2021-2022学年福建省福州市长乐华侨中学高二数学理上学期期末试题含解析

2021-2022学年福建省福州市长乐华侨中学高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数的图象分别与直线交于两点,则的最小值为(

)

A.2

B.

C.

D.参考答案：B2.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的体积为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略3.已知是椭圆的两焦点，过点的直线交椭圆于点，若，则（

）A.3

B.8

C.13

D.16参考答案：A4.二维空间中圆的一维测度（周长），二维测度（面积），观察发现；三维空间中球的二维测度（表面积），三维测度（体积），观察发现.则由四维空间中“超球”的三维测度，猜想其四维测度（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】因为，，由此类比可得，，从而可得到结果.【详解】因为二维空间中圆的一维测度（周长），二维测度（面积），观察发现；三维空间中球的二维测度（表面积），三维测度（体积），观察发现.所以由四维空间中“超球”的三维测度，猜想其四为测度W，应满足，又因为，所以，故选A.【点睛】本题主要考查类比推理以及导数的计算.5.函数（）的部分图象如图所示，则函数表达式为()A．

B．C．

D．参考答案：B6.双曲线的两条渐近线所成的锐角是（

）A．30°

B．45°

C．60°

D．75°参考答案：C7.已知变量满足则的最大值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：D略8.b=0是函数为偶函数的（

）条件

A．充分而不必要B．必要而不充分C．充分必要

D．既不充分也不必要参考答案：C略9.若锐角中，，则的取值范围是

（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C10.复数，则在复平面内的点位于第（

）象限。A．一

B.二

C.三

D.四参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.曲线上的点到直线的最短距离是___________参考答案：略12.已知四面体中，且，则异面直线与所成的角为________.参考答案：13.函数f(x)＝|log3x|在区间[a，b]上的值域为[0,1]则b－a的最小值为_______参考答案：2/3略14.焦点在直线上，且顶点在原点的抛物线标准方程为

_____

参考答案：或

略15.已知R，复数为纯虚数（i为虚数单位），则

．参考答案：1略16.已知函数,其中是实数.设,为该函数图象上的两点,且.若函数的图象在点处的切线重合,则的取值范围是

参考答案：17.已知一个三角形的三边长分别是5，5，6，一只蚂蚁在其内部爬行，若不考虑蚂蚁的大小，则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2的概率是

