山西省吕梁市楼街办第一中学2021年高三数学理模拟试卷含解析

山西省吕梁市楼街办第一中学2021年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.由不等式组确定的平面区域记为Ω1，不等式组确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】几何概型；简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何槪型的概率公式即可得到结论．【解答】解：平面区域Ω1，为三角形AOB，面积为，平面区域Ω2，为△AOB内的四边形BDCO，其中C（0，1），由，解得，即D（，），则三角形ACD的面积S==，则四边形BDCO的面积S=，则在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为，故选：D．2.平面向量与的夹角为，，则=

(

)

A.7B.

C.

D.3参考答案：

C略3.在的展开式中,常数项为15,则的一个值可以是(

)A.3

B.4 C.5

D.6参考答案：答案：D4.若即时起10分钟内，305路公交车和202路公交车由南往北等可能进入二里半公交站，则这两路公交车进站时间的间隔不超过2分钟的概率为（

）A．0.18 B．0.32 C．0.36 D．0.64参考答案：C设路车和路车的进站时间分别为、，“进站时间的间隔不超过分钟”为时间，则．图中阴影区域的面积，则，故选C．5.若复数z1，z2在复平面内对应的点关于y轴对称，且z1=2﹣i，则复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：B【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由z1=2﹣i，复数z1，z2在复平面内对应的点关于y轴对称，求出z2，然后代入，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数在复平面内对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：∵z1=2﹣i，复数z1，z2在复平面内对应的点关于y轴对称，∴z2=﹣2﹣i．∴==，则复数在复平面内对应的点的坐标为：（，），位于第二象限．故选：B．6.如图为从空中某个角度俯视北京奥运会主体育场“鸟巢”顶棚所得的局部示意图，在平面直角坐标系中，下列给定的一系列直线中（其中θ为参数，θ∈R），能形成这种效果的只可能是（）A．y=xsinθ+1 B．y=x+cosθC．xcosθ+ysinθ+1=0 D．y=xcosθ+sinθ参考答案：C【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由图形分析知转化为：原点到各圆周切线的距离为定值，再利用点到直线的距离公式即可；【解答】解：由图形分析知转化为：原点到各圆周切线的距离为定值．对A：d=，此时d不是固定值，故舍去；对B：d=，此时d不是固定值，故舍去；对C：d=1，正确；对D：d=，此时d不是固定值，故舍去；故选：C7.图中的图象所表示的函数的解析式为（

）A．（0≤x≤2）

B．

（0≤x≤2）

C．

（0≤x≤2）

D．（0≤x≤2）参考答案：B略8.设l，m，n为三条不同的直线，α为一个平面，下列命题中正确的个数是（）①若l⊥α，则l与α相交②若m?α，n?α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α③若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α④若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n．A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据空间线面位置关系的有关定理对四个命题逐个进行判断即可找出命题中正确的个数．【解答】解：由于直线与平面垂直是相交的特殊情况，故命题①正确；由于不能确定直线m，n的相交，不符合线面垂直的判定定理，命题②不正确；根据平行线的传递性．l∥n，故l⊥α时，一定有n⊥α．即③正确；由垂直于同一平面的两直线平行得m∥n，再根据平行线的传递性，即可得l∥n．即④正确．故正确的有①③④共3个．故选

C9.（2009安徽卷理）若集合则A∩B是

（A）

(B)（C）

(D)

参考答案：D解析：集合，∴选D10.已知函数

，则等于

（

）

不能确定参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.大衍数列，来源于中国古代著作《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．其前10项为：0、2、4、8、12、18、24、32、40、50．通项公式：an=如果把这个数列{an}排成右侧形状，并记A（m，n）表示第m行中从左向右第n个数，则A（10，4）的值为．参考答案：3612【考点】归纳推理．【分析】由题意，前9行，共有1+3+…+17==81项，A（10，4）为数列的第85项，即可求出A（10，4）的值．【解答】解：由题意，前9行，共有1+3+…+17==81项，A（10，4）为数列的第85项，∴A（10，4）的值为=3612．故答案为3612．12.设双曲线C：（a＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线C上，如果|PF1|﹣|PF2|=10，那么该双曲线的渐近线方程为

．参考答案：

【考点】双曲线的简单性质．【分析】由双曲线的定义可得，||PF1|﹣|PF2||=2a=10，求出a，再由由双曲线C：得b=4，即可求得双曲线的渐近线方程．【解答】解：由双曲线的定义可得，||PF1|﹣|PF2||=2a=10，∴a=5，由双曲线C：得b=4，∴该双曲线的渐近线方程为y=±x，故答案为：13.抛物线上一点M到焦点的距离等于4，则p=_____；点M的坐标为______.参考答案：2

【分析】根据焦点坐标求出，根据抛物线的定义求出点M坐标即可.【详解】因为焦点，所以设点，根据抛物线的定义得：，解得所以点的坐标为故答案为：2；【点睛】本题主要考查了求抛物线的标准方程以及考查了抛物线的定义，属于基础题.14.数列{an}，{bn}的前n项的和分别为An、Bn，数列{cn}满足：cn=anBn+bnAn﹣anbn．若A2009=41，B2009=49，则数列{cn}的前2009项的和C2009=

