2021-2022学年辽宁省鞍山市大营子中学高三数学理下学期期末试题含解析

2021-2022学年辽宁省鞍山市大营子中学高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为（

）A．

B．2

C．

D．参考答案：A考点：复数的应用.2.已知，若将它的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）图象的一条对称轴的方程为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，求得函数g（x）图象的一条对称轴的方程．【解答】解：已知，若将它的图象向右平移个单位，得到函数g（x）=2sin（2x﹣+）=2sin（2x﹣）的图象，令2x﹣=kπ+，可得x=+，k∈Z，故函数g（x）图象的一条对称轴的方程为x=，故选：A．【点评】本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．3.函数的定义域为(

）A．

B．

C．

D．参考答案：D4.已知i为虚数单位，则的实部与虚部之积等于（）A． B． C．I

D．i参考答案：A【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【分析】先对所给的复数分子分母同乘以1+i，再进行化简整理出实部和虚部，即求出它们的乘积，【解答】解：∵==，∴所求的实部与虚部之积是．故选A．5.椭圆C：的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（

）参考答案：B略6.△ABC中，角A，B，C成等差数列是成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．

【专题】简易逻辑．【分析】根据等差数列和两角和的正弦公式，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：若A，B，C成等差数列，则A+C=2B，∴B=60°，若，则sin（A+B）=，即sinAcosB+cosAsinB=，∴cosAsinB=cosAcosB，若cosA=0或tanB=，即A=90°或B=60°，∴角A，B，C成等差数列是成立的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等差数列的性质以及两角和差的正弦公式是解决本题的关键．7.过抛物线y2=4x的焦点作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于（）A．2 B．4 C．6 D．8参考答案：D【考点】抛物线的应用；抛物线的定义．【分析】线段AB的中点到准线的距离为4，设A，B两点到准线的距离分别为d1，d2，由抛物线的定义知|AB|的值．【解答】解：由题设知知线段AB的中点到准线的距离为4，设A，B两点到准线的距离分别为d1，d2，由抛物线的定义知：|AB|=|AF|+|BF|=d1+d2=2×4=8．故选D．8.在中，，,为边的两个三等分点，则A. B. C. D.参考答案：A9.某网店出售一种饼干，共有草莓味、巧克力味、香蕉味、香芋味四种口味，一位顾客在该店购买了两袋这种饼干，“口味”选择“随机派送”，则这位顾客买到的两袋饼干是同一种口味的概率是（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】利用等可能事件概率计算公式直接求解．【解答】解：某网店出售一种饼干，共有草莓味、巧克力味、香蕉味、香芋味四种口味，一位顾客在该店购买了两袋这种饼干，“口味”选择“随机派送”，基本事件总数n=4，这位顾客买到的两袋饼干是同一种口味包含的基本事件个数m=1，∴这位顾客买到的两袋饼干是同一种口味的概率是p==．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．10.设函数f（x），g（x）在[a，b]上均可导，且f′（x）＜g′（x），则当a＜x＜b时，有(

)A．f（x）＞g（x） B．f（x）+g（a）＜g（x）+f（a） C．f（x）＜g（x） D．f（x）+g（b）＜g（x）+f（b）参考答案：B【考点】导数的运算．【专题】函数的性质及应用．【分析】构造函数，设F（x）=f（x）﹣g（x），因为函数f（x），g（x）在[a，b]上均可导，且f′（x）＜g′（x），所以F（x）在[a，b]上可导，并且F′（x）＜0，得到函数的单调性，利用单调性得到F（a）＜F（x）＜F（b），即f（x）﹣g（x）＜f（a）﹣g（a），得到选项．【解答】解：设F（x）=f（x）﹣g（x），因为函数f（x），g（x）在[a，b]上均可导，且f′（x）＜g′（x），所以F（x）在[a，b]上可导，并且F′（x）＜0，所以F（x）在[a，b]上是减函数，所以F（a）＜F（x）＜F（b），即f（x）﹣g（x）＜f（a）﹣g（a），f（x）+g（a）＜g（x）+f（a）；故选B．【点评】本题考查了函数的单调性，关键构造函数，利用求导判断函数的单调性．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.具有性质：的函数，我们称为满足“倒负”交换的函数，下列函数：

