取12个城市，则应抽取的中型城市数为()A．3 B．4C．5 D．6(2)一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人．为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，则应抽取超过45岁的职工为________人．解析：(1)根据分层抽样的特点可知，抽样比例为eq\f(12,48)＝eq\f(1,4)，则应抽取的中型城市数为16×eq\f(1,4)＝4.(2)抽样比为25∶200＝1∶8，而超过45岁的职工有80人，则从中应抽取的个体数为80×eq\f(1,8)＝10.答案：(1)B(2)10分层抽样的设计与应用在100个产品中，有一等品20个，二等品30个，三等品50个，现要抽取一个容量为30的样本，请说明抽样过程．【解】先将产品按等级分成三层：第一层，一等品20个；第二层，二等品30个；第三层，三等品50个．然后确定每一层抽取的个体数，因为20∶30∶50＝2∶3∶5，所以应在第一层中抽取产品6个，在第二层中抽取产品9个，在第三层中抽取产品15个．再分别给这些产品编号并贴上标签，用抽签法或随机数表法在各层中抽取，取到一等品6个，二等品9个，三等品15个，这样就通过分层抽样得到了一个容量为30的样本．eq\a\vs4\al()分层抽样的操作步骤第一步，计算样本容量与总体的个体数之比．第二步，将总体分成互不交叉的层，按比例确定各层要抽取的个体数．第三步，用简单随机抽样在各层中抽取相应数量的个体．第四步，将各层抽取的个体合在一起，就得到所取样本．1．分层抽样的特点(1)适用于总体由有明显差别的几部分组成的情况．(2)抽取的样本更好地反映了总体的情况．(3)是等可能性抽样，每个个体被抽到的可能性都是eq\f(n,N).2．分层抽样的公平性如果总体中个体的总数是N，样本容量为n，第i层中个数为Ni，则第i层中要抽取的个体数为ni＝n·eq\f(Ni,N).每一个个体被抽取的可能性是eq\f(ni,Ni)＝eq\f(1,Ni)·n·eq\f(Ni,N)＝eq\f(n,N)，与层数无关．所以对所有个体来说，被抽取的可能性是一样的，与层数及分层无关，所以分层抽样是公平的．3．分层抽样需注意的问题(1)分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定，总的原则是每层内样本的差异要小，不同层之间的样本差异要大，且互不重叠．(2)抽取比例由每层个体占总体的比例确定．(3)各层抽样按简单随机抽样进行．1．下面的抽样方法是分层抽样的是()A．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖B．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔20分钟抽一包产品，称其质量是否合格C．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解学校机构改革的意见D．用抽签方法从10件产品中选取3件进行质量检验解析：选、B不是分层抽样，C是分层抽样，因为总体的个体有明显的层次；D是简单随机抽样．2．某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为()类别人数老年教师900中年教师1800青年教师1600合计4300A．90 B．100C．180 D．300解析：选C.设样本中的老年教师人数为x，则eq\f(320,1600)＝eq\f(x,900)，解得x＝180.3．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为________．解析：设高二年级抽取x人，则有eq\f(6,30)＝eq\f(x,40)，解得x＝8.答案：84．一个总体中包含具有A、B、C三种性质的个体，其容量为63，将A、B、C三种性质的个体按1∶2∶4的比例进行分层抽样调查，如果抽取的样本容量为21，则A、B、C三种元素中分别抽取________．解析：A：21×eq\f(1,7)＝3；B：21×eq\f(2,7)＝6；C：21×eq\f(4,7)＝12.