系统工程理论与方法系统建模

系统建模系统模型化概述模型是对实体的特征及其变化规律的一种表征或者抽象。模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征。

一、模型的定义

二、模型的分类物理模型：水箱中的舰艇、风洞中的飞机…符号模型：地图、电路图、分子结构图…

数学模型:对于一个现实对象，为了一个特定目的,作出必要的简化假设，根据对象的内在规律，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。

数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术。技术大致有章可循，艺术无法归纳成普遍适用的准则。想象力洞察力判断力例1马尔科夫模型——人口转移模型

居民流动权重有向图532141/21/81/41/41/31/61/163/43/81/161/163/101/41/41/101/22/104/10条件概率：pij=p(j|i)，在给定起始状态i的条件下，下一步出现j状态的概率。图示模型转移概率矩阵镇5镇1镇2镇3镇4镇1--2--3--镇1--镇2--4--5--镇1--3--4--5--2--3--4--第1年第2年第3年第4年第n年马尔可夫模型可用于计算事件的未来状态。

设最初人口分布比例向量为[1/81/81/81/81/2]，则可算出1年、2年后的人口分布比例向量。

用当前状态行向量×Pn，得到n年后的人口分布状态。一类时间、状态均为离散的随机动态过程。•系统在每个时期所处的状态是随机的•从一时期到下时期的状态按一定概率转移•下时期状态只取决于本时期状态和转移概率已知现在，将来与过去无关（无后效性）

马尔可夫过程

马尔可夫性质：马尔可夫链是随机变量X1,X2,X3,…的一个数列。如果Xn+1对于过去状态的条件概率分布仅是Xn的一个函数，则P(Xn+1=x∣X0,X1,X2,…，Xn)=P(Xn+1=x∣Xn)晴天阴天下雨晴天0.500.250.25阴天0.3750.250.375下雨001第四天天气概率分布如果Mn趋向于定值,马氏链具有稳定状态例2马尔可夫模型——人的健康状态转变（正则链）若某人投保时健康，问10年后他仍处于健康状态的概率。人的健康状况分为健康和疾病两种状态，设对特定年龄段的人，今年健康、明年保持健康状态的概率为0.8，而今年患病、明年转为健康状态的概率为0.7。人的健康状态随着时间的推移会随机的发生转变。保险公司要对投保人未来的健康状态作出估计，以制定保险金和理赔金的数额。稳态概率稳态概率例3马尔可夫模型——人的健康状态转变（吸收链）健康和疾病状态同例2，Xn=1~健康，Xn=2~疾病，Xn=3~死亡状态与状态转移设投保时处于健康状态，预测a(n),n=1,2…吸收链——存在吸收状态（一旦到达就不会离开的状态i,pii=1）,且从任一非吸收状态出发经有限次转移能以正概率到达吸收状态。正则链与吸收链是马尔科夫链的两个重要类型。必须指出的是，上述模型只适用于具有马尔科夫性的时间序列，并且各时刻的状态转移概率保持稳定。由于实际事物很难长期保持同一状态的转移概率，故此法一般适用于短期的趋势分析与预测。

马尔科夫模型的应用：1.市场占有率的预测2.等级结构的控制3.解释基因类型的演变例4莱氏(Leslie)人口模型年龄分组：假设女性人口按年龄分为[0,Δ],[Δ,2Δ],…,[(n-1)Δ,nΔ]各组。符号表示：令Fi(t)表示t时刻第i年龄组即[iΔ,(i+1)Δ]区间的女性人口，则人口的年龄分布向量F(t)=[F0(t),F1(t),…,Fn-1(t)]T。生存率：设pi为生存率，则Fi+1(t+Δ)=piFi(t)。生育率：令mi表示每个i年龄组的人在Δ年内的生育率，则在t+Δ时刻新婴孩数为：四个假设

