高中数学人教B版第三章概率 学业分层测评19几何概型

学业分层测评(十九)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.下列关于几何概型的说法中，错误的是()A.几何概型是古典概型的一种，基本事件都具有等可能性B.几何概型中事件发生的概率与它的位置或形状无关C.几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个D.几何概型中每个结果的发生都具有等可能性【解析】几何概型和古典概型是两种不同的概率模型，故选A.【答案】A2.在圆心角为90°的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，则使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率为()\f(1,3) \f(2,3)\f(1,4) \f(3,4)【解析】记M＝“射线OC使得∠AOC和∠BOC都不小于30°”.如图所示，作射线OD，OE使∠AOD＝30°，∠AOE＝60°.当OC在∠DOE内时，使得∠AOC和∠BOC都不小于30°，此时的测度为度数30，所有基本事件的测度为直角的度数90.所以P(M)＝eq\f(30,90)＝eq\f(1,3).【答案】A3.在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为()A.0.008 【解析】设问题转化为与体积有关的几何概型求解，概率为eq\f(2,400)＝.【答案】D4.在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于eq\f(S,4)的概率是()\f(1,4) \f(1,2)\f(3,4) \f(2,3)【解析】如图所示，在边AB上任取一点P，因为△ABC与△PBC是等高的，所以事件“△PBC的面积大于eq\f(S,4)”等价于事件“eq\f(|BP|,|AB|)＞eq\f(1,4)”.即Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(△PBC的面积大于\f(S,4)))＝eq\f(|PA|,|BA|)＝eq\f(3,4).【答案】C5.已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为eq\f(1,2)，则eq\f(AD,AB)＝()\f(1,2) \f(1,4)\f(\r(3),2) \f(\r(7),4)【解析】由于满足条件的点P发生的概率为eq\f(1,2)，且点P在边CD上运动，根据图形的对称性当点P在靠近点D的CD边的eq\f(1,4)分点时，EB＝AB(当点P超过点E向点D运动时，PB＞AB).设AB＝x，过点E作EF⊥AB交AB于点F，则BF＝eq\f(3,4)x.在Rt△FBE中，EF2＝BE2－FB2＝AB2－FB2＝eq\f(7,16)x2，即EF＝eq\f(\r(7),4)x，∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(\r(7),4).【答案】D二、填空题6.如图3­3­3，在平面直角坐标系内，射线OT落在60°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠xOT内的概率为________.图3­3­3【解析】记“射线OA落在∠xOT内”为事件A.构成事件A的区域最大角度是60°，所有基本事件对应的区域最大角度是360°，所以由几何概型的概率公式得P(A)＝eq\f(60°,360°)＝eq\f(1,6).【答案】eq\f(1,6)7.如图3­3­4，长方体ABCD­A1B1C1D1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A­A1BD图3­3­4【解析】设长、宽、高分别为a，b，c，则此点在三棱锥A­A1BD内运动的概率P＝eq\f(\f(1,6)abc,abc)＝eq\f(1,6).【答案】eq\f(1,6)8.小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于eq\f(1,2)，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于eq\f(1,4)，则去打篮球；否则，在家看书.则小波周末不在家看书的概率为________.【导学号：25440056】【解析】记事件A＝“打篮球”，则P(A)＝eq\f(π×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2,π×12)＝eq\f(1,16).记事件B＝“在家看书”，则P(B)＝eq\f(π×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2,π×12)－P(A)＝eq\f(1,4)－eq\f(1,16)＝eq\f(3,16).故P(eq\x\to(B))＝1－P(B)＝1－eq\f(3,16)＝eq\f(13,16).【答案】eq\f(13,16)三、解答题9.(1)在直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，过点A作一射线交线段BC于点M，求BM≤AB的概率；(2)在直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，在线段BC上取一点M，求BM≤AB的概率.【解】(1)记“过点A作一射线交线段BC于点M，使BM≤AB”为事件Ω，由于是过点A作一射线交线段BC于点M，所以射线在∠BAC内是等可能出现的，又当AB＝BM时，∠BAM＝°，所以P(Ω)＝eq\f(d的测度,D的测度)＝eq\f°,90°)＝eq\f(3,4).(2)设AB＝AC＝1，则BC＝eq\r(2)，设“过点A作一射线交线段BC于点M，使BM≤AB”为事件Ω，则P(Ω)＝eq\f(d的测度,D的测度)＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2).10.一海豚在水池中自由游弋，水池为长30m，宽20m的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率.【解】如图，四边形ABCD是长30m、宽20m的长方形.图中的阴影部分表示事件A：“海豚嘴尖离岸边不超过2m”.问题可化为求海豚嘴尖出现在阴影部分的概率.∵S长方形ABCD＝30×20＝600(m2)，S长方形A′B′C′D′＝(30－4)×(20－4)＝416(m2)，∴S阴影部分＝S长方形ABCD－S长方形A′B′C′D′＝600－416＝184(m2)，根据几何概型的概率公式，得P(A)＝eq\f(184,600)＝eq\f(23,75)≈.[能力提升]1.(2023·南昌高一检测)面积为S的△ABC，D是BC的中点，向△ABC内部投一点，那么点落在△ABD内的概率为()\f(1,3) \f(1,2)\f(1,4) \f(1,6)【解析】向△ABC内部投一点的结果有无限个，属于几何概型.设点落在△ABD内为事件M，则P(M)＝eq\f(△ABD的面积,△ABC的面积)＝eq\f(1,2).【答案】B2.已知一只蚂蚁在边长为4的正三角形内爬行，则此蚂蚁到三角形三个顶点的距离均超过1的概率为()－eq\f(\r(3)π,12) －eq\f(\r(3)π,24)\f(\r(3)π,12) \f(\r(3)π,24)【解析】设正三角形ABC的边长为4，其面积为4eq\r(3).分别以A，B，C为圆心，1为半径在△ABC中作扇形，除去三个扇形剩下的部分即表示蚂蚁距三角形三个顶点的距离均超过1的区域，其面积为4eq\r(3)－3×eq\f(1,2)×eq\f(π,3)×1＝4eq\r(3)－eq\f(π,2)，故所求概率P＝eq\f(4\r(3)－\f(π,2),4\r(3))＝1－eq\f(\r(3)π,24).【答案】B3.假设你在如图3­3­5所示的图形上随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分(等腰三角形)的概率是________.图3­3­5【解析】设A＝{黄豆落在阴影内}，因为黄豆落在图中每一个位置是等可能的，因此P(A)＝eq\f(S△ABC,S⊙O)，又△ABC为等腰直角三角形，设⊙O的半径为r，则AC＝BC＝eq\r(2)r，所以S△ABC＝eq\f(1,2)AC·BC＝r2，S⊙O＝πr2，所以P(A)＝eq\f(r2,πr2)＝eq\f(1,π).【答案】eq\f(1,π)4.甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：图3­3­6甲商场：顾客转动如图3­3­6所示圆盘，当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15°，边界忽略不计)即为中奖.乙商场：从装有3个白球3个红球的盒子中一次性摸出2球(球除颜色外不加区分)，如果摸到的是2个红球，即为中奖.问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？【解】如果顾客去甲商场，试验的全部结果构成的区域为圆盘的面积πR2(R为圆盘的半径)，阴影区域的面积为eq\f(4×15πR2,360)＝eq\f(πR2,6).∴在甲商场中奖的概率为P1＝eq\f(\f(πR2,6),πR2)＝eq\f(1,6).如果顾客去乙商场，记盒子中3个白球为a1，a2，a3,3个红球为b1，b2，b3，记(x，y)为一次摸球的结果，则一切可能的结果有：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1