山西省吕梁市汾阳杏花中学2021-2022学年高二数学理上学期期末试题含解析

山西省吕梁市汾阳杏花中学2021-2022学年高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设函数f（x）=ex（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（）A．[） B．[） C．[） D．[）参考答案：D【考点】6D：利用导数研究函数的极值；51：函数的零点．【分析】设g（x）=ex（2x﹣1），y=ax﹣a，问题转化为存在唯一的整数x0使得g（x0）在直线y=ax﹣a的下方，求导数可得函数的极值，数形结合可得﹣a＞g（0）=﹣1且g（﹣1）=﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，解关于a的不等式组可得．【解答】解：设g（x）=ex（2x﹣1），y=ax﹣a，由题意知存在唯一的整数x0使得g（x0）在直线y=ax﹣a的下方，∵g′（x）=ex（2x﹣1）+2ex=ex（2x+1），∴当x＜﹣时，g′（x）＜0，当x＞﹣时，g′（x）＞0，∴当x=﹣时，g（x）取最小值﹣2，当x=0时，g（0）=﹣1，当x=1时，g（1）=e＞0，直线y=ax﹣a恒过定点（1，0）且斜率为a，故﹣a＞g（0）=﹣1且g（﹣1）=﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，解得≤a＜1故选：D【点评】本题考查导数和极值，涉及数形结合和转化的思想，属中档题．2.已知复数z满足z?（i﹣1）=2i，则z的共轭复数为（） A．1﹣i B． 1+i C． ﹣1+i D． ﹣1﹣i参考答案：B略3.已知函数f（x）=x﹣存在单调递减区间，且y=f（x）的图象在x=0处的切线l与曲线y=ex相切，符合情况的切线l（）A．有3条 B．有2条 C．有1条 D．不存在参考答案：D【分析】求出f（x）的导数，由题意可得f′（x）＜0在（﹣∞，+∞）有解，讨论a＜0，a＞0可得a＞0成立，求得切线l的方程，再假设l与曲线y=ex相切，设切点为（x0，y0），即有e=1﹣=（1﹣）x0﹣1，消去a得x0﹣﹣1=0，设h（x）=exx﹣ex﹣1，求出导数和单调区间，可得h（x）在（0，+∞）有唯一解，由a＞0，即可判断不存在．【解答】解：函数f（x）=x﹣的导数为f′（x）=1﹣e，依题意可知，f′（x）＜0在（﹣∞，+∞）有解，①a＜0时，f′（x）＜0在（﹣∞，+∞）无解，不符合题意；②a＞0时，f′（x）＞0即a＞e，lna＞，x＜alna符合题意，则a＞0．易知，曲线y=f（x）在x=0处的切线l的方程为y=（1﹣）x﹣1．假设l与曲线y=ex相切，设切点为（x0，y0），即有e=1﹣=（1﹣）x0﹣1，消去a得，设h（x）=exx﹣ex﹣1，则h′（x）=exx，令h′（x）＞0，则x＞0，所以h（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，当x→﹣∞，h（x）→﹣1，x→+∞，h（x）→+∞，所以h（x）在（0，+∞）有唯一解，则，而a＞0时，，与矛盾，所以不存在．故选：D．4.如果二次函数有两个不同的零点，那么的取值范围是．A．

B．

C．

D．参考答案：D5.已知复数（i为虚数单位），则复数z在复平面对应的点位于（

）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限参考答案：D【分析】先化简复数为代数形式，再确定对应的点所在象限.【详解】因为,对应的点为，位于第四象限.故选：D.【点睛】本题考查了复数的基本运算和复数的几何意义，属于基本题.6.如图所示的算法框图中，输出S的值为(

)A.10

B.12

C.15

D.18参考答案：B略7.函数的最小值为

A．10

B．9

C．6

D．4参考答案：A8.点M(x0，y0)是圆x2+y2=r2内圆心以外的一点，则直线x0x+y0y=r2与该圆的位置关系是（

）（A）相切

（B）相交

（C）相离

（D）相切或相交参考答案：C9.若复数

（为虚数单位)，是z的共轭复数，则在复平面内，复数对应的点的坐标为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C略10.已知是定义在上的非负可导函数,且满足.对任意正数,若,则必有A．