莱氏矩阵Mk=0,1,2,…一般形式：

练习预测生物种群数2030454060608080120（a）（b）（c）动物种群直方图设Δ年后，F2全部死亡，F0和F1分别有1/4死亡，生育率m0=0,m1=1,m2=2。设某一时刻年龄段F0、F1、F2的数量分别为80、40、20，试求Δ年、2Δ年后该生物种群按年龄分布的向量。莱氏矩阵M=F(Δ)=F(2Δ)=F0F1F2§4-2常用建模方法

图解法主要用于变量不多（2～3个）而信息也不充分的条件下分析变量之间的定性关系。拟合法“理论”导向。首先根据某种假设选择一种模型，若所收集到的数据说明假设基本合理，则再进一步确定模型参数。机理法在研究系统运行机理的基础上提出假设，然后构建模型。

在市场供求规律和市场竞争压力的作用下，商品价格背离均衡点最终可能要向均衡点靠拢，达到所谓的市场均衡。

但是，有很多商品价格背离均衡点，却并不向均衡点靠拢。例5市场经济中的蛛网模型图解法现象图解法问题建立一个简化的数学模型描述这种现象。商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定。当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定。OSDACMBE需求曲线D与供应曲线S（稳定情况）价格p商品量qq1p1q2p2q3图解法供给关系：S曲线，增函数需求关系：D曲线，减函数M：平衡点(q0,p0)q1->p1->q2->p2->…,qk->q0,pk->p0，A->B->C->…->M，稳定图解法DDSSt1Q1P1t2Q2P2t3Q3P3(1)收敛型蛛网：

需求曲线的斜率绝对值kD

<供给曲线的斜率绝对值kSDDSSt1Q1P1t2Q2P2Q3t3P3（2）发散型蛛网：需求曲线斜率绝对值

>供给曲线的斜率绝对值t1t2Q1Q2P1P2(3)封闭型蛛网：需求曲线斜率绝对值

=供给曲线的斜率绝对值PtP0图解法结果解释α——商品数量减少1单位,价格上涨增量，即kDβ——价格上涨1单位,(下时段)供应的增量，即1/kSα

~消费者对需求的敏感程度，α小,有利于经济稳定β

~生产者对价格的敏感程度，β小,有利于经济稳定kD<kSα

β<1经济稳定

蛛网理论:考察价格波动对下一周期生产的影响，及由此产生的供求均衡变动情况，反映了市场价格与产量周期性波动规律。这种用需求曲线和供给曲线分析市场经济稳定性的图解法，称为蛛网模型。1.使α尽量小，如α=0需求曲线变为水平供应曲线变为竖直2.使β尽量小，如β=0以行政手段控制商品价格不变靠经济实力控制商品数量不变qp0p0SDqp0q0SD图解法经济不稳定时政府的干预办法（二）最小二乘法回归方程：设令解得有a和b，即可写出回归方程。拟合法其中X为自变量的观察值，为因变量的拟合值。例6使用最小二乘法的线性回归X大学毕业后工作年数Y年薪（＄1000）3308579641372336643115921901201683预测有10年工作经验的大学毕业生的年薪为多少？拟合法用方程表示工作年数和年薪之间的关系。以上数据a=23.6,b=3.5预测有10年工作经验的大学毕业生的年薪为＄58.6K。多元回归：多项式回归：定义新变量：可以转换为线性多元回归。拟合法例7城市人口和“生活节奏”的关系城市人口数PlogP平均时间T(s)平均速度V(英尺/s)13419485.5310.44.81210927596.048.55.88354913.7415.13.314498754.6910.24.90513400006.138.95.6263652.5618.12.76725003.4022.02.278782004.8913.03.8598670235.949.65.2110140004.1513.53.70拟合法对于非多项式趋势，如何拟合？线性转换函数常在“幂阶梯”中选择：用最小二乘法等方法确定参数。第五列：V=50/T

