2021-2022学年山西省大同市杜庄乡中学高三数学理期末试卷含解析

2021-2022学年山西省大同市杜庄乡中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数f（x）=，若f（x）的两个零点分别为x1，x2，则|x1﹣x2|=（）A． B．1+ C．2 D．+ln2参考答案：C【考点】54：根的存在性及根的个数判断；5B：分段函数的应用．【分析】由题意分别讨论两段函数的零点，转化为两个函数图象交点的横坐标，然后结合互为反函数图象的对称性及图象平移求解．【解答】解：当x＞0时，f（x）=log4（x+1）+x﹣1，由f（x）=0，可得x﹣1=；当x≤0时，f（x）=x﹣+3，由f（x）=0，可得．作出函数图象如图：∵函数y=与y=互为反函数，则其图象关于直线y=x对称，而与分别是把y=与y=向左平移1个单位得到的，∴两函数图象关于直线y=x+1对称，又直线y=x﹣1与y=x+3也关于直线y=x+1对称，不妨设y=x+3（x≤0）与y=的交点的横坐标为x1，y=x﹣1（x＞0）与y=的交点的横坐标为x2，则|x1﹣x2|=．故选：C．2.设定义在上的函数若关于的方程有5个不同的实数根，则的取值范围为（

）A． B．（﹣∞，﹣1） C．（1，+∞） D．（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，﹣1）参考答案：【知识点】函数与方程的综合运用；根的存在性及根的个数判断．

B9【答案解析】D

解析：∵题中原方程f2（x）+af（x）+b=0有且只有5个不同实数解，∴即要求对应于f（x）等于某个常数有3个不同实数解，∴故先根据题意作出f（x）的简图：由图可知，只有当f（x）=1时，它有三个根．故关于x的方程f2（x）+af（x）+b=0中，有：1+a+b=0，b=﹣1﹣a，且当f（x）=k，k＞0且k≠1时，关于x的方程f2（x）+af（x）+b=0有5个不同实数解，∴k2+ak﹣1﹣a=0，a=﹣1﹣k，∵k＞0且k≠1，∴a∈（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，﹣1）故选D．【思路点拨】题中原方程f2（x）+af（x）+b=0有且只有5个不同实数解，即要求对应于f（x）=某个常数有3个不同实数解，故先根据题意作出f（x）的简图，由图可知，只有当f（x）=1时，它有三个根．且当f（x）=k，k＞0且k≠1时，关于x的方程f2（x）+af（x）+b=0有5个不同实数解，据此即可求得实数a的取值范围．3.函数f(2x+1)的图象可由f(2x-1)的图象经过怎样的变换得到

(

）A．向左平移2个单位B．向右平移2个单位C．向左平移1个单位D．向右平移1个单位参考答案：C4.已知椭圆的焦点为，在长轴A1A2上任取一点M，过M作垂直于A1A2的直线交椭圆于点P，则使得的点M的概率为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B略5.命题，若是真命题，则实数的取值范围是（A）

（B） （C）

（D）参考答案：D略6.为考察A，B两种药物预防某疾病的效果，进行动物实验，分别得到等高条形图如图所示，根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是（

）

A.药物B的预防效果优于药物A的预防效果 B.药物A、B对该疾病均没有预防效果C.药物A、B对该疾病均有显著的预防效果 D.药物A的预防效果优于药物B的预防效果参考答案：D【分析】由等高条形图，可得服用A药物的患病人数明显少于服用药物B的人数，服用A药物的未患病人数明显多于服用药物B的人数，即可求解，得到答案.【详解】由等高条形图知，服用A药物的患病人数明显少于服用药物B的人数，服用A药物的未患病人数明显多于服用药物B的人数，所以药物A的预防效果优于药物B的预防效果，故选D.【点睛】本题主要考查了等高条形图应用，其中解答中理解、掌握统计图表的含义是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.7.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入m=42，n=30，则输出m的值为A.6B.12

C.30D.7

参考答案：B8.执行如图所示的程序框图，则输出的a＝(

)

