山西省吕梁市开府中学2023年高三数学文期末试卷含解析

山西省吕梁市开府中学2023年高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知定义在上的函数满足：，当时，．

下列四个不等关系中正确的是

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D2.若方程表示圆，则的取值范围是

（

）A．或

B．C．

D．参考答案：D略3.设z=1+i（i是虚数单位），O为坐标原点，若复数在复平面内对应的向量为，则向量的模是（）A．1 B．2 C． D．参考答案：D【考点】复数求模．【分析】利用复数的除法的运算法则化简复数，然后求解向量的模．【解答】解：z=1+i（i是虚数单位），复数=+（1+i）2=+2i=1+i．向量的模是，故选：D．4.已知圆C1：（x一2）2＋(y－3)2=1，圆C2:(x－3)2＋(y－4).2＝9，M，N分别是Cl，C2上的动点，P为x轴上的动点，则｜PM｜+｜PN｜的最小值为（）

A.－1B、6－2C、5－4D．

参考答案：C【知识点】圆与圆的位置关系及其判定．H4

解析：如图圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A（2，﹣3），半径为1，圆C2的圆心坐标（3，4），半径为3，由图象可知当P，C2，C3，三点共线时，|PM|+|PN|取得最小值，|PM|+|PN|的最小值为圆C3与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即：|AC2|﹣3﹣1=﹣4=﹣4=5﹣4．故选：C．【思路点拨】求出圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A，以及半径，然后求解圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即可求出|PM|+|PN|的最小值．5.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是

A．32

B．16+16

C．48

D．16+32

参考答案：B本题考查了三视图的相关知识，难度中等.由题意可知，该四棱锥是一个底面边长为4，高为2的正四棱锥，所以其表面积为，故选B。6.已知，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：B7.已知一个平面，为空间中的任意一条直线，那么在平面内一定存在直线b使得（

）A.//b

B.与b相交

C.与b是异面直线

D.⊥b参考答案：D略8.已知一个半径为的球中有一个各条棱长都相等的内接正三棱柱，则这正三棱柱的体积是（）A．18 B．16 C．12 D．8参考答案：A【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】设这正三棱柱棱长为2a，由勾股定理得7=a2+a2=a2．从而求出棱长为2a=2．由此能求出这正三棱柱的体积．【解答】解：∵一个半径为的球中有一个各条棱长都相等的内接正三棱柱，设这正三棱柱棱长为2a，如图，则AB=a，AO′=a．OO′=a，∴7=a2+a2=a2．整理，得a2=3，∴a=．∴棱长为2a=2．∴这正三棱柱的体积：V==18．故选：A．9.如图，一个几何体三视图的正视图和侧视图为边长为2锐角的菱形，，俯视图为正方形，则此几何体的内切球表面积为（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C略10.设a、b为实数，若复数=1+i则A．a=，b=

B．a=3，b=1

C．a=，b=

D．a=1，b=3参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数f（x）=，若存在x1，x2∈R，当0≤x1＜4≤x2≤12时，f（x1）=f（x2），则x1f（x2）的最大值是

．参考答案：【考点】分段函数的应用．【分析】由题意作函数f（x）=的图象，从而可得1≤x1≤3，x1f（x2）=﹣x13+4，记g（x1）=﹣x13+4，则g′（x1）=﹣3+8x1=﹣3x1（3x1﹣8），从而判断函数的单调性及最值，从而求得．【解答】解：由题意作函数f（x）=的图象如下，，结合图象可知，3≤﹣+4x1≤4，解得，1≤x1≤3，故x1f（x2）=x1f（x1）=x1（﹣+4x1）=﹣x13+4，记g（x1）=﹣x13+4，g′（x1）=﹣3+8x1=﹣3x1（3x1﹣8），故g（x1）在[1，]上是增函数，在（，3]上是减函数，故x1f（x2）的最大值是g（）=，故答案为：．12.已知数列{an}中，a1=1，a2=0，对任意正整数n，m(n>m)满足，则a119=

▲

．参考答案：答案：－113.展开式中的常数项是32，则实数

；参考答案：-2，由，所以。14.若在(－∞,+∞)不是单调函数，则a的范围是

．参考答案：(－∞,－1)∪(1,+∞)，由于函数在不是单调函数，因此，解得或.

