2021-2022学年江西省上饶市私立清湖中学高三数学文上学期期末试题含解析

2021-2022学年江西省上饶市私立清湖中学高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在矩形中，.若，则的值为（

）A．2

B．4

C．5

D．7参考答案：D考点：平面向量的线性运算．2.榫卯是我国古代工匠极为精巧的发明，它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式，我国在北京紫禁城、山西悬空寺、福建宁德的廊桥等建筑都用到了榫卯结构，如图所示是一种榫卯构件中榫的三视图，其表面积为(

)A. B. C. D.参考答案：A3.下图是计算的值的一个流程图，其中判断框内应填入的条件是（

）A．

B．

C.

D．参考答案：B4.函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜π）的图象向左平移个单位后关于原点对称，则函数f（x）在[0，]上的最小值为（）A．﹣ B．﹣ C． D．参考答案：A【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由函数图象的平移得到，再由函数为奇函数及φ的范围得到，求出φ的值，则函数解析式可求，再由x的范围求得函数f（x）在[0，]上的最小值．【解答】解：函数f（x）=sin（2x+φ）图象向左平移个单位得，由于函数图象关于原点对称，∴函数为奇函数，又|φ|＜π，∴，得，∴，由于，∴0≤2x≤π，∴，当，即x=0时，．故选：A．【点评】本题考查了函数y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，考查了三角函数值域的求法，是中档题．5.已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0），点F为E的左焦点，点P为E上位于第一象限内的点，P关于原点的对称点为Q，且满足|PF|=3|FQ|，若|OP|=b，则E的离心率为（）A． B． C．2 D．参考答案：B【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】由题意可知：四边形PFQF1为平行四边，利用双曲线的定义及性质，求得∠OPF1=90°，在△QPF1中，利用勾股定理即可求得a和b的关系，根据双曲线的离心率公式即可求得离心率e．【解答】解：由题意可知：双曲线的右焦点F1，由P关于原点的对称点为Q，则丨OP丨=丨OQ丨，∴四边形PFQF1为平行四边，则丨PF1丨=丨FQ丨，丨PF丨=丨QF1丨，由|PF|=3|FQ|，根据椭圆的定义丨PF丨﹣丨PF1丨=2a，∴丨PF1丨=a，|OP|=b，丨OF1丨=c，∴∠OPF1=90°，在△QPF1中，丨PQ丨=2b，丨QF1丨=3a，丨PF1丨=a，∴则（2b）2+a2=（3a）2，整理得：b2=2a2，则双曲线的离心率e===，故选B．【点评】本题考查双曲线的简单几何性质简单几何性质，考查数形结合思想，属于中档题．6.复数z＝i＋i2＋i3＋i4的值是

（）

A．－1 B．0

C．1

D．i参考答案：答案：B7.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第4天和第5天共走了（）A．60里 B．48里 C．36里 D．24里参考答案：C【考点】函数模型的选择与应用．【分析】由题意可知，每天走的路程里数构成以为公比的等比数列，由S6=378求得首项，再由等比数列的通项公式求得该人第4天和第5天共走的路程【解答】解：记每天走的路程里数为{an}，可知{an}是公比q=的等比数列，由S6=378，得S6=，解得：a1=192，∴，此人第4天和第5天共走了24+12=36里．故选：C．8.已知数列{an}中，，，，，，，，则数列{an}的前n项和Sn=（

）A．

B．

C.

D．参考答案：D9.设，，且满足则（A）1 （B）2 （C）3 （D）4参考答案：D10.已知全集，，，则集合A．

B．

C．

D．参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数对于任意实数满足条件，若则_______________.参考答案：略12.已知函数f（x）=，则f[f（﹣3）]=．参考答案：

【考点】函数的值．【分析】由已知得f（﹣3）==，从而f[f（﹣3）]=f（），由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（﹣3）==，f[f（﹣3）]=f（）====﹣．故答案为：．13.函数的单调递减区间是

．参考答案：（或）略14.求曲线y=，y=2﹣x，y=﹣x所围成图形的面积为

．参考答案：考点：定积分在求面积中的应用．专题：导数的综合应用．分析：分别求出曲线的交点坐标，然后利用积分的应用求区域面积即可．解答： 解：由解得，即A（1，1）．由，解得，即B（3，﹣1），∴曲线y=，y=2﹣x，y=﹣x所围成图形的面积为==+=，故答案为：；点评：本题主要考查定积分的应用，根据曲线方程求出曲线交点是解决本题的关键，要求熟练掌握常见函数的积分公式．15.若，则_________．参考答案：80【分析】根据，利用二项式展开式的通项公式求得的值．【详解】解：∵，则，故答案为：80．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．16.函数在区间上的值域是

。参考答案：略17.中心在坐标原点，焦点在y轴上的椭圆，其一个焦点与短轴两端点的加线互相垂直，且此焦点与椭圆上的点之间的距离最小值为，则椭圆的标准方程为

。参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数的定义域为，且，对，都有，数列满足，（Ⅰ）证明：，；（Ⅱ）若数列满足，求数列的通项公式；（Ⅲ）设，证明：当时，.（其中符号）

