2021-2022学年北京教育学院分院附属中学高三数学理期末试卷含解析

2021-2022学年北京教育学院分院附属中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在实数0，－1.5,1，－中，比－2小的数是（

）A.0 B.－1.5 C.1 D.－参考答案：D分析：实数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．详解：根据实数比较大小的方法，可得<-2＜-1.5＜0＜1，∴最小的数是．故选D．点睛：此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．2.已知不等式组表示的平面区域为M，若直线y＝kx－3k与平面区域M有公共点，则k的取值范围是(

)A.

B.

C.

D.参考答案：C略3.若集合，，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B由A中不等式变形得：x（x-3）＜0，

解得：0＜x＜3，即A={x|0＜x＜3}，

∵B={x|-1＜x＜2}，

∴A∪B={x|-1＜x＜3}，

故选：B．

4.如图所示，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=1，BC=PA=2，则该几何体外接球的表面积为（）A．4π B．9π C．12π D．36π参考答案：B【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【分析】根据题意，证出BC⊥平面PAB，PC是三棱锥P﹣ABC的外接球直径．利用勾股定理结合题中数据算出PB得外接球半径，从而得到所求外接球的表面积．【解答】解：PA⊥平面ABC，AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB，BC⊥PB在Rt△PBA中，可得PB=，在Rt△PCA中，可得PC=取PB的中点O，则OA=OB=OC=OP=∴PC是三棱锥P﹣ABC的外接球直径；几何体外接球的表面积4πR2=9π．故选：B．【点评】本题在特殊三棱锥中求外接球的表面积，着重考查了线面垂直的判定与性质、勾股定理和球的表面积公式等知识，属于中档题．5.双曲线的实轴长是()A．2

B．2

C．4

D．4参考答案：C略6.若对任意实数都有，且，则实数的值等于（

）A． B．－1或3 C． D．－3或1参考答案：D7.某企业拟生产甲、乙两种产品，已知每件甲产品的利润为万元，每件乙产品的利润为万元，且甲、乙两种产品都需要在、两种设备上加工．在每台设备、每台设备上加工1件甲产品所需工时分别为和，加工1件乙产品所需工时分别为和，设备每天使用时间不超过，设备每天使用时间不超过，则通过合理安排生产计划，该企业在一天内的最大利润是

(

)A．万元

B.

万元

C.万元 D.万元 参考答案：D8.已知圆C:,直线，圆C上任意一点A到直线的距离小于2的概率为

A.

B.

C.

D.参考答案：【知识点】几何概型.

K3【答案解析】A

解析：因为圆心到直线的距离是5，所以圆上到直线距离小于2的点构成的弧所对弦的弦心距是3，设此弧所对圆心角为，则，所以，所对的弧长为，所以所求概率为：,故选A.【思路点拨】先求圆上到直线距离小于2的点构成的弧的弧长，此弧长与圆的周长的比为所求概率.9.奇函数f（x）、偶函数g（x）的图象分别如图1、2所示，方程f（g（x））=0、g（f（x））=0的实根个数分别为a、b，则a+b=（）A．14 B．10 C．7 D．3参考答案：B【考点】奇偶函数图象的对称性．【专题】计算题．【分析】先利用奇函数和偶函数的图象性质判断两函数的图象，再利用图象由外到内分别解方程即可得两方程解的个数，最后求和即可【解答】解：由图可知，图1为f（x）图象，图2为g（x）的图象，m∈（﹣2，﹣1），n∈（1，2）∴方程f（g（x））=0?g（x）=﹣1或g（x）=0或g（x）=1?x=﹣1，x=1，x=m，x=0，x=n，x=﹣2，x=2，∴方程f（g（x））=0有7个根，即a=7；而方程g（f（x））=0?f（x）=a或f（x）=0或f（x）=b?f（x）=0?x=﹣1，x=0，x=1，∴方程g（f（x））=0有3个根，即b=3∴a+b=10故选Baa【点评】本题主要考查了函数奇偶性的图象性质，利用函数图象解方程的方法，数形结合的思想方法，属基础题10.已知点与点在直线的两侧，且，则的取值范围是A．

B．

C．

D．

参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在的展开式中项的系数为__________．参考答案：1120【分析】求出二项展开式的通项，令的指数为2，求出项数，即可求解.【详解】展开式的通项为，令，得，所以展开式中含项的系数为．故答案为：【点睛】本题考查二项展开式定理，熟记展开式通项是解题的关键，属于基础题.12.已知圆平面区域：，若圆心,且圆与轴相切，则的最大值为_____________参考答案：37【知识点】简单线性规划．E5

解析：作出不等式组对应的平面区域如图：∵圆与x轴相切，∴由图象知b=1，即圆心在直线y=1上，若a2+b2最大，则只需要|a|最大即可，由图象知当C位于直线y=1与x+y﹣7=0的交点时，|a|最大，此时两直线的交点坐标为（6，1），此时a=6，故a2+b2的最大值为62+12=37，故答案为：37【思路点拨】根据圆与x轴相切，得到b=1，作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合进行判断即可．13.已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，Sn是数列{an}前n项的和，则的最小值为

