山西省吕梁市育德中学2021年高三数学文月考试题含解析

山西省吕梁市育德中学2021年高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知数列{an}的前n项和Sn=n2﹣n，正项等比数列{bn}中，b2=a3，bn+3bn﹣1=4（n≥2）n∈N+，则log2bn=（）A．n﹣1 B．2n﹣1 C．n﹣2 D．n参考答案：D【考点】8H：数列递推式．【分析】利用a3=S3﹣S2，即可得到log2b2．验证可知A，B，C均不符合，即可得出．【解答】解：∵a3=S3﹣S2=（32﹣3）﹣（22﹣2）=4，∴b2=a3=4，log2b2=log24=2．验证可知A，B，C均不符合，故答案为D．2..已知全集U=R，集合和关系的韦恩图如图所示，则阴影部分所示集合中的元素共有（

）A.3个 B.4个 C.5个 D.无穷多个参考答案：B试题分析:因，故或，图中阴影部分表示的集合为，故该集合中有个元素.应选B.考点：补集交集的概念及运算.3. 已知直线平面,则“直线”是“”的（A）充分但不必要条件 （B）必要但不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分又不必要条件参考答案：B本题考查线面位置关系的判定、性质与充分必要条件.（充分性）当且时,我们可以得到或（因为直线与平面的位置关系不确定）,所以充分性不成立;（必要性）当时,过直线可做平面与平面交于直线,则有.又有,则有,即.所以必要性成立,故选B.4.从边长为10cm×16cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，做成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为(

)A．160cm3 B．144cm3 C．72cm3 D．12cm3参考答案：B【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】应用题；函数思想；综合法；导数的综合应用．【分析】设小正方形的变长为xcm（0＜x＜5），可表示出盒子的容积，利用导数可求得其最大值．【解答】解：设小正方形的变长为xcm（0＜x＜5），则盒子的容积V=（10﹣2x）（16﹣2x）x=4x3﹣52x2+160x（0＜x＜5），V'=12x2﹣104x+160=4（3x﹣20）（x﹣2），当0＜x＜2时，V'＞0，当2＜x＜5时，V'＜0，∴x=2时V取得极大值，也为最大值，等于（10﹣4）（16﹣4）×2=144（cm3），故选：B．【点评】本题考查导数在解决实际问题中的应用，考查学生的阅读理解能力及利用数学知识解决问题的能力．5.已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，设，则的大小关系是()A.

B.

C.

D.参考答案：B6.已知向量满足则向量在向量方向上的投影是

A．

B．

C．

D．1参考答案：B7.偶函数满足，且当时，，则函数，则在上的零点个数为（

）A．11

B．10

C.9

D．8参考答案：B8.执行如图的程序框图，则输出K的值为（）A．98 B．99 C．100 D．101参考答案：B【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的K，S的值，观察规律，可得当K=99，S=2，满足条件S≥2，退出循环，输出K的值为99，从而得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得K=1，S=0S=lg2不满足条件S≥2，执行循环体，K=2，S=lg2+lg=lg3不满足条件S≥2，执行循环体，K=3，S=lg3+lg=lg4…观察规律，可得：不满足条件S≥2，执行循环体，K=99，S=lg99+lg=lg100=2满足条件S≥2，退出循环，输出K的值为99．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．9.在等腰△中，，，在角内部作射线交边于点，则线段的概率为(

)

参考答案：D略10.已知一个四面体有五条棱长都等于2，则该四面体的体积最大值为(

)A．

B．1

C．

D．2参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知m=3sinxdx，则二项式（a+2b﹣3c）m的展开式中ab2cm﹣3的系数为．参考答案：﹣6480【考点】二项式定理的应用；定积分．【分析】求定积分得到m=6，再利用二项式定理求得展开式中ab2cm﹣3的系数．【解答】解：m=3sinxdx=﹣3cosx=6，则二项式（a+2b﹣3c）6=[（2b﹣3c）+a]6展开式中含ab2c3的项为a?（2b﹣3c）5；对于（2b﹣3c）5，含b2c3的项为?（2b）2?（﹣3c）3，故含ab2c3的项的系数为?22?（﹣3）3=﹣6480，故答案为：﹣6480．12.函数的值域为