．参考答案：2009【考点】数列的求和．【专题】转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】cn=anBn+bnAn﹣anbn=（An﹣An﹣1）（Bn﹣bn）+（Bn﹣Bn﹣1）An=AnBn﹣An﹣1Bn﹣1．利用“累加求和”方法即可得出．【解答】解：cn=anBn+bnAn﹣anbn=（An﹣An﹣1）（Bn﹣bn）+（Bn﹣Bn﹣1）An=AnBn﹣An﹣1Bn﹣1．∴数列{cn}的前2009项的和C2009=（A2009B2009﹣A2008B2008）+（A2008B2008﹣A2007B2007）+…+（A2B2﹣A1B1）+A1B1=A2009B2009=41×49=2009．故答案为：2009．【点评】本题考查了“累加求和”、“裂项求和”方法、递推关系的应用，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．15.给出下列不等式

①；

②；

③；

④其中一定成立的是

参考答案：③正确略16.已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，执行如图所示的程序框图，输出的值是

．参考答案：

【知识点】程序框图．L1解析：因为，即过A点的切线斜率为，与直线垂直，可得=－1从而，，程序的算法中，，跳出循环时．故答案为6.【思路点拨】求导数，根据导数的几何意义，结合函数f（x）=x2﹣ax的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线x+3y=0垂直，建立方程，即可求出a的值，从而可求f（x）解析式，模拟运行程序，依次写出每次循环得到的S，k的值，当S=时，满足条件S＞，退出循环，输出k的值为6，从而得解．17.已知R,，，则M的最大值是

．参考答案：．试题分析：由柯西不等式式易知，所以即是，故应填入．考点：1．复数的概念；2．虚数的定义；3．纯虚数的定义．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）＝|x＋2|－|ax－2|．（1）当a＝2时，求不等式f（x）≥2x＋1的解集；（2）若不等式f（x）＞x－2对x∈（0，2）恒成立，求a的取值范围．参考答案：（1）当a＝2时，，当x≤－2时，由x－4≥2x＋1，解得x≤－5；当－2＜x＜1时，由3x≥2x＋1，解得x∈?；当x≥1时，由－x＋4≥2x＋1，解得x＝1．综上可得，原不等式的解集为{x|x≤－5或x＝1}．（2）因为x∈（0，2），所以f（x）＞x－2等价于|ax－2|＜4，即等价于，所以由题设得在x∈（0，2）上恒成立，又由x∈（0，2），可知，，所以－1≤a≤3，即a的取值范围为[－1，3]．19.(本题13分)已知椭圆:的离心率为,过右焦点且斜率为的直线交椭圆于两点,为弦的中点,为坐标原点.

(1)求直线的斜率；

(2)求证:对于椭圆上的任意一点,都存在,使得成立.参考答案：解:(1)设椭圆的焦距为,因为,所以有,故有.

从而椭圆的方程可化为:

①

易知右焦点的坐标为(),据题意有所在的直线方程为:.

②由①,②有:.

③设,弦的中点,由③及韦达定理有:

所以,即为所求.

………5分(2)显然与可作为平面向量的一组基底,由平面向量基本定理,对于这一平面内的向量,有且只有一对实数,使得等式成立.设,由(1)中各点的坐标有:,故.

………7分又因为点在椭圆上,所以有整理可得:

.

④

由③有:.所以

⑤又点在椭圆上,故有.

⑥将⑤,⑥代入④可得:.

………11分所以,对于椭圆上的每一个点,总存在一对实数,使等式成立,且.所以存在,使得.也就是:对于椭圆上任意一点,总存在,使得等式成立.

略20.将抛物线向上平移个单位长度后，抛物线过椭圆(＞＞0)的上顶点和左右焦点．（1）求椭圆方程；（2）若点满足如下条件：过点P且倾斜角为的直线与椭圆相交于C、D两点，使右焦点F在以CD线段为直径的圆外，试求的取值范围．参考答案：（1）抛物线的图象向上平移个单位长度后其解析式为，其与、轴的交点坐标分别为、，∴，，（2分）∴，故椭圆的方程为．（4分）（2）由题意可得直线的方程为，代入椭圆方程消去得，，（6分）又＞0，∴＜＜．（7分）设C、D分别为，，则，，∴，∵，，∴，（10分）∵点在圆的外部，∴＞0，即＞0，解得＜0或＞3，又∵＜＜，∴＜＜0或3＜＜．（12分）21.如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，点E是BC边的中点，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图2所示的几何体．（Ⅰ）求证：AB⊥平面ADC；（Ⅱ）若AD=1，AB=，求二面角B﹣AD﹣E的大小．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）只需证明DC⊥AB，由AD⊥AB，DC∩AD=D，得AB⊥平面ADC（Ⅱ）易得∴，建立空间直角坐标D﹣xyz，则D（0，0，0），B（，0，0），C（0，，0），E（，，0），A（），求出平面DAB的法向量，平面ADE的法向量，由cos，求得二面角B﹣AD﹣E的大小为600．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，又DB⊥DC，所以DC⊥平面ABD…因为AB?平面ABD，所以DC⊥AB…又AD⊥AB，DC∩AD=D，所以AB⊥平面ADC．…（Ⅱ）∵AB=，AD=1．∴DB=依题意△ABD∽△BDC，所以，即．∴

…如图所示，建立空间直角坐标D﹣xyz，则D（0，0，0），B（，0，0），C（0，，0），E（，，0），A（），，）．…由（Ⅰ）知平面DAB的法向量．…设平面ADE的法向量由，令x=，可取）．…所以cos=﹣．…由图可知二面角B﹣AD﹣E的平面角为锐角，所以二面角B﹣AD﹣E的大小为600．…

22.（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，实验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布．（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性：（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969