2021-2022学年天津第五十七中学高一数学理期末试卷含解析

2021-2022学年天津第五十七中学高一数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知，则f(3)为（

）

A．2

B．

3

C．

4

D．5参考答案：A略2.关于幂函数y=xk及其图象，有下列四个命题：①其图象一定不通过第四象限；②当k＜0时，其图象关于直线y=x对称；③当k＞0时，函数y=xk是增函数；④y=xk的图象与y=x﹣k的图象至少有两个交点其中正确的命题个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个参考答案：B【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】根据幂函数的定义以及性质判断即可．【解答】解：关于幂函数y=xk及其图象：①其图象一定不通过第四象限；因为x＞0时，y=xα＞0，故幂函数图象不可能出现在第四象限，故正确；②当k＜0时，如幂函数y=x﹣1其图象不关于直线y=x对称；故错误；③当k＞0时，函数y=xk是增函数；如k=2，不成立，故错误；④如y=x2和y=1个交点，故错误；故选：B．3.函数f（x）=ex+x－2的零点所在的一个区间是(

)

A.（-2,-1）

B.（-1,0）

C.（0,1）

D.（1,2）参考答案：C4.若a、b为实数，集合M={，1}，N={a，0}，f：x→x表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a+b为(

)A．0

B．1

C．﹣1

D．±1参考答案：B考点：映射．专题：计算题．分析：由于映射把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x，而M和N中都只有2个元素，故M=N，故有=0且a=1，由此求得a和b的值，即可得到a+b的值．解答：解：由于映射把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x，而M和N中都只有2个元素，故M=N，∴=0且a=1．∴b=0，a=1，∴a+b=1+0=1．故选B．点评：本题主要考查映射的定义，判断M=N，是解题的关键，属于基础题．

5.已知a，5，b组成公差为d的等差数列，又a，4，b组成等比数列，则公差d=（

）A．－3

B．3

C．－3或3

D．2或参考答案：C6.平行于直线且与圆相切的直线的方程是（

）A.或 B.或C.或 D.或参考答案：A设所求直线为，由直线与圆相切得，，解得。所以直线方程为或。选A.7.已知向量且//，则=（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A8.已知向量，，且//，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略9.已知正项等比数列满足：，若存在两项使得，则的最小值为(

)A.

B.

C.

D.不存在参考答案：

所以，当且仅当即取等号，此时，所以时取最小值，所以最小值为，选A.10.已知,则()A. B. C. D.参考答案：B【分析】利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式化简求解即可．【详解】，本题正确选项：【点睛】本题考查诱导公式的应用，同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.现对某校师生关于上海世博会知晓情况进行分层抽样调查。已知该校有教师200人，男学生1200人，女学生1000人。现抽取了一个容量为n的样本，其中女学生有80人，则n的值等于

参考答案：19212.幂函数，当时为减函数，则实数的值是_____．参考答案：213.设向量，若向量与向量共线，则

参考答案：2略14.如果实数满足等式，那么的最大值是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B略15.已知数列成等差数列，且，则＝

参考答案：-略16.log59?log225?log34=．参考答案：8【考点】对数的运算性质．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】利用换底公式化简求解即可．【解答】解：log59?log225?log34==8．故答案为：8．【点评】本题考查对数运算法则的应用，换底公式的应用，考查计算能力．17.（3分）已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=1+2x，则=

．参考答案：﹣9考点： 函数奇偶性的性质．专题： 计算题；转化思想．分析： 先根据已知条件把转化为f（﹣3）；再结合奇函数以及x＞0时，f（x）=1+2x即可得到结论．解答： 因为：log8=﹣3；∴=f（﹣3）；∵y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=1+2x，∴f（﹣3）=﹣f（3）=﹣（1+23）=﹣9．故答案为：﹣9．点评： 本题主要考察函数的奇偶性性质的应用．属于基础题目．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知α，β均为锐角，且，（1）求的值；（2）求的值．参考答案：（1）（2）【分析】（1）由题意可得，利用诱导公式和二倍角的余弦公式求出即可（2）利用，即可求出的值．【详解】解:（1）（2）【点睛】本题考查了两角和与差的三角函数，考查角的变换.正确运用公式是解题的关键.19.（本小题满分13分）如图，在矩形ABCD中，已知AB=3，AD=1，E、F分别是AB的两个三等分点，AC，DF相交于点G，建立适当的平面直角坐标系：（1）若动点M到D点距离等于它到C点距离的两倍，求动点M的轨迹围成区域的面积；（2）证明：EG⊥DF。参考答案：解：以A为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系。

则A（0，0）．B（3，0）．C（3，1）．D（0，1）．E（1，0）．F（2，0）。……1分(1)设M(x,y),由题意知……2分∴……3分两边平方化简得：，即…………5分

即动点M的轨迹为圆心（4,1），半径为2的圆，∴动点M的轨迹围成区域的面积为…………6分

（2）由A（0，0）．C（3，1）知直线AC的方程为：x-3y=0，…………7分

由D（0，1）．F（2，0）知直线DF的方程为：x+2y-2=0，…………8分

由得

故点G点的坐标为。…………10分

又点E的坐标为（1，0），故，

…………12分

所以。即证得：

…………13分

略20.(本小题满分12分)已知|a|＝3，|b|＝2，a与b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝ma－3b.(1)当m为何值时，c与d垂直？(2)当m为何值时，c与d共线？参考答案：21.已知，求和的值.参考答案：，【分析】先根据已知求出，再求出和的值.【详解】由题得，所以，所以，.【点睛】本题主要考查反三角函数和三角函