A.5 B. C. D.参考答案：C9.是虚数单位，复数=（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A略10.已知，是虚数单位，则（

）A．1

B．

C．

D．2参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某几何体的三视图如图所示，则它的体积是________.参考答案：12.已知指数函数，对数函数和幂函数的图像都过，如果，那么

参考答案：答案：解析：令则，13.若向量，则向量与的夹角等于

．参考答案：14.如右图,该程序运行后输出的结果为__________.参考答案：1615.已知的值如表所示：234546如果与呈线性相关且回归直线方程为，则

；参考答案：16.若圆C的半径为3，单位向量所在的直线与圆相切于定点A，点B是圆上的动点，则的最大值为．参考答案：3

考点：向量在几何中的应用．专题：计算题；平面向量及应用．分析：设的夹角为θ，过C作CM⊥AB，则AB=2AM，然后结合弦切角定理可得∠DAB=∠ACM=θ，再利用三角函数的定义可用θ表示AM，代入向量的数量积的定义=||||cosθ，最后结婚二倍角公式及正弦函数的性质即可求解解答：解：设的夹角为θ过C作CM⊥AB，垂足为M，则AB=2AM由过点A的直线与圆相切，结合弦切角定理可得∠DAB=∠ACM=θ∵在直角三角形AMC中，由三角函数的定义可得，sin∠ACM=∴AM=3sinθ，AB=6sinθ∵=||||cosθ=|AB|cosθ=6sinθcosθ=3sin2θ≤3当sin2θ=1即θ=45°时取等号故答案为：3点评：本题主要考查了向量的数量积的定义，弦切角定理及三角函数的定义的综合应用，试题具有一定的灵活性17.已知数列{an}满足an=（n∈N*），若{an}是递减数列，则实数a的取值范围是．参考答案：（，）【考点】数列的函数特性．【分析】由已知利用指数函数、一次函数与数列的单调性可得：，解出即可得出．【解答】解：∵数列{an}满足an=（n∈N*），{an}是递减数列，∴，解得．则实数a的取值范围是．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图所示，某人在斜坡P处仰视正对面山顶上一座铁塔，塔高米，塔所在山高米，米，观测者所在斜坡CD近似看成直线，斜坡与水平面夹角为，（1）以射线OC为Ox轴的正向，OB为Oy轴正向，建立直角坐标系，求出斜坡CD所在直线方程；（2）当观察者P视角最大时，求点P的坐标（人的身高忽略不计）.参考答案：(1)(2)(320,60)【分析】（1）如图，即直线CD的斜率，点，根据点斜式可直接求出直线CD的方程；（2）由可知，由可得关于点P横坐标x的函数，进而求出视角最大时，点的坐标。【详解】解：（1）由题意知则直线的斜率为（2）记等号当当观测者位于处视角最大为【点睛】本题考查三角函数实际应用，解题关键在于用已知条件表示出，得到关于x的函数。19.(本小题满分12分）如图是一个直三棱柱被削去一部分后的几何体的直观图与三视图中的侧视图、俯视图.在直观图中,是的中点.又已知侧视图是直角梯形,俯视图是等腰直角三角形,有关数据如图所示.(Ⅰ)求证:EM∥平面ABC;(Ⅱ)求出该几何体的体积.参考答案：（Ⅰ）取中点，连……………6分（Ⅱ）由俯视图知①且，直棱柱中平面，所以②由①②知平面，所以是棱锥的高。……………9分………12分20.设．（1）若，求最大值；（2）已知正数，满足.求证：；（3）已知，正数满足.证明:．

参考答案：（2）构造函数，利用导数法证明在在上递增，在上递减.由于函数的极大值为，时，（3）利用数学归纳法证明如下：1

当时，命题显然成立；2

假设当时，命题成立，即当时，.则当，即当时，，又假设略21.如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连结DB并延长交⊙O于点E.证明：(1)AC·BD＝AD·AB；

(2)AC＝AE.参考答案：略22.已知函数处的切线方程为

（I）求的解析式；

（II）设函数恒成立。参考答案：