为了能够用直线拟合，进行转换：PlogP直线方程形式：V=b(logP)+a

拟合法例8最短停车距离模型问题：汽车行驶前方出现突发事件→紧急刹车；车速越快，停车距离越长；停车距离与车速之间是什么关系？(线性、…)停车距离：从司机决定刹车到车完全停止这段时间内汽车行驶的距离。拟合法问题分析停车距离:反应距离+刹车距离反应距离:“司机决定刹车到制动器开始起作用”的距离刹车距离:“制动器开始起作用到汽车完全停止”的距离反应距离反应时间车速司机状况制动系统灵活性刹车距离制动器作用力车重、车速道路、气候…最大制动力与车质量成正比,使汽车作匀减速运动拟合法车速v(英里/小时)反应距离dr(英尺)刹车距离dB(英尺)停车距离D(英尺)3030457550501251757070245315实验数据：D与v不是线性关系拟合法D=dr(反应距离)+dB(刹车距离)2112O···刹车距离和车速的转换关系曲线幂函数形式为：最短停车距离模型为：dr=v(英尺)经转换：logvlogdB拟合法§4-3系统模型体系系统结构模型化基础

比较有代表性的系统结构分析方法有：关联树（如问题树、目标树、决策树）法、解释结构模型（ISM）、系统动力学（SD）等。

解释结构模型（ISM）2023/2/46:0437Interpretativestructuralmodeling，简称ISM特点是，将系统构造成一个多级递阶的结构模型，并加以解释。可在可达矩阵M的基础上进行，一般要经过区域划分、级位划分、骨架矩阵提取和多级递阶有向图绘制等四个阶段。例

某系统由七个要素（S1，S2，…，S7）组成。经过两两判断认为：S2影响S1、S3影响S4、S4影响S5、S7影响S2、S4和S6相互影响。这样，该系统的基本结构可用要素集合S和二元关系集合Rb来表达，其中：S={S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7},Rb={（S2，S1），（S3，S4），（S4，S5），（S7，S2），（S4，S6），（S6，S4）}

2023/2/46:043851623742023/2/46:0439建立邻接矩阵如下A=可达矩阵（reachabilitymatrix）用矩阵形式来描述有向连接图各节点之间，经过一定长度的通路后可以到达的程度。（用布尔代数运算规则）A2描述了要素间通过两步（间接）到达的情况。矩阵M称为可达矩阵，它表明各节点间经过任意长的路径可以到达的情况。建立可达矩阵2023/2/46:0442（1）区域划分可达集R（Si）。Si的可达集是在可达矩阵或有向图中由Si可到达的诸要素所构成的集合，记为R（Si）。其定义式为：

R（Si）={Sj|Sj∈S，mij=1，j=1，2，…，n}i=1，2，…，n先行集A（Si）。系统要素Si的先行集是在可达矩阵或有向图中可到达Si的诸要素所构成的集合，记为A（Si）。其定义式为：

A（Si）={Sj|Sj∈S，mji=1，j=1，2，…，n}i=1，2，…，n共同集C（Si）。系统要素Si的共同集是Si在可达集和先行集的共同部分，即交集，记为C（Si）。其定义式为：C（Si）={Sj|Sj∈S，mij=1，mji=1，j=1，2，…，n}i=1，2，…，n2023/2/46:0443可达集、先行集、共同集关系示意图SiA（Si）C（Si）R（Si）

Si的可达集R（Si）、先行集A（Si）、共同集C（Si）之间的关系如下图所示：2023/2/46:0444起始集B（S）和终止集E（S）。系统要素集合S的起始集是在S中只影响（到达）其他要素而不受其他要素影响（不被其他要素到达）的要素所构成的集合，记为B（S）。B（S）中的要素在有向图中只有箭线流出，而无箭线流入，是系统的输入要素。

B（S）={Si|Si

∈S，C（Si）=A（Si），i=1，2，…，n}

B（S）={S3，S7}。

要区分系统要素集合S是否可分割，只要研究系统起始集B（S）中的要素及其可达集（或系统终止集E（Si）中的要素及其先行集要素）能否分割（是否相对独立）即可。2023/2/46:0445SiR（Si）A（Si）C（Si）B（S）123456711，23，4，5，64，5，654，5，61，2，71，2，72，733，4，63，4，5，63，4，671234，654，6737可达集、先行集、共同集和起始集列表若R(ni)∩R(nj)=Φ，则系统至少可划分为2个区域，ni和nj分别属于两个连通域。区域划分的结果可记为：

