湖北省荆州市国营大沙湖农场高级中学2021-2022学年高三数学理期末试题含解析

湖北省荆州市国营大沙湖农场高级中学2021-2022学年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（多选题）三棱锥P?ABC的各顶点都在同一球面上，PC⊥底面ABC，若，，且，则下列说法正确的是（

）A.是钝角三角形 B.此球的表面积等于5πC.BC⊥平面PAC D.三棱锥A?PBC的体积为参考答案：BC【分析】根据余弦定理可得底面为直角三角形，计算出三棱锥的棱长即可判断A，找到外接球的球心求出半径即可判断B，根据线面垂直判定定理可判断C，根据椎体的体积计算公式可判断D.【详解】如图，在底面三角形ABC中，由，，，利用余弦定理可得：，∴，即，由于底面ABC，∴，，∵，∴平面PAC，故C正确；∴，由于，即为锐角，∴是顶角为锐角的等腰三角形，故A错误；取D为AB中点，则D为的外心，可得三角形外接圆的半径为1，设三棱锥的外接球的球心为O，连接OP，则，即三棱锥的外接球的半径为，∴三棱锥球的外接球的表面积等于，故B正确；，故D错误；故选：BC.【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定，椎体的体积计算以及三棱锥外接球体积的计算等等，属于中档题.2.设函数集合

则为（A）

（B）（0，1）

（C）（-1，1）

（D）

参考答案：D

由得则或即或所以或；由得即所以故，选D.3.已知二次函数的导数为，，与轴恰有一个交点，则的最小值为（

）A．3

B．

C．2

D．参考答案：A略4.已知（

）A．-1

B．0

C．1

D．

1或0参考答案：B略5.在下列结论中，正确的是

(

)①为真是为真的充分不必要条件；②为假是为真的充分不必要条件；③为真是为假的必要不充分条件；④为真是为假的必要不充分条件(A).①②

(B).①③

(C).②④

（D）.③④参考答案：B

6.已知x，y满足，每一对整数（x，y）对应平面上一个点，则过这些点中的其中3个点可作不同的圆的个数为

（

）

A．45

B．36

C．30

D．27参考答案：略7.已知数列,,,成等差数列;,,,,成等比数列，则的值是A.

B.

C.或

D.参考答案：8.设p:在内单调递增,q:,则p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：B略9.函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数为

A．

B．

C．

D．参考答案：C10.已知i为虚数单位，若，则（

）A.1 B. C. D.2参考答案：C【分析】根据复数的除法运算得到，再由复数相等的概念得到参数值，进而得到结果.【详解】为虚数单位，若，根据复数相等得到.故答案为：C.【点睛】这个题目考查了复数除法运算，以及复数相等的概念，复数与相等的充要条件是且．复数相等的充要条件是化复为实的主要依据，多用来求解参数的值或取值范围．步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程（组）求解．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若变量x，y，满足约束条件则z=x-y的最小值为__

．参考答案：-112.已知向量，若，则__________.参考答案：【分析】利用求出，然后求.【详解】向量，若，则即答案为.【点睛】本题考查了向量垂直与数量积的关系，考查了向量的模的求法，考查推理能力与计算能力，属于基础题．13.若则．参考答案：﹣【考点】定积分．【专题】计算题；整体思想；定义法；导数的概念及应用．【分析】两边取定积分，即可得到关于f（x）dx的方程解得即可．【解答】解：两边同时取积分，∴f（x）dx=x2dx+[2f（x）dx]dx，∴f（x）dx=x3|x+[2f（x）dx]x|，∴f（x）dx=+2f（x）dx，∴f（x）dx=﹣故答案为：．【点评】本题考查了定积分的计算；解答本题的关键是两边取定积分，属于基础题．14.命题的否定为__________.

