2022山西省大同市天镇县高级职业中学高三数学理下学期期末试卷含解析

2022山西省大同市天镇县高级职业中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数，将的图象上的每一点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2倍，然后把所得的图象沿着轴向左平移个单位，这样得到的是的图象，那么函数的解析式是(

)A.

B.C.

D.参考答案：C2.设函数f（x）是R上的奇函数，f（x+π）=﹣f（x），当0≤x≤时，f（x）=cosx﹣1，则﹣2π≤x≤2π时，f（x）的图象与x轴所围成图形的面积为（）A．4π﹣8 B．2π﹣4 C．π﹣2 D．3π﹣6参考答案：A【考点】6G：定积分在求面积中的应用．【分析】根据函数的奇偶性得到函数的周期是2π，分别求出函数的解析式，利用积分的应用即可得到结论【解答】解：由f（x+π）=﹣f（x）得f（x+2π）=f（x），即函数的周期是2π，若﹣≤x≤0，则0≤﹣x≤，即f（﹣x）=cos（﹣x）﹣1=cosx﹣1，∵f（x）是R上的奇函数，∴f（﹣x）=cosx﹣1=﹣f（x），即f（x）=1﹣cosx，﹣≤x≤0，∵函数的周期是2π，∴当＜x≤2π时，﹣＜x﹣2π≤0，即f（x）=f（x﹣2π）=1﹣cos（x﹣2π）=1﹣cosx，当＜x≤π时，﹣＜x﹣π≤0，即f（x）=﹣f（x﹣π）=cos（x﹣π）﹣1=﹣cosx﹣1，当π＜x≤时，0≤x﹣π≤，即f（x）=﹣f（x﹣π）=﹣cos（x﹣π）+1=cosx+1，综上：f（x）=，则由积分的公式和性质可知当﹣2π≤x≤2π时，f（x）的图象与x轴所围成图形的面积S=2=4=8=8||=8（x﹣sinx）|=4π﹣8．故选A．3.抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A是C上一点，若A到F的距离是A到y轴距离的两倍，且三角形OAF的面积为1（O为坐标原点），则p的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】根据A是C上一点，若A到F的距离是A到y轴距离的两倍，且三角形OAF的面积为1，建立方程，即可求出p的值．【解答】解：设A（a，b），则b2=2pa，=1，a+=2a，解得p=2，故选B．4.若{an}为等差数列，Sn是其前n项和，且，则tana6的值为(

) A． B． C． D．参考答案：B考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：根据所给的前11项的和，根据前11项的和等于11倍的第六项，写出第六项的结果是，求出第六项的正切值是﹣，得到结果．解答： 解：∵∴∴，故选B．点评：本题考查等差数列的性质，考查特殊角的正切值，是一个综合题目，这种题目是综合数列和三角的题目，是一种常见的组合，要引起注意．5.已知全集U=R，集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|x﹣1≥0}，那么A∩?UB=（）A．{x|0＜x＜1} B．{x|x＜0} C．{x|x＞2} D．{x|1＜x＜2}参考答案：A考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：分别求出A与B中不等式的解集，确定出A与B，找出A与B补集的交集即可．解答：解：由A中的不等式变形得：x（x﹣2）＜0，解得：0＜x＜2，即A={x|0＜x＜2}，由B中的不等式解得：x≥1，即B={x|x≥1}，∵全集U=R，∴?UB={x|x＜1}，则A∩（?UB）={x|0＜x＜1}．故选：A．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键6.直线与抛物线和圆从左到右的交点依次为则的值为A．16

B．4

C．

D．参考答案：C略7.若实数满足，则的最小值为

A.

B.

C.

D.参考答案：B8.已知实数x，y满足约束条件，则的最小值为(

）A.-6 B.-4 C.-3 D.-1参考答案：A【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数z＝﹣2x+y的最小值．【详解】由z＝﹣2x+y，得y＝2x+z，作出不等式对应的可行域（阴影部分），平移直线y＝2x+z，由平移可知当直线y＝2x+z，经过点A时，直线y＝2x+z的截距最大，此时z取得最小值，由，解得A（3，0）．将A的坐标代入z＝﹣2x+y，得z＝﹣6，即目标函数z＝﹣2x+y的最小值为﹣6．故选：A．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．

9.已知，是不共线的向量，，λ，μ∈R，那么A、B、C三点共线的充要条件为

(

)A．λ＋μ＝2

B．λ－μ＝1C．λμ＝－1

D．λμ＝1参考答案：D略10.设的值

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若关于实数的不等式无解,则实数的取值范围是_________参考答案：（-∞，8]12.若(a＋1)＜(3－2a)，则a的取值范围是__________．参考答案：【知识点】其他不等式的解法E1【答案解析】（）解析：解：∵，函数y=是（0，+∞）上的减函数，∴a+1＞3﹣2a＞0，解得，故答案为（）【思路点拨】由题意利用函数y=是（0，+∞）上的减函数，可得a+1＞3﹣2a＞0，由此解得实数a的取值范围13.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程是（参数tR），圆C的参数方程是（参数θR），则圆C的圆心到直线l的距离为____________．参考答案：14.设函数的定义域为，若存在非零实数使得对于任意，有，且，则称为上的高调函数.如果定义域是的函数为上的高调函数，那么实数的取值范围是▲

.

