浙江省湖州市练镇花林中学2022年高二数学理上学期期末试卷含解析

浙江省湖州市练镇花林中学2022年高二数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α=60°，则β为（）A．60° B．120° C．30° D．60°或120°参考答案：D【考点】平行公理．【分析】根据平行公理知道当空间两个角α与β的两边对应平行，得到这两个角相等或互补，根据所给的角的度数，即可得到β的度数．【解答】解：如图，∵空间两个角α，β的两边对应平行，∴这两个角相等或互补，∵α=60°，∴β=60°或120°．故选：D．2.抛物线的焦点坐标为A.（0，2） B.（2，0） C.（0，4） D.（4，0）参考答案：A【分析】根据抛物线标准方程求得，从而得焦点坐标．【详解】由题意，，∴焦点在轴正方向上，坐标为．故选A．【点睛】本题考查抛物线的标准方程，属于基础题．解题时要掌握抛物线四种标准方程形式．3.点P在边长为1的正方形ABCD内运动，则动点P到定点A的距离|PA|<1的概率为（

）A.

B.

C.

D．π参考答案：C4.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（

）A.14斛

B.22斛

C.36斛

D.66斛参考答案：B5.执行如图所示的程序框图，若输出的S＝88，则判断框内应填入的条件是()．A．k>7?

B．k>6?

C．k>5?

D．k>4?参考答案：C6.已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝120°，则△ABC的面积为(

)A．9

B．18

C．9

D．18参考答案：C略7.F1，F2是双曲线的左、右焦点，过左焦点F1的直线与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，若，则双曲线的离心率是（

） A． B． C．2 D．参考答案：C略8.已知全集，集合，，则等于（

）A B.

C

D.参考答案：C略9.下列不等式中，对任意x∈R都成立的是(

)

A．

B．x2+1>2x

C．lg(x2+1)≥lg2x

D．≤1参考答案：D10.定义域为R的函数且，则满足的x的集合为（

）

A．

B．

C．D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.圆心是，且经过原点的圆的标准方程为_______________________;参考答案：略12.球的表面积为，则球的体积为___________.参考答案：13.在正四面体ABCD中，E、F分别是BC、AD中点，则异面直线AE与CF所成角的余弦值是________．参考答案：[解析]设正四面体的棱长为1，＝a，＝b，＝c，则＝(a＋b)，＝c－b，|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝b·c＝c·a＝，∴·＝(a＋b)·(c－b)＝a·c＋b·c－a·b－|b|2＝－，||2＝(|a|2＋|b|2＋2a·b)＝，||2＝|c|2＋|b|2－b·c＝，∴||＝，||＝，cos〈，〉＝＝－，因异面直线所成角是锐角或直角，∴AE与CF成角的余弦值为14.以下关于命题的说法正确的有____________（填写所有正确命题的序号）. ①“若，则函数在其定义域内是减函数”是真命题； ②命题“若，则”的否命题是“若，则”； ③命题“若都是偶数，则也是偶数”的逆命题为真命题； ④命题“若，则”与命题“若，则”等价.参考答案：②④略15.已知且则

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．参考答案：16.已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线直线y=2x+1截得的弦长为，求抛物线的方程．参考答案：y2=﹣4x，或y2=12x【考点】抛物线的简单性质．【分析】设出抛物线的方程，直线与抛物线方程联立消去y，进而根据韦达定理求得x1+x2，x1?x2的值，利用弦长公式求得|AB|，由AB=可求p，则抛物线方程可得．【解答】解：设直线与抛物线交于A（x1，y1），B（x2，y2）设抛物线的方程为y2=2px，与直线y=2x+1联立，消去y得4x2﹣（2p﹣4）x+1=0，则x1+x2=，x1?x2=．|AB|=|x1﹣x2|=?=，化简可得p2﹣4p﹣12=0，∴p=﹣2，或6∴抛物线方程为y2=﹣4x，或y2=12x．故答案为：y2=﹣4x，或y2=12x．17.已知A、B、C三点在曲线上，其横坐标依次为1，m，4（1＜m＜4），当△ABC的面积最大时，m等于．参考答案：考点：点到直线的距离公式．专题：计算题．分析：求出A、B、C三点的坐标，求出AC的方程，利用点到直线的距离公式求出三角形的高，推出面积的表达式，然后求解面积的最大值时的m值．解答：解：由题意知，直线AC所在方程为x﹣3y+2=0，点B到该直线的距离为，．∵m∈（1，4），∴当时，S△ABC有最大值，此时．故答案为：．点评：本题考查点到直线的距离公式的应用，三角形的面积的最值的求法，考查计算能力．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数，函数的导函数，且，其中为自然对数的底数．（1）求的极值；（2）若，使得不等式成立，试求实数的取值范围；（3）当时，对于，试比较与的大小，并加以证明．参考答案：(1)函数的定义域为，．当时，，在上为增函数，没有极值；当时，，若时，；若时，存在极大值，且当时，综上可知：当时，没有极值；当时，存在极大值，且当时，

