2022山西省运城市盐湖区实验中学高三数学理上学期期末试题含解析

2022山西省运城市盐湖区实验中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数，若，则实数m的取值范围是（

）A．(－1,0)∪(1,+∞) B．(－∞,－1)∪(1,+∞)C．(－1,0)∪(0,1) D．(－∞,－1)∪(0,1)参考答案：A由函数的解析式可得函数为奇函数，绘制函数图像如图所示，则不等式，即，即，观察函数图像可得实数的取值范围是．故选A．2.如图是函数在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将的图象上所有的点

（

）

A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变

B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变

C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变

D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变

参考答案：A略3.函数的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为（）

A．B．1C．2D．参考答案：A根据积分的应用可求面积为，选A.4.某市1路公交车每日清晨6：30于始发站A站发出首班车，随后每隔10分钟发出下一班车.甲、乙二人某日早晨均需从A站搭乘该公交车上班，甲在6：35-6：55内随机到达A站候车，乙在6：50-7：05内随机到达A站候车，则他们能搭乘同一班公交车的概率是（

）A．

B．

C.

D．参考答案：A5.集合A＝｛x|＜0｝，B＝｛x||x－b|＜a，若“a＝1”是“A∩B≠”的充分条件，

则b的取值范围是

（

） （A）－2≤b＜0 （B）0＜b≤2（C）－3＜b＜－1（D）－1≤b＜2参考答案：D6.已知命题，则为（

）A．

B．C．

D．参考答案：D考点：全称命题的否定.7.定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=4f（x）．x∈[0，2）时，f（x）=，若x∈[﹣2，0）对任意的t∈[1，2）都有f（x）≥成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2] B．[12，+∞） C．（﹣∞，6] D．[6，+∞）参考答案：B【考点】抽象函数及其应用；分段函数的应用．【分析】求出x∈[﹣2，0），f（x）的最小值为﹣，则对任意的t∈[1，2）都有﹣≥成立，从而对任意的t∈[1，2）都有2a≥t3+4t2．求出右边的范围，即可求出实数a的取值范围．【解答】解：设x∈[﹣2，0），则x+2∈[0，2），∵x∈[0，2）时，f（x）=的最小值为﹣，∴x∈[﹣2，0），f（x）的最小值为﹣，∴对任意的t∈[1，2）都有﹣≥成立，∴对任意的t∈[1，2）都有2a≥t3+4t2．令y=t3+4t2，则y′=3t2+8t＞0，∴y=t3+4t2在[1，2）上单调递增，∴5≤y＜24，∴2a≥24，∴a≥12，故选：B．8.已知数列的前项和，正项等比数列中，，，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D9.如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，一个内角为的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为A.

B.

C.

D.参考答案：D10.设O在△ABC内部，且则△ABC的面积与△AOC的面积之比为

（

）

A．3

B．4

C．5

D．6参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线被圆x2+y2﹣6x+5=0截得的弦长为2，则离心率e=．参考答案：【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的方程的渐近线方程，求得圆的圆心和半径，运用点到直线的距离公式和弦长公式，解方程可得a2=2b2，由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，圆x2+y2﹣6x+5=0即为（x﹣3）2+y2=4，圆心为（3，0），半径为2，圆心到渐近线的距离为d=，由弦长公式可得2=2，化简可得a2=2b2，即有c2=a2+b2=a2，则e==．故答案为：．12.函数f（x）在[a，b]上有意义，若对任意x1、x2∈[a，b]，有f（）≤[f（x1）+f（x2）]，则称f（x）在[a，b]上具有性质P，现给出如下命题：①f（x）=在[1，3]上具有性质P；②若f（x）在区间[1，3]上具有性质P，则f（x）不可能为一次函数；③若f（x）在区间[1，3]上具有性质P，则f（x）在x=2处取得最大值1，则f（x）=1，x∈[1，3]；④若f（x）在区间[1，3]上具有性质P，则对任意x1，x2，x3，x4∈[1，3]，有f（）≤[f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）]．其中真命题的序号为

．参考答案：①③④【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】根据f（x）在[a，b]上具有性质P的定义，结合函数凸凹性的性质，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：①f（x）=在[1，3]上为减函数，则由图象可知对任意x1，x2∈[1，3]，有ff（）≤[f（x1）+f（x2）]成立，故①正确：②不妨设f（x）=x，则对任意x1，x2∈[a，b]，有f（）≤[f（x1）+f（x2）]，故②不正确，③在[1，3]上，f（2）=f[]≤[f（x）+f（4﹣x）]，∵F（x）在x=2时取得最大值1，∴，∴f（x）=1，即对任意的x∈[1，3]，有f（x）=1，故③正确；∵对任意x1，x2，x3，x4∈[1，3]，f（）≤[f（x1）+f（x2）]，f（）≤[f（x3）+f（x4）]，∴f（）≤（f（）+f（））≤[f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）]；即f（）≤[f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）]．故④正确；故答案为：①③④13.定义运算a※b为.如1※2=1，则函数※的值域为