15.已知（1，），（0，2），则与的夹角为_____．参考答案：【分析】由题意利用两个向量的夹角公式，求出与的夹角．【详解】∵（1，），（0，2），设与的夹角为θ，θ∈[0，π]，则cosθ，∴θ，故答案为：．【点睛】本题主要考查两个向量的数量积，两个向量的夹角公式，属于基础题．16.若△ABC的内角，满足成等差数列，则cosC的最小值是______．参考答案：

17.若两个等差数列、的前项和分别为、，对任意的都有

，则=

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知圆和轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为，求圆的方程。参考答案：略19.已知fn（x）=Cn0xn﹣Cn1（x﹣1）n+…+（﹣1）kCnk（x﹣k）n+…+（﹣1）nCnn（x﹣n）n，其中x∈R，n∈N*，k∈N，k≤n．（1）试求f1（x），f2（x），f3（x）的值；（2）试猜测fn（x）关于n的表达式，并证明你的结论．参考答案：【考点】数学归纳法；二项式定理的应用．【分析】（1）利用组合数公式直接计算；（2）根据（1）的计算猜想公式，根据组合数的性质进行化简，将条件向假设式配凑得出．【解答】解：（1）f1（x）=x﹣（x﹣1）=x﹣x+1=1，f2（x）=﹣+=x2﹣2（x2﹣2x+1）+（x2﹣4x+4）=2，f3（x）=x3﹣（x﹣1）3+（x﹣2）2﹣（x﹣3）3=x3﹣3（x﹣1）3+3（x﹣2）3﹣（x﹣3）3=6，（2）猜想：fn（x）=n!．证明：①当n=1时，猜想显然成立；②假设n=k时猜想成立，即fk（x）=Ck0xk﹣Ck1（x﹣1）k+（x﹣2）k+…+（﹣1）kCkk（x﹣k）k=k!，则n=k+1时，fk（x）=Cxk+1﹣（x﹣1）k+1+C（x﹣2）k+1+…+（﹣1）k+1C（x﹣k﹣1）k+1=xCxk﹣（x﹣1）（x﹣1）k+（x﹣2）C（x﹣2）k+…+（﹣1）k（x﹣k）（x﹣k）k+（﹣1）k+1C（x﹣k﹣1）k+1=x[Cxk﹣（x﹣1）k+C（x﹣2）k+…+（﹣1）k（x﹣k）（x﹣k）k]+[（x﹣1）k﹣2C（x﹣2）k+…+（﹣1）kk（x﹣k）k]+（﹣1）k+1C（x﹣k﹣1）k+1=x[Cxk﹣（+）（x﹣1）k+（）（x﹣2）k+…+（﹣1）k（+）（x﹣k）k]+（k+1）[（x﹣1）k﹣（x﹣2）k…+（﹣1）k+1（x﹣k）k]+（﹣1）k+1C（x﹣k﹣1）k+1=x[xk﹣Ck1（x﹣1）k+（x﹣2）k+…+（﹣1）kCkk（x﹣k）k]﹣x[（x﹣1）k+（x﹣2）k+…+（﹣1）k﹣1Ckk﹣1（x﹣k）k+（﹣1）kC（x﹣k﹣1）k]+（k+1）[（x﹣1）k﹣（x﹣2）k…+（﹣1）k+1（x﹣k）k+（﹣1）k（x﹣k﹣1）k]=xk!﹣xk!+（k+1）k!=（k+1）!．∴当n=k+1时，猜想成立．20.半径为R的圆外接于△ABC，且，（1）求角C的大小；（2）若求△ABC的面积.参考答案：解：（1）由……………．．3分（2）………12分21.近年来，手机已经成为人们日常生活中不可缺少的产品，手机的功能也日趋完善，已延伸到了各个领域，如拍照，聊天，阅读，缴费，购物，理财，娱乐，办公等等，手机的价格差距也很大，为分析人们购买手机的消费情况，现对某小区随机抽取了200人进行手机价格的调查，统计如下：年龄

价格5000元及以上3000元﹣4999元1000元﹣2999元1000元以下45岁及以下122866445岁以上3174624（Ⅰ）完成关于人们使用手机的价格和年龄的2×2列联表，再判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下，认为人们使用手机的价格和年龄有关？（Ⅱ）从样本中手机价格在5000元及以上的人群中选择3人调查其收入状况，设3人中年龄在45岁及以下的人数为随机变量X，求随机变量X的分布列及数学期望．附K2=P（K2≥k）0.050.0250.0100.001k3.8415.0246.63510.828参考答案：【考点】离散型随机变量及其分布列；独立性检验的应用．【分析】（1）分别计算出年龄在45岁上下的人数，求出K2的值，判断在犯错概率不超过0.025的前提下认为“人们使用手机的价格和年龄有关”；（2）先确定X的取值，分别求其概率，求出分布列和数学期望．【解答】解：（1）关于人们使用手机的价格和年龄的2×2列联表如下：

3000元及以上3000元以下总计45岁及以下407011045岁以上207090总计60140200根据2×2列联中的数据可得K2=≈4.714＜5.024，∴在犯错概率不超过0.025的前提下，不能认为“人们使用手机的价格和年龄有关”；（2）由表可知手机价格在5000元及其以上的人数为15，从中选择3人，年龄在45岁及以下的人数X的可能取值为：0，1，2，3，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，∴X的分布列为：X0123P∴E（X）=0×+1×+2×+3×=22.（12分）（2015?哈尔滨校级二模）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（I）求角A的大小；（Ⅱ）若函数的值域．参考答案：【考点】：余弦定理；正弦函数的图象．【专题】：解三角形．【分析】：（I）由，利用正弦定理可得2sinBcosA﹣sinC