(2)函数的导函数，，，，使得不等式成立，，使得成立，令，则问题可转化为：对于，，由于，当时，，，，，从而在上为减函数，

(3)当时，，令，则，，且在上为增函数设的根为，则，即当时，，在上为减函数；当时，，在上为增函数，，，由于在上为增函数，19.已知函数f（x）=﹣x2+mx﹣3（m∈R），g（x）=xlnx（Ⅰ）若f（x）在x=1处的切线与直线3x﹣y+3=0平行，求m的值；（Ⅱ）求函数g（x）在[a，a+2]（a＞0）上的最小值；（Ⅲ）?x∈（0，+∞）都有f（x）≤2g（x）恒成立，求实数m的取值范围．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，得到关于m的方程，求出m的值即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的最小值即可；（Ⅲ）问题转化为m≤x+2lnx+，x∈（0，+∞），设h（x）=x+2lnx+，x∈（0，+∞），根据函数的单调性求出m的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=﹣2x+m，因为f（x）在x=1处的切线与直线3x﹣y+3=0平行，所以f′（1）=﹣2+m=3，得m=5；（Ⅱ）g′（x）=1+lnx，令g′（x）=0，得x=，x（0，）（，+∞）g′（x）﹣0+g（x）单调递减极小值单调递增因为a＞0，a+2﹣a=2，当0＜a＜时，g（x）在[a，]单调递减，在[，a+2]上单调递增，所以函数g（x）在[a，a+2]上的最小值g（）=﹣；当a≥时，g（x）在[a，a+2]上单调递增，所以函数g（x）在[a，a+2]上的最小值g（a）=alna；（Ⅲ）因为?x∈（0，+∞）都有f（x）≤2g（x）恒成立，即f（x）﹣2g（x（=﹣x2+mx﹣3﹣2xlnx≤0，即m≤x+2lnx+，x∈（0，+∞），设h（x）=x+2lnx+，x∈（0，+∞），只需m≤h（x）min，h′（x）=，令h′（x）=0，得x=1x（0，1）1（1，+∞）h′（x）﹣0+h（x）单调递减极小值单调递增∴h（1）min=4，∴m≤4．20.已知椭圆M的中心为坐标原点，且焦点在x轴上，若M的一个顶点恰好是抛物线y2=8x的焦点，M的离心率，过M的右焦点F作不与坐标轴垂直的直线l，交M于A，B两点． （1）求椭圆M的标准方程； （2）设点N（t，0）是一个动点，且，求实数t的取值范围． 参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程． 【专题】计算题；向量与圆锥曲线． 【分析】（Ⅰ）由题意可求a，由=可求c，然后由b2=a2﹣c2可求b，进而可求椭圆方程 （Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），设l：x=my+1（m≠0），联立直线与椭圆方程，根据方程的根与系数关系可求y1+y2，由可得|NA|=|NB|，利用距离公式，结合方程的根与系数关系可得，结合二次函数的性质可求t的范围 【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线y2=8x的焦点F（2，0） ∴a=2 ∵= ∴c=1 ∴b2=a2﹣c2=3 ∴椭圆M的标准方程：（4分） （Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），设l：x=my+1（m∈R，m≠0） 联立方程可得（3m2+4）y2+6my﹣9=0 由韦达定理得①（6分） ∵ ∴|NA|=|NB| ∴= ∴ 将x1=my1+1，x2=my2+1代入上式整理得：， 由y1≠y2知（m2+1）（y1+y2）+m（2﹣2t）=0，将①代入得（10分） 所以实数t（12分） 【点评】本题主要考查了椭圆的性质在椭圆的方程求解中的应用，直线与椭圆的相交关系的应用及方程的根与系数关系的应用，属于直线与曲线关系的综合应用 21.一个四棱椎的三视图如图所示：（I）求证：PA⊥BD；（II）在线段PD上是否存在一点Q，使二面角Q﹣AC﹣D的平面角为30°？若存在，求的值；若不存在，说明理由．参考答案：【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；与二面角有关的立体几何综合题．【分析】（I）由三视图，可知四棱锥的底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，所以该四棱锥是一个正四棱锥．作出它的直观图，根据线面垂直的判定与性质，可证出PA⊥BD；（2）假设存在点Q，使二面角Q﹣AC﹣D的平面角为30°，由AC⊥平面PBD可得∠DOQ为二面角Q﹣AC﹣D的平面角，可证出在Rt△PDO中，OQ⊥PD，且∠PDO=60°，结合三角函数的计算可得=．【解答】解：（I）由三视图，可知四棱锥的底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形∴四棱锥P﹣ABCD为正四棱锥，底面ABCD为边长为2的正方形，且PA=PB=PC=PD，连接AC、BD交于点O，连接PO．

…∵PO⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴BD⊥PO，又∵BD⊥AC，PO、AC是平面PAC内的相交直线∴BD⊥平面PAC，结合PA?平面PAC，得BD⊥PA．…（II）假设存在点Q，使二面角Q﹣AC﹣D的平面角为30°∵AC⊥BD，AC⊥PO，BD、PO是平面PBD内的相交直线∴AC⊥平面PBD∴AC⊥OQ，可得∠DOQ为二面角Q﹣AC﹣D的平面角，…（8分）由三视图可知，BC=2，PA==2，在Rt△POD中，PD=2，OD=，则∠PDO=60°，在△DQO中，∠PDO=60°，且∠QOD=30°．所以DP⊥OQ．…（10分）结合OD=，得QD=ODcos60°=．可得==．因此存在PD上点Q，当DQ=PD时，二面角Q﹣AC﹣D的平面角为30°…（12分）【点评】本题给出四棱锥的三视图，要求将其还原成直观图并探索二面角的大小，着重考查了线面垂直的判定与性质和对三视图的理解等知识，属于中档题．22.（本小题满分13分）设函数，（Ⅰ）若在处有极值，求；

（Ⅱ）若在上为增函数，求