．参考答案：4【考点】等差数列的性质．【分析】由等比中项的性质、等差数列的通项公式列出方程求公差d，代入等差数列的通项公式、前n项和公式求出an、Sn，代入利用分离常数法化简后，利用基本不等式求出式子的最小值．【解答】解：因为a1，a3，a13成等比数列，所以，又a1=1，所以（1+2d）2=1×（1+12d），解得d=2或d=0（舍去），所以an=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，Sn==n2，则====﹣2≥2﹣2=4，当且仅当时取等号，此时n=2，且取到最小值4，故答案为：4．14.关于函数f（x）=4sin（2x+），（x∈R）有下列结论：①y=f（x）是以π为最小正周期的周期函数；②y=f（x）可改写为y=4cos（2x﹣）；③y=f（x）的最大值为4；④y=f（x）的图象关于直线x=对称；则其中正确结论的序号为．参考答案：①②③④【考点】正弦函数的图象．

【专题】三角函数的图像与性质．【分析】①根据三角函数的周期公式进行求解；②根据三角函数的诱导公式进行转化；③结合三角函数的有界性和最值进行求解判断；④根据三角函数的对称性进行判断；【解答】解：①函数的周期T=，故y=f（x）是以π为最小正周期的周期函数正确；②f（x）=4sin（2x+）=4cos（﹣2x﹣）=4cos（﹣2x）=4cos（2x﹣）；故y=f（x）可改写为y=4cos（2x﹣）正确；③当4sin（2x+）=1时，y=f（x）的最大值为4，正确；④当x=时，f（）=4sin（2×+）=4sin=4为最大值，即f（x）的图象关于直线x=对称，正确．故正确的是①②③④，故答案为：①②③④【点评】本题主要考查命题的真假判断，根据三角函数的图象和性质是解决本题的关键．15.给出下列不等式

①；

②；

③；

④其中一定成立的是

参考答案：③正确略16.（+）6的展开式中常数项为_________．（用数字作答）参考答案：6017.将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0—1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第次全行的数都为1的是第

行．第1行1

1第2行

1

0

1第3行

1

1

1

1第4行

1

0

0

0

1第5行

1

1

0

0

1

1…………参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知单调递增的等比数列满足：,且是,的等差中项.（Ⅰ）求数列的通项公式；（6分）（Ⅱ）若,,求.（6分）

参考答案：(I)=2n(II)解析：（Ⅰ）设等比数列的首项为，公比为，依题意，有2（）=+,代入,得=8,∴+=20∴解之得或又单调递增，∴=2,=2,∴=2n-------------------------------6分（Ⅱ）,∴

①∴

②∴①-②得＝------------------------------6分

略19.（满分14分）设函数.（1）若对于定义域内的任意，都有成立，求实数的值；（2）若函数在定义域是单调函数，求实数的取值范围；（3）求证：.参考答案：解：（1）的定义域为.对都有，又在定义域上连续.，故.，解得.经检验，符合题意，故

…（3分）（2），又在定义域上是单调函数，或在上恒成立.……………（5分）若在上恒成立.即在上恒成立，………（6分）若即在上恒成立.在上没有最小值，不存在实数使恒成立.…………（7分）综上所知，实数取值范围是…………（8分）（2）法一……（9分）……（10分）令，令……（11分）当时，在上单调递减.又当时，恒有，即恒成立……（12分）取，则有……………………（13分），即…………（14分）法二：又故不等式成立。略20.如图，F是椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点，O是坐标原点，|OF|=，过F作OF的垂线交椭圆于P0，Q0两点，△OP0Q0的面积为．（1）求该椭圆的标准方程；（2）若直线l与上下半椭圆分别交于点P、Q，与x轴交于点M，且|PM|=2|MQ|，求△OPQ的面积取得最大值时直线l的方程．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【专题】方程思想；分析法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由题意可得c=，再由弦长，运用直角三角形的面积公式，解方程可得a=3，b=2，进而得到椭圆方程；（2）设M（t，0），且＜1，即﹣3＜t＜3．直线PQ：x=my+t，代入椭圆方程，运用韦达定理，再由由|PM|=2|MQ|，可得=2，运用向量共线的坐标表示，结合△OPQ的面积为S=|t|?|y1﹣y2|，化简整理，运用二次函数的最值求法，即可得到所求最大值，及对应的直线方程．【解答】解：（1）由题意可得c=，将x=c代入椭圆方程可得y=±b=±，即有△OP0Q0的面积为|PQ|?c=，即=，且a2﹣b2=5，解得a=3，b=2，即有椭圆方程为+=1；（2）设M（t，0），且＜1，即﹣3＜t＜3．直线PQ：x=my+t，代入椭圆方程，可得（4m2+9）y2+8mty+4t2﹣36=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），y1+y2=﹣，y1y2=＜0，由|PM|=2|MQ|，可得=2，即有﹣y1=2y2，代入韦达定理可得，t2=，即有m2=，即有1＜t2＜9．则△OPQ的面积为S=|t|?|y1﹣y2|=|t|?=6|t|?=，当t2=5＜9，由图示可得t＜0，此时m2=，△OPQ的面积取得最大值，且为×4=3．故所求直线方程为x=±y﹣．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用过焦点的弦长公式，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，以及向量共线的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．21.某企业去年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降．若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（今年为第一年）的利润为500（1+）万元（n为正整数）．

(Ⅰ）设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为万元，进行技术改造后的累计纯利润为万元（须扣除技术改造资金），求、的表达式；

(Ⅱ）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？参考答案：（Ⅰ）依题意知，数列是一个以500为首项，－20为公差的等差数列，所以，=＝=

(Ⅱ）依题意得，，即，可化简得，可设，又，可设是减函数，是增函数，又则时不等式成立，即4年22.已知函数.（1）讨论导函数的零点个数；（2）当时，证明：.参考答案：（1）见解析

（2）见解析【分