B．

C．

D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分16.已知二次函数（）的图象如图所示，有下列四个结论：

①

②

③

④，其中所有正确结论的序号有

参考答案：①②③略12.我校女篮6名主力队员在最近三场训练赛中投进的三分球个数如下表所示：队员i123456三分球个数图6是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框里应填

，输出的s=

．参考答案：，输出；略13.已知函数在处取得最大值，则参考答案：14.下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的所有图形的序号是

▲

参考答案：①④略15.复数的值是.参考答案：－1略16.半径为的圆的面积，周长，若将看作上的变量，则，①

①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为的球，若将看作上的变量，请你写出类似于①的式子:

(注：球体积公式为为球体半径)参考答案：略17.设p：x＜3，q：﹣1＜x＜3，则p是q成立的

条件（用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空）．参考答案：必要不充分【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；综合法；简易逻辑．【分析】由q?p，反之不成立．即可判断出结论．【解答】解：∵p：x＜3，q：﹣1＜x＜3，由q?p，反之不成立．∴p是q成立的必要不充分条件；故答案为：必要不充分．【点评】本题考查了充要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，，是的中点。（1）求异面直线与所成的角的余弦值；（2）证明：面面；&X&K]参考答案：（Ⅰ）证明：因由题设知，且与是平面内的两条相交直线，由此得面.又在面上，故面⊥面.

ks5u（Ⅱ）解：因

略19.(13分)如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，已知，为线段的中点．（1）求证：平面；（2）求二面角的平面角的余弦值.参考答案：证明：(Ⅰ)连结和交于，连结，为正方形，为中点，为中点，，平面，平面平面．(Ⅱ)平面，平面，，为正方形，，平面，平面，平面，

以为原点，以为轴建立如图所示的坐标系，则，，，平面，平面，，为正方形，，由为正方形可得：，设平面的法向量为，由，令，则设平面的法向量为，，由，令，则，设二面角的平面角的大小为，则二面角的平面角的余弦值为20.(本小题满分12分)

已知P：“直线x+y-m＝0与圆(x-1)2＋y2＝1相交”，q：“m2－4m<0”若p∪q为真命题，p为真命题，求m的取值范围。参考答案：解：∵P∪q为真命题，p为假命题，所以p假q真…………3分由若p为假，则D=4(1+m)2－4′2′m2≤0∴m≥1+或m≤1－………………8分若q为真，m2－4m<0，则0<m<4……10分∴p假q真时，1+≤m<4∴m的取值范围是[1+,4)…………12分21.(9分)已知函数．

（Ⅰ）若，求函数的极小值；

（Ⅱ）设函数，试问：在定义域内是否存在三个不同的自变量使得的值相等，若存在，请求出的范围，若不存在，请说明理由？参考答案：（Ⅰ）定义域为，由已知得，

………2分则当时，在上是减函数，当时，在上是增函数，

故函数的极小值为．

…………6分（Ⅱ）若存在，设，则对于某一实数方程在上有三个不等的实根，设，则函数的图象与x轴有三个不同交点，即在有两个不同的零点．……9分显然在上至多只有一个零点

则函数的图象与x轴至多有两个不同交点，则这样的不存在。

……13分22.如图所示，异面直线AB，CD互相垂直，AB=，BC=，CD=1，BD=2，AC=3，截面EFGH分别与BD，AD，AC，BC相交于点E，F，G，H，且AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH．（1）求证：BC⊥平面EFGH；（2）求二面角B﹣AD﹣C的正弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）推导出AB∥EF，CD∥HE，AB⊥BC，BC⊥DC，BC⊥EF，BC⊥EH，由此能证明BC⊥平面EFGH．（2）作，以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，Cz为z轴，建立空间直角坐标系C﹣xyz，利用向量法能求出二面角B﹣AD﹣C的正弦值．【解答】证明：（1）∵AB∥平面EFGH，又∵AB?平面ABD，平面ABD∩平面EFGH=EF，∴AB∥EF，同理CD∥HE，∵，∴AB2+BC2=AC2，∴AB⊥BC，同理BC⊥DC，∴BC⊥EF，同理BC⊥EH，又∵EF，EH是平面EFG