参考答案：解析：（Ⅰ）证明：依题意且，当时，，…………………2分而,∴又∴，即数列为递增数列，又,∴………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）有，所以，又0∴数列是等比数列，且公比为2，∴………8分（Ⅲ）由（Ⅰ）知,数列为递增数列∴当且时，当时，当时，……………………14分

略19.(本小题满分14分)某家具厂有方木料90m3，五合板600m2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1m3，五合板2m2，生产每个书橱需要方木料0.2m2，五合板1m2，出售一张方桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元．(1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？(2)怎样安排生产可使所得利润最大？参考答案：[解]由题意可画表格如下：

方木料(m3)五合板(m2)利润(元)书桌(个)0.1280书橱(个)0.21120(1)设只生产书桌x个，可获得利润z元，则??x≤300.所以当x＝300时，zmax＝80×300＝24000(元)，即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24000元．(2)设生产书桌x张，书橱y个，利润总额为z元．则?z＝80x＋120y.在直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域．作直线l：80x＋120y＝0，即直线l：2x＋3y＝0.把直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点M，此时z＝80x＋120y取得最大值．由解得点M的坐标为(100,400)．所以当x＝100，y＝400时，zmax＝80×100＋120×400＝56000(元)．因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大．

略20.已知函数f（x）=ax3+bx+c在x=2处取得极值为c﹣16．（1）求a、b的值；（2）若f（x）有极大值28，求f（x）在[﹣3，3]上的最大值．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）先对函数f（x）求导，根据f′（2）=0，f（2）=c﹣16，即可求得a，b值；（2）由（1）求出f（x）的极大值，由极大值为28，可求出c值，然后求出f（﹣3），f（3），及函数在区间[﹣3，3]上的极值，其中最大者最大值．【解答】解：（1）因为f（x）=ax3+bx+c，故f′（x）=3ax2+b，由于f（x）在点x=2处取得极值，故有，即，化简得，解得．（2）由（1）知f（x）=x3﹣12x+c，f′（x）=3x2﹣12，令f′（x）=0，得x=2或x=﹣2，当x∈（﹣∞，﹣2）时，f′（x）＞0，f（x）在∈（﹣∞，﹣2）上为增函数；当x∈（﹣2，2）时，f′（x）＜0，f（x）在（﹣2，2）上为减函数；当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（2，+∞）上为增函数．由此可知f（x）在x=﹣2处取得极大值f（﹣2）=16+c，f（x）在x=2处取得极小值f（2）=﹣16+c．由题意知16+c=28，解得c=12．此时，f（﹣3）=21，f（3）=3，f（2）=﹣4，所以f（x）在[﹣3，3]上的最大值为28．【点评】本题主要考查函数的导数与函数的极值、最值之间的关系，属于导数应用问题．21.在直角坐标系中中，曲线的参数方程为为参数，）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为.（1）设是曲线上的一个动点，当时，求点到直线的距离的最大值；（2）若曲线上所有的点均在直线的右下方，求的取值范围.参考答案：(1)由，得，化成直角坐标方程，得，即直线的方程为，依题意，设，则到直线的距离，当，即时，，故点到直线的距离的最大值为.(2)因为曲线上的所有点均在直线的右下方，，恒成立，即（其中）恒成立，，又，解得，故取值范围为.22.已知函数f（x）=x﹣﹣alnx（1）若f（x）无极值点，求a的取值范围；（2）设g（x）=x+﹣（lnx）2，当a取（1）中的最大值时，求g（x）的最小值；（3）证明不等式：＞ln（n∈N*）．参考答案：考点：不等式的证明；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：综合题；导数的综合应用；推理和证明．分析：（1）求导函数，函数f（x）无极值，等价于方程x2﹣ax+1=0在（0，+∞）上无根或有唯一根，由此即可求a的取值范围；（2）先证明x＞0时，|x﹣|≥|2lnx|=|lnx2|，再换元，即可求函数g（x）的最小值；（3）先证明＞ln，再利用放缩法，即可得到结论．解答： （1）解：求导函数，可得f′（x）=，∵函数f（x）无极值，∴方程x2﹣ax+1=0在（0，+∞）上无根或有唯一根，∴方程a=x+在（0，+∞）上无根或有唯一根，又x+≥2（x=1取等号），故（x+）min=2，∴a≤2；

（2）解：a=2时，f（x）=x﹣﹣2lnx，g（x）=x+﹣（lnx）2，由（1）知，f（x）在（0，+∞）上是增函数，当x∈（0，1）时，f（x）=x﹣﹣2lnx＜f（1）=0，即x﹣＜2lnx＜0；当x∈（1，+∞）时，f（x）=x﹣﹣2lnx＞f（1）=0，即x﹣＞2lnx＞0；∴x＞0时，|x﹣|≥|2