∏（S）=P1，P2，…，Pk，…，Pm

因为B（S）={S3，S7},且有R（S3）∩

R（S7）={S3，S4，S5，S6}

∩{S1，S2，S7}=ψ，所以S3及S4，

S5，

S6,S7与

S1，

S2分属两个相对独立的区域，即有：

∏（S）=P1，P2={S3，S4，S5，S6},{S1，S2，S7}这时的可达矩阵M变为如下的块对角矩阵：OO34561273456127M（P）=P1P2（2）级位划分级位划分，即确定某区域内各要素所处层次地位的过程。

最高级要素即系统的终止集要素。级位划分的做法是：找出最高级要素后，可将它们去掉，再求剩余要素集合的最高级要素。依次类推，直到确定出最低一级要素集合。对P1={S3，S4，S5，S6}进行级位划分（令LO=ψ）：要素集合SiR（S）A（S）C（S）C（S）=R（S）∏（P1）P1-L034563，4，5，64，5，654，5，633，4，63，4，5，63，4，634，654，6√L1={S5}P1-L0-L13463，4，64，64，633，4，63，4，634，64，6√√L1

={S4，S6}P1-L0-L1-L23333√L1

={S3}2023/2/46:0449对该区域进行级位划分的结果为：

∏（P1）=L1，L2

，L3={S5}，{S4，S6}，{S3}

同理可得对P2={S1，S2，S7}进行级位划分的结果为：

∏（P）=L1，L2

，L3=

{S1}，{S2}，{S7}

这时的可达矩阵为：2023/2/46:045054631275463127M（L）=L1L2L3L1L2L300区域块三角矩阵（3）求缩减可达矩阵M’若既有SiRSj，又有SjRSi，该二元关系为强连接关系，各要素之间存在替换性。在可达矩阵M(L)中，S4与S6行/列的相应元素完全相同，说明为强连接关系，所以只要选择其中一个为代表即可。543127543127M’（L）=L1L2L3L1L2L300区域下三角矩阵（4）提取骨架矩阵A’2023/2/46:0452对于给定系统，A的可达矩阵M是唯一的，但实现某一可达矩阵M的邻接矩阵A可以有多个。实现某一可达矩阵M、具有最小二元关系个数的邻接矩阵叫做M的最小实现二元关系矩阵，或骨架矩阵，记作A’。去掉M’(L)中已具有邻接二元关系的要素间的越级二元关系，得到经进一步简化后的新矩阵M’’（L）。

M’(L)中，已有第二级到第一级和第三级到第二级的邻接二元关系，即S4RS5、S2RS1和S3RS4、

S7RS2，故可去掉第三级到第一级的超级二元关系“S3R2S5”和“S7R2S1”，得：2023/2/46:0453543127543127M’’（L）=L1L2L3L1L2L300进一步去掉M’’（L）中自身到达的关系，即减去单位矩阵，将M’’（L）主对角线上的“1”全变为“0”，得到具有最少二元关系个数的骨架矩阵A’。2023/2/46:0454543127543127A’=M’’（L）-I=L1L2L3L1L2L300（5）绘制多级递阶有向图D（A’）

根据骨架矩阵A’，绘制出多级递阶有向图D（A’），即建立系统要素的递阶结构模型。分区域从上到下逐级排列系统构成要素。同级加入被删除的有强连接关系的要素，及相应的弧。按A’所示的邻接二元关系，用级间有向弧连接成有向图D（A’）。2023/2/46:0455递阶结构模型：

2023/2/46:0456S1S2S7S3S4S5S6第1级第2级第3级步骤邻接矩阵

有向图A=可达矩阵

M==骨干阵

缩减可达矩阵

R=R=s1s2s3s4s5s6s7s1s2s3s4s5s6s7s1s2s3s4s5s6s7ISM