山东省青岛市第五十七中学2021年高三数学理下学期期末试卷含解析

山东省青岛市第五十七中学2021年高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，则只需将的图象（

）.A.向右平移个长度单位

B.向右平移个长度单位C.向左平移个长度单位

D.向左平移个长度单位

参考答案：A略2.已知直线与平面满足，则下列判断一定正确的是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D因为，则；同时，则，所以D选项是正确的；对于A选项中的直线与平面的位置关系无法判断，B选项中的直线也可能落在平面内；C选项中的平面与平面也可能相交，故答案选D．3.某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；……；第六组，成绩大于等于18秒且小于19秒。右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图。设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y，则从频率分布直方图中可分析出x和y分别为（

）

A．0.9,35

B．0.9,45

C．0.1,35

D．0.1,45

参考答案：答案：A4.如果复数的实部与虚部相等，则b的值为（）A.1

B.-6

C.3

D.-9参考答案：D考查复数令，展开解得a=3，b=-3a，故选D5.在长为12厘米的线段上任取一点，现作一矩形,邻边长分别等于线段的长,则该矩形面积大于20平方厘米的概率为（）A.

B.

C.

D.参考答案：C6.已知直线：，曲线：，则“”是“直线与曲线有公共点”的(

▲

)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A7.命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是

(

)A．所有不能被2整除的整数都是偶数

B．所有能被2整除的整数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的整数是偶数

D．存在一个能被2整除的整数不是偶数参考答案：D略8.已知集合，,则()A.[2,+∞) B.[2,3)∪(3,+∞)

C.(1,+∞)

D.[1,3)∪(3,+∞)参考答案：B略9.已知复数z=，则z=（）A．1﹣i B．1+i C．2+2i D．2﹣2i参考答案：A【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题；规律型；数系的扩充和复数．【分析】直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可．【解答】解：复数z==1﹣i．故选：A．【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，考查计算能力．10.若对任意的实数a，函数都有两个不同的零点，则实数b的取值范围是（）A.(－∞,－1]

B.(－∞,0)

C.(0,1)

D.(0,+∞)参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知正四棱锥的底面边长是6，高为，这个正四棱锥的则面积为_______.参考答案：48略12.已知抛物线的准线过双曲线的右焦点，则双曲线的离心率为

.参考答案：2抛物线的焦点坐标为，准线方程为。则。所以，解得，所以双曲线的离心率为。13.设依次为的内角所对的边，若，且，则_____________

参考答案：201114.在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表.观察表中数据

的特点，用适当的数填入表中空白（

）内年龄（岁）30

35

40

45

50

55

60

65收缩压（水银柱

毫米）110

115

120

125

130

135（

）145舒张压（水银柱

毫米）70

73

75

78

80

83

（

）88参考答案：答案：（140）（85）15.已知函数，下列命题正确的是

。（写出所有正确命题的序号）①是奇函数；

②对定义域内任意x，<1恒成立；

③当

时，取得极小值；④；⑤当x>0时，若方程||=k有且仅有两个不同的实数解·cos=－sin。参考答案：②④⑤略16.运行如图所示的伪代码，则输出的结果为

．参考答案：917.若奇函数在上单调递减，则不等式的解集是

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）已知函数f(x)＝ax2＋bx－lnx（a＞0，b∈R）．（Ⅰ）设a＝1，b＝－1，求f(x)的单调区间；（Ⅱ）若对任意x＞0，f(x)≥f(1)．试比较lna与－2b的大小．参考答案：【知识点】导数最值的应用；利用导数研究函数的单调性．B12B3【答案解析】（Ⅰ）单调递减区间是(0，1)，单调递增区间是(1，＋∞)．（Ⅱ）lna＜－2b．解析：（Ⅰ）由f(x)＝ax2＋bx－lnx，x∈(0，＋∞)，得f′(x)＝．……………2分∵a＝1，b＝－1，∴（x＞0）．………………3分令f′(x)＝0，得x＝1．当0＜x＜1时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；………………4分当x＞1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．∴f(x)的单调递减区间是(0，1)，单调递增区间是(1，＋∞)．…6分（Ⅱ）由题意可知，f(x)在x＝1处取得最小值，即x＝1是f(x)的极值点，∴f′(1)＝0，∴2a＋b＝1，即b＝1－2a．………………8分令g(x)＝2－4x＋lnx（x＞0），则g′(x)＝．令g′(x)＝0，得x＝．

………………10分当0＜x＜时，g′(x)＞0，g(x)单调递增；当x＞时，g′(x)＜0，g(x)单调递减．………………12分∴g(x)≤g()＝1＋ln＝1－ln4＜0．∴g(a)＜0，即2－4a＋lna＝2b＋lna＜0，故lna＜－2b．……………………14分【思路点拨】（Ⅰ）a=1，b=-1时，得f（x）=x2-x-lnx，从而f′(x)＝，进而f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增；（Ⅱ）由题意当a＞0时，x＝1是f(x)的极值点，再结合对于任意x＞0，f（x）≥f（1）．可得出a，b的关系，再要研究的结论比较lna与-2b的大小构造函数g（x）=2-4x+lnx，利用函数的最值建立不等式即可比较大小19.（本小题满分10分）如图，在直三棱术中，,=4,点D是BC的中点。（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求平面与平面所成二面角的正弦值。参考答案：20.（本小题满分12分）如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴相交于两点（点在点的下方），且．（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）过点任作一条直线与椭圆相交于两点，连接，求证：．参考答案：解：（Ⅰ）设圆的半径为（），依题意，圆心坐标为.∵∴，解得．2分∴圆的方程为．4分（Ⅱ）把代入方程，解得或，即点．6分（1）当轴时，可知=0．（2）当与轴不垂直时，可设直线的方程为．联立方程，消去得，．8分设直线交椭圆于两点，则，．∴若，即10分∵，∴．12分21.已知向量=(cosx，－1)，=(sinx，cos2x)．（1）当x=时，求·的值；（2）若x∈[0，]，且·=，求cos2x的值．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）求出向量的坐标，再计算数量积；（2）化简，得出cos（2x﹣）=，再利用和角公式计算cos2x．【解答】解：（1）当x=时，=（，﹣1），=（，），∴=﹣=．（2）=sinxcosx﹣cos2x=sin2x﹣cos2x﹣=sin（2x﹣）﹣，若=﹣，则sin（2x﹣）=，∵，∴2x﹣∈[﹣，]，∴cos（2x﹣）=．∴cos2x=cos（2x﹣+）=cos（2x﹣）cos﹣sin（2x﹣）sin=﹣=．22.（本题满分12分）

已知函数（1）试确定t的取值范围，使得函数上为单调函数；（2）求证：；（3）求证：对于任意的，并确定这样的的个数.参考答案：【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．B12

【答案解析】（1）（2）见解析（3）见解析解析：（1）因为……1分

（2）证：因为处取得极小值e

从而当时，，即------------------------5分

（3）证：因为，在上有解，并讨论解的个数。-------------------7分。①当上有解，且只有一解

………………8分