．参考答案：1﹣【考点】几何概型．【专题】概率与统计．【分析】分别求出对应事件对应的面积，利用几何概型的概率公式即可得到结论．【解答】解：∵三角形的三边长分别是5，5，6，∴三角形的高AD=4，则三角形ABC的面积S=，则该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2，对应的区域为图中阴影部分，三个小扇形的面积之和为一个整圆的面积的，圆的半径为2，则阴影部分的面积为S1=12﹣=12﹣2π，则根据几何概型的概率公式可得所求是概率为，故答案为：1﹣．【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，根据条件求出相应的面积是解决本题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，向量，且。（1）求角C；（2）若，△ABC的面积为，求△ABC内切圆的半径。参考答案：（1）（2）【分析】（1）由得出，利用正弦定理边角互化的思想，以及内角和定理将转化为，并利用两角和的正弦公式求出的值，于此得出角的值；（2）由三角形的面积公式求出，结合余弦定理得出的值，可求出的值，再利用等面积法得出，即可得出的内切圆半径的值.【详解】（1）由得，由正弦定理，，.在中，，；（2）由等面积法：得.由余弦定理，，，从而，.【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，以及三角形面积的应用，考查三角形内切圆半径的计算，在计算内切圆的半径时，可利用等面积法得出（其中为三角形的面积，为三角形的周长），考查运算求解能力，属于中等题。19.设展开式中仅有第1010项的二项式系数最大.（1）求n；（2）求；（3）求.参考答案：（1）2018；（2）0；（3）4036【分析】（1）由二项式系数的对称性，可得展开式的项数，且1＝1010，解得n．（2）令x＝1，可得a0+a1+a2+…+a2018．（3）给原式两边同时求导后，再令，即可得出．【详解】（1）由二项式系数的对称性，得展开式共计2019项，，.（2）的展开式中各项系数和为，令，可得，再令，可得，所以.（3）给原式两边同时求导得到当，令，得.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，关键是分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值进行求解，考查了分析推理能力与计算能力，属于中档题．20.如图1，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠ABC=60°，E是BC的中点．将△ABE沿AE折起后如图2，使二面角B﹣AE﹣C成直二面角，设F是CD的中点，P是棱BC的中点．（1）求证：AE⊥BD；（2）求证：平面PEF⊥平面AECD；（3）判断DE能否垂直于平面ABC，并说明理由．参考答案：【考点】平面与平面垂直的判定；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）证明AE⊥BD，只需证明AE⊥平面BDM，利用△ABE与△ADE是等边三角形，即可证明；（2）证明平面PEF⊥平面AECD，只需证明PN⊥平面AECD，只需证明BM⊥平面AECD即可；（3）DE与平面ABC不垂直．假设DE⊥平面ABC，则DE⊥AB，从而可证明DE⊥平面ABE，可得DE⊥AE，这与∠AED=60°矛盾．【解答】（1）证明：设AE中点为M，连接BM，∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠ABC=60°，E是BC的中点，∴△ABE与△ADE都是等边三角形．∴BM⊥AE，DM⊥AE．∵BM∩DM=M，BM、DM?平面BDM，∴AE⊥平面BDM．∵BD?平面BDM，∴AE⊥BD．（2）证明：连接CM交EF于点N，∵ME∥FC，ME=FC，∴四边形MECF是平行四边形，∴N是线段CM的中点．∵P是BC的中点，∴PN∥BM．∵BM⊥平面AECD，∴PN⊥平面AECD．又∵PN?平面PEF，∴平面PEF⊥平面AECD．（3）解：DE与平面ABC不垂直．证明：假设DE⊥平面ABC，则DE⊥AB，∵BM⊥平面AECD，∴BM⊥DE．∵AB∩BM=B，AB、BM?平面ABE，∴DE⊥平面ABE．∵AE?平面ABE，∴DE⊥AE，这与∠AED=60°矛盾．∴DE与平面ABC不垂直．21.（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线，曲线.（I）求曲线C1及C2的直角坐标方程；（II）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上的点的距离最大值.参考答案：解：（I）由得，即由得：∴∴C1的直角坐标方程为C2的直角坐标方程为………….6分（II）∵点(2,0)到直线的距离∴点P到C2上点的距离最大值为…………….12分

22.把正方形AA1B1B以边AA1所在直线为轴旋转900到正方形AA1C1C，其中D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点．（1）求证：DE∥平面ABC；（2）求证：B1F⊥平面AEF；（3）求二面角A﹣EB1﹣F的大小．参考答案：【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）取AB的中点为G，连接DG，CG；根据条件可以得到CEDG是平行四边形即可得到结论；（2）直接把问题转化为证明AF⊥B1F以及B1F⊥EF；（3）先建立空间直角坐标系，求出两个半平面的法向量，再代入向量的夹角计算公式即可．【解答】（本小题满分12分）解：（1）设AB的中点为G，连接DG，CG∵D是A1B的中点∴DG∥A1A且DG=…∵E是C1C的中点∴CE∥A1A且CE=，∴CE∥DG且CE=DG∴CEDG是平行四边形，∴DE∥GC∵DE?平面ABC，GC?平面ABC，∴DE∥平面ABC…（2）∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且F是BC的中点∴AF⊥BC∵平面ABC⊥平面BCC1B1∴AF⊥平面BCC1B1∴AF⊥B1F…设AB=AA1=2，则在B1FE中，，则，B1E=3∴∴△B1FE是直角三角形，∴B1F⊥EF∵AF∩EF=F∴B1F⊥平面AEF…（3）分别