答案：3，6，12[A基础达标]1．某商场出售三种品牌电脑，现库存量分别是60台、36台和24台，用分层抽样的方法从中抽取10台进行检测，则这三种品牌的电脑依次应抽取的台数是()A．6，3，1 B．5，3，2C．5，4，1 D．4，3，3解析：选B.抽样比为eq\f(10,60＋36＋24)＝eq\f(1,12)，则三种品牌的电脑依次应抽取的台数是60×eq\f(1,12)＝5，36×eq\f(1,12)＝3，24×eq\f(1,12)＝2.故选B.2．采用分层抽样的方法从某学校三个年级的全体学生中抽取一个容量为45的样本，高一年级被抽取20人，高三年级被抽取10人，高二年级共有300人，则这个学校共有高中学生为()A．1350人 B．675人C．900人 D．450人解析：选C.高二年级被抽取的人数为45－20－10＝15，则抽样比为15∶300＝1∶20，所以45÷eq\f(1,20)＝900，即这个学校共有高中学生900人．3．某班有男生36人，女生18人，用分层抽样的方法从该班全体学生中抽取一个容量为9的样本，则抽取的女生人数为()A．6 B．4C．3 D．2解析：选C.据分层抽样，得抽取的女生人数为eq\f(9,36＋18)×18＝3，选C.4．某中学有高中生3500人，初中生1500人．为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为()A．100 B．150C．200 D．250解析：选A.抽样比为eq\f(70,3500)＝eq\f(1,50)，该校总人数为1500＋3500＝5000，则eq\f(n,5000)＝eq\f(1,50)，故n＝100.5．某校做了一次关于“感恩父母”的问卷调查，从8～10岁，11～12岁，13～14岁，15～16岁四个年龄段回收的问卷依次为：120份，180份，240份，x份．因调查需要，从回收的问卷中按年龄段分层抽取容量为300的样本，其中在11～12岁学生问卷中抽取60份，则在15～16岁学生中抽取的问卷份数为()A．360 B．240C．120 D．60解析：选～12岁回收180份，其中在11～12岁学生问卷中抽取60份，则抽样比为eq\f(1,3).因为从回收的问卷中按年龄段分层抽取容量为300的样本，所以从8～10岁，11～12岁，13～14岁，15～16岁四个年龄段回收的问卷总数为eq\f(300,\f(1,3))＝900(份)，则15～16岁回收问卷份数为：x＝900－120－180－240＝360(份)．所以在15～16岁学生中抽取的问卷份数为360×eq\f(1,3)＝120(份)．6．最新高考改革方案已在上海和浙江实施，某教育机构为了解我省广大师生对新高考改革方案的看法，对某市部分学校500名师生进行调查，统计结果如下表：赞成改革不赞成改革无所谓教师1202040学生15040130现从500名师生中用分层抽样的方法抽取50名进行问卷调查，则应抽取“不赞成改革”的教师和学生人数分别为________．解析：由题意知，抽样比为eq\f(50,500)＝eq\f(1,10)，则应抽取“不赞成改革”的教师人数为eq\f(1,10)×20＝2，学生人数为eq\f(1,10)×40＝4.答案：2，47．某实验中学共有学生1600名，为了调查学生的身体健康状况，采用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知样本容量中女生比男生少10人，则该校的女生有________人．解析：设该校女生人数为x，则男生人数为1600－x.由已知，得eq\f(200,1600)×(1600－x)－eq\f(200,1600)·x＝10，解得x＝760.故该校的女生人数为760.答案：7608．某学校在校学生2000人，为了学生的“德、智、体”全面发展，学校举行了跑步和登山比赛活动，每人都参加而且只参与其中一项比赛，各年级参与比赛的人数情况如下表：高一年级高二年级高三年级跑步人数abc登山人数xyz其中a∶b∶c＝2∶5∶3，全校参与登山的人数占总人数的eq\f(1,4).为了了解学生对本次活动的满意程度，从中抽取一个200人的样本进行调查，则高三年级参与跑步的学生中应抽取________人．