▲

。参考答案：略13.已知角A是一个三角形的内角，且，则角A的集合为

。参考答案：略14.已知函数y=f（x），对于任意的x满足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0，则下列不等式中成立的有．①＜f（）②f（）f（）③f（0）f（）④f（）f（）参考答案：②③④【考点】函数的单调性与导数的关系．【专题】导数的概念及应用．【分析】构造函数F（x）=，x，可得函数F（x）在x上单调递增，逐个选项验证可得．【解答】解：构造函数F（x）=，x，则F′（x）=＞0，∴函数F（x）在x上单调递增，∴F（）＞F（），即2f（）＞f（），可得＞f（），①错误；同理可得F（）＜F（），即f（）＜f（），可得f（）f（），②正确；同理F（0）＜F（），即f（0）＜f（），③正确；同理F（）＜F（），即f（）＜2f（），可得f（）f（），④正确．故答案为：②③④【点评】本题考查函数的单调性和导数的关系，利用单调性比较大小，熟记商的导数公式，以之构造出相应函数是解答的关键，属中档题．15.已知角α的终边经过点（3a，4a）（a＜0），则sinα=

，tan（π﹣2α）=

．参考答案：，【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】先求r，再利用三角函数的定义，诱导公式，二倍角公式，即可求得结论．【解答】解：由题意，x=3a，y=4a，∴r=|5a|=﹣5a∴sinα==﹣，tanα==∴tan（π﹣2α）=﹣tan2α=﹣=﹣=故答案为：，．16.对于任意的实数和，不等式恒成立，试求实数

的取值范围.

.

参考答案：17.设是等比数列，公比，为的前n项和。记，设为数列的最大项，则=_______．参考答案：4略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，AB=2，∠BAD=60°，M是PD的中点．

（Ⅰ）求证：OM∥平面PAB；（Ⅱ）平面PBD⊥平面PAC；（Ⅲ）当三棱锥C﹣PBD的体积等于时，求PA的长．参考答案：（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）见证明（Ⅲ）【分析】（Ⅰ）先证明OM∥PB，再证明OM∥平面PAB;（Ⅱ）先证明BD⊥平面PAC，再证明平面PBD⊥平面PAC；（Ⅲ）根据求出PA的长.【详解】（Ⅰ）证明：在△PBD中，因为O，M分别是BD，PD的中点，所以OM∥PB．又OM?平面PAB,PB?平面PAB，所以OM∥平面PAB．（Ⅱ）因为底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC．因为PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以PA⊥BD．又AC∩PA=A，所以BD⊥平面PAC．又BD?平面PBD，所以平面PBD⊥平面PAC．（Ⅲ）因为底面ABCD是菱形，且AB=2，∠BAD=60°，所以又，三棱锥的高为PA，所以，解得．【点睛】本题主要考查空间几何元素位置关系的证明，考查体积的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19.如图所示，△ABC内接于⊙O，直线AD与⊙O相切于点A，交BC的延长线于点D，过点D作DE∥CA交BA的延长线于点E．（I）求证：DE2=AE?BE；（Ⅱ）若直线EF与⊙O相切于点F，且EF=4，EA=2，求线段AC的长．参考答案：【考点】与圆有关的比例线段．【专题】证明题；转化思想；综合法；推理和证明．【分析】（Ⅰ）推导出△AED∽△DEB，由此能证明DE2=AE?BE．（Ⅱ）由切割线定理得EF2=EA?EB，由DE∥CA，得△BAC∽△BED，由此能求出AC．【解答】证明：（Ⅰ）∵AD是⊙O的切线，∴∠DAC=∠B，∵DE∥CA，∴∠DAC=∠EDA，∴∠EDA=∠B，∵∠AED=∠DEB，∴△AED∽△DEB，∴，∴DE2=AE?BE．解：（Ⅱ）∵EF是⊙O的切线，EAB是⊙O割线，∴EF2=EA?EB，∵EF=4，EA=2，∴EB=8，AB=EB﹣EA=6，由（Ⅰ）知DE2=AE?BE，∴DE=4，∵DE∥CA，∴△BAC∽△BED，∴，∴AC==．【点评】本题考查与圆有关的线段间等量关系的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用．20.为了了解大学生观看某电视节目是否与性别有关，一所大学心理学教师从该校学生中随机抽取了50人进行问卷调查，得到了如下的列联表，若该教师采用分层抽样的方法从50份问卷调查中继续抽查了10份进行重点分析，知道其中喜欢看该节目的有6人．