①②③中满足“倒负”变换的函数是

.参考答案：①③当时，，所以①满足“倒负”变换的函数。当时，，所以②不满足“倒负”变换的函数。当时，当时，，，当时，，，所以③满足“倒负”变换的函数，所以满足条件的函数是①③。12.已知函数f(x)＝logax＋x－b(a＞0，且a≠1)．当2＜a＜3＜b＜4时，函数数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝▲.参考答案：2略13.函数的对称轴的集合为

参考答案：由，得，即对称轴的集合为。14.函数，则不等式的解集为_______参考答案：略15.农业技术员进行某种作物的种植密度试验，把一块试验田划分为8块面积相等的区域（除了种植密度，其它影响作物生长的因素都保持一致），种植密度和单株产量统计如下：

根据上表所提供信息，第_____号区域的总产量最大，该区域种植密度为_____株/.参考答案：5，3.6

略16.若对满足条件x+y+3=xy（x＞0，y＞0）的任意x，y，（x+y）2﹣a（x+y）+1≥0恒成立，则实数a的取值范围是

．参考答案：a【考点】函数恒成立问题；基本不等式．【分析】由基本不等式可得，x+y+3=xy≤，从而可求x+y的范围，然后由（x+y）2﹣a（x+y）+1≥0得a恒成立，则只要a≤即可【解答】解：∵x＞0，y＞0∴x+y+3=xy≤∴x+y≥6由（x+y）2﹣a（x+y）+1≥0可得a恒成立令x+y=t，f（t）=t+在[6，+∞）上单调递增，则当t=6时f（t）min=f（6）=∴a≤故答案为：a≤17.已知，则=__________参考答案：0略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题13分）如图，在四棱锥中，平面，，平分，为的中点，（1）证明：平面（2）证明：平面（3）求直线与平面所成角的正切值参考答案：①证明：设AC∩BD=H,连结EH，在△ADC中，因为AD=CD，且DB平分∠ADC，所以H为AC的中点，又E为P的中点，故EH//PA又EH平面BDEPA平面BDE∴PA//平面BDE②证明：∵PD⊥平面ABCDAC平面ABCD，所以PD⊥AC由（1）知，BD⊥AC，PD∩BD=D∴AC⊥平面PBD③解由AC⊥平面PBD可知，BH为BC在平面PBD内的射影，所以∠CBH为直线与平面PBD所成的角。由AD⊥CD，AD=CD=1，DB=2可得19.已知数列满足：，其中为数列的前项和.（1）试求的通项公式；（2）若数列满足：，试求的前项和公式.参考答案：（1）

（2）（1）

①

②②-①得

又∵时，

（2）

③④③-④得

整理得：20.已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为F，以原点O为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线相切．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，过定点P（2，0）的直线l交椭圆C于A，B两点，连接AF并延长交C于M，求证：∠PFM＝∠PFB．参考答案：（1）（2）证明过程详见解析【分析】（1）设出圆的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出b，利用离心率求出a，即可求出椭圆C的标准方程；（2）依题意可知直线斜率存在，设方程，代入整理得，与椭圆有两个交点，.设，，直线，的斜率分别为，，利用韦达定理证明即可.【详解】解：（1）依题意可设圆方程为，圆与直线相切，.，由解得，椭圆的方程为.（2）依题意可知直线斜率存在，设方程为，代入整理得，与椭圆有两个交点，，即.设，，直线，的斜率分别为，则，.，即.【点睛】本题考查椭圆的标准方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，圆的圆心与半径的求法，考查分析问题解决问题的能力．21.如图，已知四棱锥P—ABCD，底面ABCD为菱形，平面ABCD，，E，F分别是BC，PC的中点。

（Ⅰ）证明：AEPD；

（Ⅱ）若直线PB与平面PAD所成角的正弦值为，求二面角E—AF—C的余弦值。

参考答案：22.（16分）已知函数，（为常数）．函数定义为：对每个给定的实数，（1）求对所有实数成立的充分必要条件（用表示）；（2）设是两个实数，满足，且．若，求证：函数在区间上的单调增区间的长度之和为（闭区间的长度定义为）参考答案：解析：（1）由的定义可知，（对所有实数）等价于（对所有实数）这又等价于，即对所有实数均成立.

（*）由于的最大值为，故（*）等价于，即，这就是所求的充分必要条件（2）分两种情形讨论

（i）当时，由（1）知（对所有实数）则由及易知，再由的单调性可知，函数在区间上的单调增区