解析：全校参与登山的人数是2000×eq\f(1,4)＝500，所以参与跑步的人数是1500，应抽取eq\f(1500,2000)×200＝150，c＝150×eq\f(3,10)＝45(人)．答案：459．某校在校学生1600人，其中高一学生520人，高二学生500人，高三学生580人．如果想抽查其中的80人来调查学生的消费情况，考虑到不同年级的学生消费情况有明显差异，而同一年级内消费情况差异较小．问应当采用怎样的抽样方法？高三学生应抽取多少人？解：因为不同年级的学生消费情况有明显差异，而同一年级内学生消费情况差异较小，所以可采用分层抽样，分三个层次进行抽样．因为样本所占总体的比例为eq\f(80,1600)＝eq\f(1,20)，所以高三学生应抽取580×eq\f(1,20)＝29(人)．10．某中学举行了为期3天的新世纪体育运动会，同时进行全校精神文明擂台赛，为了解这次活动在全校师生中产生的影响，分别在全校500名教职员工、3000名初中生、4000名高中生中作问卷调查，如果要在所有答卷中抽出120份用于评估．(1)应如何抽取才能得到比较客观的评价结论？(2)要从3000份初中生的答卷中抽取一个容量为48的样本，如果采用简单随机抽样，应如何操作？解：(1)由于这次活动对教职员工、初中生和高中生产生的影响不相同，所以应当采取分层抽样的方法进行抽样．因为样本容量为120，总体个数为500＋3000＋4000＝7500，则抽样比：eq\f(120,7500)＝eq\f(2,125)，所以有500×eq\f(2,125)＝8，3000×eq\f(2,125)＝48，4000×eq\f(2,125)＝64，所以在教职员工、初中生、高中生中抽取的个体数分别是8，48，64.分层抽样的步骤是：①分层：分为教职员工、初中生、高中生，共三层．②确定每层抽取个体的个数：在教职员工、初中生、高中生中抽取的个体数分别是8，48，64.③各层分别按简单随机抽样的方法抽取样本．④综合每层抽样，组成样本．这样便完成了整个抽样过程，就能得到比较客观的评价结论．(2)由于简单随机抽样有两种方法：抽签法和随机数表法．如果用抽签法，要作3000个号签，费时费力，因此采用随机数表法抽取样本，步骤是：①编号：将3000份答卷都编上号码：0001，0002，0003，…，3000.②在随机数表上随机选取一个起始位置．③规定读数方向：向右连续取数字，以4个数为一组，如果读取的4位数大于3000，则去掉，如果遇到相同的号码则只取一个，这样一直到取满48个号码为止．[B能力提升]1．某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是()A．4 B．5C．6 D．7解析：选C.四类食品的种数比为4∶1∶3∶2，则抽取的植物油类的种数为20×eq\f(1,10)＝2，抽取的果蔬类的种数为20×eq\f(2,10)＝4，二者之和为6种，故选C.2．某企业三月中旬生产A、B、C三种产品共3000件，根据分层抽样的结果：企业统计员制作了如下的统计表格：产品类别ABC产品数量(件)1300样本容量(件)130由于不小心，表格中A、C产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10件，根据以上信息，可得C产品的数量是________件．解析：由于B产品的数量和样本容量的比为10∶1，又A产品的样本容量比C产品的样本容量多10件，则A产品的产品数量比C产品的产品数量多100件；设C产品的产品数量为x，则(x＋100)＋1300＋x＝3000，解之，得x＝800.故应填800.答案：8003．一个地区共有5个乡镇，人口3万人，其人口比例为3∶2∶5∶2∶3，从3万人中抽取一个300人的样本，分析某种疾病的发病率，已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应采取什么样的方法？并写出具体过程．解：因为疾病的发病率与地理位置和水土均有关系，所以不同乡镇的发病情况差异明显，因而采用分层抽样的方法．具体过程如下：(1)将3万人分为5层，其中一个乡镇为一层．(2)按照样本容量的比例求得各乡镇应抽取的人数分别为60人、40人、100人、40人、60人．(3)按照各层抽取的人数随机抽取各