《角平分线的性质（第1课时）》课件 湘教版八年级数学下册

1.4.1角平分线的性质数学湘教版八年级下导入新知角平分线的概念一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。oBCA12作法：1、以____为圆心，______长为半径作圆弧，与角的两边分别交于M、N两点；2、分别以_____

为圆心，大于__________的长为半径作弧，两条圆弧交于∠AOB内一点____；3、作射线_____；_____就是所求作∠AOB的平分线。点O任意M、NPOPOPAＢNMP

Ｏ

导入新知尺规作角的平分线猜想：角平分线的性质折一折新知讲解将AOB对折,在折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么猜想?角平分线上的点到角的两边的距离相等新知讲解新知讲解如图，在∠AOB的平分线OC上任取一点P，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E，试问PD与PE相等吗？探究PD=PE你能证明这个结论吗？新知讲解∵OC是∠AOB的平分线∴∠DOP=∠EOP∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中，∵∠PDO=∠PEO，∠DOP=∠EOP，OP=OP，∴△PDO≌△PEO.(AAS)∴PD=PE.证明：新知讲解结论：角平分线的性质定理角的平分线上的点到角的两边的距离相等.几何语言：∵OC是∠AOB的平分线PD⊥OA，PE⊥OB∴PD=PE(角的平分线上的点到角的两边距离相等)定理应用所具备的条件：(1)角的平分线；(2)点在该平分线上(3)垂直距离定理的作用：证明线段相等新知讲解学以致用如图，E是∠AOB

的平分线上一点，EC⊥OA

于点C，ED⊥OB于点D.求证：（1）∠ECD=∠EDC；（2）OC=OD.证明（1）∵点E在∠BOA的平分线上，

EC⊥AO，ED⊥OB，∴ED=EC.∴△EDC

是个等腰三角形.∴∠ECD=∠EDC.学以致用（2）在Rt△OED和Rt△OEC中，∵OE=OE，ED=EC，∴Rt△OED≌Rt△OEC(HL).∴OD=OC.新知讲解思考：角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上吗？如图，点P在∠AOB的内部，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别在点D，E.若PD=PE.求证：点P在∠AOB的平分线上∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在Rt△PDO和Rt△PEO中，∵OP=OP，PD=PE，∴Rt△PDO≌Rt△PEO.∴∠AOC=∠BOC.∴OC是∠AOB的平分线，即点P在∠AOB的平分线OC上.新知讲解如图，过点Ｏ，Ｐ作射线ＯＣ.证明：新知讲解结论：角平分线的性质逆定理角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.几何语言：∵PD⊥OA，PE⊥OBPD=PE∴OC是∠AOB的平分线已知，如图，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE=DF学以致用新知讲解例1如图，∠BAD=∠BCD=90

°，∠1=∠2.（1）求证：点B在∠ABC的平分线上。（2）求证：BD是∠ABC的角平分线。ABCD12证明（1）在△ABC中，∵∠1=∠2

∴BA=BC又BA⊥AD，BC⊥CD∴点B在∠ABC的平分线上。（2）在Rt△BAD和Rt△BCD中，∵BA=BC，BD=BD∴Rt△BAD≌

Rt△BCD

∴∠ABD=∠CBD

∴BD是∠ABC的平分线。新知讲解学以致用如图，在△ABC中，AD⊥DE，BE⊥DE，AC，BC分别平分∠BAD，∠ABE，点C在线段DE上.求证：AB=AD+BE.M证明作CM⊥AB于点M.∵AC，BC分别平分∠BAD，∠ABE，

∴

CD=CM，CE=CM.在Rt△ACD和Rt△ACM中，∵CM=CD，AC=AC，∴Rt△ACD≌Rt△ACM.∴AD=AM.同理，BE=BM.又

AB=AM+BM，∴AB=AD+BE学以致用巩固提升1

.如图，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是（）

A、PD＝PE

B、OD＝OE

C、∠DPO＝∠EPO

D、PD＝OD2.在△ABC中，∠C=90゜，AD平分∠BAC交BC于D，BD：DC=3：2，点D到AB的距离为6，则BC长为（）A．10 B．20 C．15 D．25巩固提升3、如图

，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA=3，则PQ的最小值为

．34、如图，AD∥BC，∠ABC的角平分

线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E．若PE=2，则两平行线AD与BC间的距离为

．4巩固提升5、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．求证：AC=AE拓展提升