；若a※b为,如1※2=2，则函数※的值域为

.参考答案：14.已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么函数f（x）的图象最有可能的是（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】由导函数图象可知，f（x）在（﹣∞，﹣2），（0，+∞）上单调递减，在（﹣2，0）上单调递增；从而得到答案．【解答】解：由导函数图象可知，f（x）在（﹣∞，﹣2），（0，+∞）上单调递减，在（﹣2，0）上单调递增，故选A．15.已知，则

。参考答案：16.已知线段两个端点,直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围为________________.参考答案：【知识点】直线的斜率

H1【答案解析】作出如下的示意图：

要使直线与线段相交，直线的斜率需满足，由已知：，则的斜率的取值范围为，故答案为：【思路点拨】画出示意图，由图可知满足条件的斜率的取值范围是，由直线的斜率公式计算出即可。17.函数在

处取得极小值.参考答案：2

本题主要考查函数极值的求解，难度较小。.

因为，所以得，且时，，递减，当时，，递增，所以x=2是取得极小值.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为,右顶点为,设点.（1）求该椭圆的标准方程；（2）若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程。参考答案：解析：(1)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=,则半短轴b=1.

又椭圆的焦点在x轴上,∴椭圆的标准方程为(2)设线段PA的中点为M(x,y),点P的坐标是(x0,y0),由得由,点P在椭圆上,得∴线段PA中点M的轨迹方程是19.如图，PA⊥矩形ABCD所在平面，，M、N分别是AB、PC的中点.（1）求证：平面ANB⊥平面PCD；（2）若直线PB与平面PCD所成角的正弦值为，求二面角的正弦值.参考答案：（1）见解析（2）【分析】（1）通过证明面，可证得面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，设由向量的夹角公式先求解线面角得，再利用面的法向量求解二面角即可.【详解】如图，取中点，连接，.（1）证明：∵，，为中点，∴，，∴是平行四边形，，又∵，，∴面，∴面面.∵，为中点，面，∴面，∵面，∴平面平面.（2）建立如图所示坐标系，，，，，，，.由（1）知面，∴，.∵直线与平面所成角的正弦值为，∴由得.设为面的法向量，则，.由得，，∵面，，设二面角为，为锐角，则，∴.【点睛】本题主要考查了线面和面面垂直的判断及性质，利用空间直线坐标系，通过空间向量求解线面角及二面角，属于中档题.20.（本题满分14分）设，函数．（1）当时，求在内的极大值；（2）设函数，当有两个极值点时，总有，求实数的值.（其中是的导函数）参考答案：（1）1;（2）（1）当时，，

则，

令，则，

显然在内是减函数，又因，故在内，总有，

所以在上是减函数

又因，

所以当时，，从而，这时单调递增，当时，，从而，这时单调递减，所以在的极大值是．

……………(6分)（2）由题可知，

则．

根据题意，方程有两个不同的实根，（），

所以，即，且，因为，所以.

由，其中，可得

注意到，所以上式化为，即不等式对任意的恒成立

………………(9分)（i）当时，不等式恒成立，；（ii）当时，恒成立，即．令函数，显然，是上的减函数，所以当时，，所以；

（iii）当时，恒成立，即．由（ii），当时，，所以

综上所述，．

………………(14分)

21.空气质量指数PM2.5(单位：μg/m3)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，解代表空气污染越严重：PM2.5日均浓度0~3535~7575~115115~150150~250>250空气质量级别一级二级三级四级五级六级空气质量类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染

某市2013年3月8日—4月7日(30天)对空气质量指数PM2.5进行检测，获得数据后整理得到如下条形图：

(1)估计该城市一个月内空气质量类别为良的概率；

(2)从空气质量级别为三级和四级的数据中任取2个，求至少有一天空气质量类别为中度污染的概率.

参考答案：略22.（12分）设函数为奇函数，其图象在点处的切线与直线垂直，且在x＝－1处取得极值．(Ⅰ)求a，，的值；（Ⅱ）求函数在上的最大值和最小值。参考答案：解析：（Ⅰ）∵为奇函数，∴即∴

-----------1分∵的最小值为，