喜欢看该节目不喜欢看该节目合计女生

5

男生10

合计

50（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99.5%的把握认为喜欢看该节目与性别有关？说明你的理由；（3）已知喜欢看该节目的10位男生中，A1、A2、A3、A4、A5还喜欢看新闻，B1、B2、B3还喜欢看动画片，C1、C2还喜欢看韩剧，现再从喜欢看新闻、动画片和韩剧的男生中各选出1名进行其他方面的调查，求B1和C1不全被选中的概率．下面的临界值表供参考：P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050．001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）参考答案：【考点】独立性检验．【分析】（1）由分层抽样知识，求出50名同学中喜欢看电视节目的人数，作差求出不喜欢看该电视节目的人数，则可得到列联表；（2）直接由公式求出K2的观测值，结合临界值表可得答案；（3）用列举法写出从10位男生中选出喜欢看韩剧、喜欢看新闻、喜欢看动画片的各1名的一切可能的结果，查出B1、C1全被选中的结果数，得到B1、C1全被选中这一事件的概率，由对立事件的概率得到B1和C1不全被选中的概率．【解答】解：（1）由分层抽样知识知，喜欢看该节目的同学有50×=30，故不喜欢看该节目的同学有50﹣30=20人，于是将列联表补充如下：

喜欢看该节目不喜欢看该节目合计女生20525男生101525合计302050（2）∵K2=≈8.333＞7.879，∴在犯错误的概率不超过0.005的情况下，即有99.5%的把握认为喜欢看该节目与性别有关；（3）从10位男生中选出喜欢看韩剧、喜欢看新闻、喜欢看动画片的各1名，其一切可能的结果组成的基本事件如下：（A1，B1，C1），（A1，B1，C2），（A1，B2，C1），（A1，B2，C2），（A1，B3，C1），（A1，B3，C2），（A2，B1，C1），（A2，B1，C2），（A2，B2，C1），（A2，B2，C2），（A2，B3，C1），（A2，B3，C2），（A3，B1，C1），（A3，B1，C2），（A3，B2，C1），（A3，B3，C2），（A3，B2，C2），（A3，B3，C1），（A4，B1，C1），（A4，B1，C2），（A4，B2，C1），（A4，B2，C2），（A4，B3，C1），（A4，B3，C2），（A5，B1，C1），（A5，B1，C2），（A5，B2，C1），（A5，B2，C2），（A5，B3，C1），（A5，B3，C2）．基本事件的总数为30个；用M表示“B1、C1不全被选中”这一事件，则其对立事件为表示“B1、C1全被选中”这一事件，由于由（A1，B1，C1），（A2，B1，C1），（A3，B1，C1），（A4，B1，C1），（A5，B1，C1）5个基本事件组成，所以P（）==，由对立事件的概率公式得P（M）=1﹣P（）=1﹣=，即B1和C1不全被选中的概率为．21.已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且Sn，an，成等差数列．（1）证明数列{an}是等比数列；（2）若bn=log2an+3，求数列{}的前n项和Tn．参考答案：【考点】数列的求和．【分析】（1）由题意得2an=Sn+，易求，当n≥2时，Sn=2an﹣，Sn﹣1=2an﹣1﹣，两式相减得an=2an﹣2an﹣1（n≥2），由递推式可得结论；（2）由（1）可求=2n﹣2，从而可得bn，进而有=，利用裂项相消法可得Tn；【解答】解：（1）证明：由Sn，an，成等差数列，知2an=Sn+，当n=1时，有，∴，当n≥2时，Sn=2an﹣，Sn﹣1=2an﹣1﹣，两式相减得an=2an﹣2an﹣1（n≥2），即an=2an﹣1，由于{an}为正项数列，∴an﹣1≠0，于是有=2（n≥2），∴数列{an}从第二项起，每一项与它前一项之比都是同一个常数2，∴数列{an}是以为首项，以2为公比的等比数列．（2）解：由（1）知==2n﹣2，∴bn=log2an+3==n+1，∴==，∴Tn=（）+（）+…+（）==．22.已知函数f（x）=x2﹣ax+（3﹣a）lnx，a∈R．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x﹣y+1=0垂直，求a的值；（2）设f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：f（x1）+f（x2）＞﹣5．参考答案：【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用；6