参考答案：略15.已知为等差数列，为其前项和.若，，则

；=

.参考答案：1，，所以，。16.设表示关于的不等式的正整数解的个数，则数列的通项公式=

．参考答案：17.已知无穷数列具有如下性质:①为正整数；②对于任意的正整数,当为偶数时,;当为奇数时,.在数列中，若当时，，当时，（，），则首项可取数值的个数为

（用表示）

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用＝平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用＝）参考答案：解析：设楼房每平方米的平均综合费为f（x）元，则…………….……….1分

….6分

令

得

当

时，

；当时，因此当时，f（x）取最小值；……………11分答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层．………………..12分19.（本小题满分14分）如图所示，平面平面，且四边形为矩形，四边形为直角梯形，，，，．（1）求证平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；（3）求直线与平面所成角的余弦值．参考答案：（法一）（1）取中点为，连接、，且，，则且．

…………2分

四边形为矩形，且，且，，则．

平面，平面，

平面．

……………………4分（2）过点作的平行线交的延长线于，连接，，，，

，，，四点共面．四边形为直角梯形，四边形为矩形，，，又，平面，，又平面平面，为平面与平面所成锐二面角的平面角．……7分，．即平面与平面所成锐二面角的余弦值为．

……9分（3）过点作于，连接，根据（2）知，，，四点共面，，，，又，平面，

，则．又，平面．直线与平面所成角为．

……………11分，，，，，．即直线与平面所成角的余弦值为．

……………14分（法二）（1）四边形为直角梯形，四边形为矩形，，，又平面平面，且平面平面， 平面．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系．根据题意我们可得以下点的坐标：，，，，，，则，．

………………2分，，为平面的一个法向量．又，平面．

…………4分（2）设平面的一个法向量为，则，，，

取，得．

……………6分平面，平面一个法向量为，设平面与平面所成锐二面角的大小为，则．因此，平面与平面所成锐二面角的余弦值为．…9分（3）根据（2）知平面一个法向量为，，

，………12分设直线与平面所成角为，则．因此，直线与平面所成角的余弦值为．

………14分20.（14分）如图，在三棱锥中，，，平面平面.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求的长度；（Ⅲ）求二面角的大小.参考答案：解析：解法一：（Ⅰ）证明：

平面平面，平面平面，且，.

…………..3分，.

…………..4分（Ⅱ）解：，.，.

…7分平面，，.

…………..9分（Ⅲ）解：作于点，于点，连结.

平面平面，，

根据三垂线定理得，是二面角的平面角.

..12分在中，，易知，

，

……..13分即二面角的大小是.

…..14分解法二：作于点，

平面平面，.过点作的平行线，交于点.如图，以为原点，直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系.

…………..2分，.，.

..4分（Ⅰ）证明：

.

…..7分（Ⅱ）解：

，即线段的长度为.

………..10分（Ⅲ）解：作于点，连结.，根据三垂线定理得，是二面角的平面角.

……..12分在中，，

从而，，

…..13分即二面角的大小是.

…..14分21.（本小题满分13分）设实数，整数，.（I）证明：当且时，；（Ⅱ）数列满足，，证明：．参考答案：（Ⅰ）证：用数学归纳法证明①当时，，原不等式成立．②假设时，不等式成立，当时，

．所以时，原不等式也成立．综合①②可得，当时，对一切整数，不等式均成立．（Ⅱ）证法1：先用数学归纳法证明．①当时，由题设知成立．②假设（）时，不等式成立．由易知，．当时，．由得．由（Ⅰ）中的结论得，．因此，即.所以时，不等式也成立．综合①、②可得，对一切正整数，不等式均成立．再由可得，即．综上所述，．证法2：设，则，并且．由此可得，在[)上单调递增，因而，当时，．①当时，由，即可知，并且，从而．故当时，不等式成立．②假设（）时，不等式成立，则当时，，即有．所以，时，原不等式也成立．综合①②可得，对一切正整数，不等式均成立．22.一家公司计划生产某种小型产品的月固定成本为1万元，每生产1万件需要再投入2万元．设该公司一个月内生产该小型产品万件并全