参考答案：略15.设椭圆的左、右焦点分别为是上的点，,则的离心率为

参考答案：16.已知实数，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于103的概率是__________.参考答案：17.复数的实部是

.参考答案：2三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)是偶函数．(1)求k的值；(2)若方程f(x)－m＝0有解，求m的取值范围．参考答案：(1)由函数f(x)是偶函数，可知f(x)＝f(－x)．∴log4(4x＋1)＋kx＝log4(4－x＋1)－kx.即log4＝－2kx，log44x＝－2kx，∴x＝－2kx对一切x∈R恒成立．∴k＝－．(2)由m＝f(x)＝log4(4x＋1)－x，∴m＝log4＝log4(2x＋)．∵2x＋≥2，∴m≥．故要使方程f(x)－m＝0有解，m的取值范围为m≥．19.（本小题满分12分）已知(1)求函数上的最小值；(2)若对一切恒成立,求实数的取值范围；(3)证明:对一切,都有成立.参考答案：解（1），

—————1分当单调递减，当单调递增

—————2分①，即时，

；

②，即时，上单调递增，；所以

—————5分（2），则，[/]

设，则，当单调递减，当单调递增，所以

—————8分所以；

—————9分（3）问题等价于证明，

—————10分[/]由（1）可知的最小值是，当且仅当时取到，设，则，易知，当且仅当时取到，从而对一切，都有成立

—————12分略20.如图，椭圆的中心在原点，其左焦点F1与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，过点F1的直线l与椭圆交于A，B两点，与抛物线交于C，D两点，当直线l与x轴垂直时，=2． （1）求椭圆的方程； （2）设F2是椭圆的右焦点，求的最大值和最小值． 参考答案：【考点】椭圆的简单性质． 【分析】（1）由抛物线方程求得焦点坐标和点C和点D坐标，由题意可知==2，求得丨F1A丨=，求得A点坐标，代入椭圆方程，根据椭圆的性质即可求得a和b的值，求得椭圆的方程； （2）当AB垂直于x轴，求得A和B点坐标，求得向量和，由=4﹣=，当AB与x轴不垂直，设直线AB的方程，代入椭圆方程，由韦达定理可知：x1+x2，x1x2，由=（x1﹣1，y1），=（x2﹣1，y2），根据向量数量积的坐标表示，=﹣，由k2≥0，即可求得∈[﹣1，]． 【解答】解：（1）由抛物线方程，得焦点F1（﹣1，0）． 设椭圆的方程：（a＞b＞0）， 解方程组，求得C（﹣1，2），D（1，﹣2）， 由于抛物线、椭圆都关于x轴对称， ∴==2，丨F1A丨=， ∴A（1，）， ∴， 又a2﹣b2=c2=1， 因此，，解得：b2=1，a2=2， 椭圆的方程为；…5分． （Ⅱ）由F1（﹣1，0），F2（1，0）， ①AB垂直于x轴，则A（﹣1，），B（﹣1，﹣） ∴=（﹣2，），=（﹣2，﹣），=4﹣= ②若AB与x轴不垂直，设直线AB的斜率为k， 则直线AB的方程为y=k（x+1）， 由，整理得：（1+2k2）x2+4k2x+2（k2﹣1）=0， △=8k2+8＞0， ∴方程有两个不等的实数根． 设A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2=﹣，x1x2=， ∴=（x1﹣1，y1），=（x2﹣1，y2）， =（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=（x1﹣1）（x2﹣1）+k2（x1+1）（x2+1）， =（1+k2）x1x2+（k2﹣1）（x1+x2）+1+k2， =（1+k2）+（k2﹣1）（﹣）+1+k2， ==﹣， 由k2≥0，1+2k2≥1， ∴0≤≤1， ∴∈[﹣1，]， ∴当直线l垂于x轴时，取得最大值；当直线l与x轴重合时，取得最小值﹣1．…12分 【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题． 21.如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD//BC,∠SAD=∠DAB=90°,SA=3,SB=5,,,.

(1)求证:AB平面SAD；(2)求平面SCD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值；(3)点E,F分别为线段BC,SB上的一点,若平面AEF//平面SCD,求三棱锥B-AEF的体积.参考答案：(1)见解析；(2)；(3)1【分析】（1）通过证明，得线面垂直；（2）结合第一问结论，建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，即可得二面角的余弦值；（3）根据面面平行关系得出点F的位置，即可得到体积.【详解】(1)证明:在中,因为,所以.又因为∠DAB=900所以,因为所以平面SAD.

(2)解:因为AD,,，建立如图直角坐标系：则A(0,0,0)B(0,4,0),C(2,4,0),D(1,0,0),S(0,0,3).平面SAB的法向量为.设平面SDC的法向量为所以有即,令，所以平面SDC的法向量为

所以(3)因为平