线性系统可靠控制3

圆形、条形、扇形区域极点配置状态反馈控制器、动态输出反馈控制器设计、仿真。

闫浩2014.06.11题目问题的提出精确的极点配置必须以精确的数学模型为依据由于不确定性及各种扰动的存在，使得精确的极点配置不可实现精确的极点配置并非是唯一的途径，将系统的闭环极点配置在复平面上的一个适当区域，即可保证系统的动态特性和稳态特性系统区域稳定理论第一部分LMI区域的描述定义对复平面中的区域D，如果存在一个实对称矩阵，使得 则称D是一个线性矩阵不等式区域(简记为LMI区域)。矩阵值函数 称为LMI区域D的特征函数,特征函数维的Hermite矩阵，表示矩阵是负定的。是复数变量。的取值是和实矩阵说明：LMI区域是凸的（王老师46页有说明）LMI区域是关于复平面上的实轴对称的常见的LMI区域左半开复平面相应的特征值函数相应的特征值函数左半复平面的垂直条形区域相应的特征值函数如图阴影部分所示：相应的特征值函数由r>0可推出:复平面上半径为r，中心在(-q,0)的圆盘D(r,q)因此，相应的特征值函数可写为：D－稳定性分析定义

对复平面中给定的LMI区域D和实矩阵如果实矩阵A的所有特征值都位于区域D中，即，则称实矩阵A是D-稳定的。定理：给定LMI区域其中：，使得则实矩阵是D-稳定的充分必要条件是存在一个对称正定实矩阵证明：假定存在对称阵X满足MD(A,X)<0.设λ是矩阵A的任意特征值，且有应用Kronecker乘积的性质，可得由MD(A,X)<0和X>0可推出即由于的任意性，根据D-稳定的定义，可得矩阵A是D-稳定的，定理得证。（俞立101页）D稳定性定理的应用一、LMI区域为左半开复平面对于左半开复平面，其特征函数是则由D稳定性定理，可得，矩阵A的所有特征值均在左半开复平面的充分必要条件是存在对称正定矩阵X，使得Lyapunov不等式二、复平面上半径为r，中心在(-q,0)的圆盘D(r,q)对于圆盘D(r,q)，其特征函数是矩阵A的所有特征值均在圆盘D(q,r)的充分必要条件是存在对称正定矩阵X，使得

推论给定两个LMI区域D1和D2，矩阵A同时是D1-稳定和D2-稳定的充分必要条件是存在一个对称正定阵X，使得第三方圆形、条形、扇形区域极点配置状态反馈控制器设计及仿真第二部分圆形区域对于已知线性定常系统我们希望把系统的闭环极点配置在以一个指定的圆形区域中，设计状态反馈矩阵K，当给定系统的初始条件时，将系统的极点配置在指定圆形区域内。结论：系统在状态反馈控制下，其闭环系统所有极点在复平面区域D（q，r）内，当且仅当以下LMI：有矩阵解和Y，其中，K为状态反馈增益阵

证明：将式中的矩阵A替换成整理并引入一个新的变量可知定理成立。

实例仿真对于已知线性定常系统假设其参数分别为：希望的闭环极点配置在以-2为圆心，半径为2的圆内，则设计状态反馈矩阵K，当系统初始条件为时，画出其零输入响应曲线及系统的极点分布图。电枢电压控制的他激电机模型程序clearall;closeall;A=[0,1,0;0,0,1;0,-2,-3]B=[0;0;1];C=[1,0,0]r=2;q=2;setlmis([]);X=lmivar(1,[length(A),1]);Y=lmivar(2,[1,3]);lmiterm([1,1,1,1],-r,1);lmiterm([1,2,2,1],-r,1);lmiterm([1,1,2,1],A+q*eye(3),1);lmiterm([1,1,2,2],-B,1);lmis=getlmis;[tmin,xfeas]=feasp(lmis);X=dec2mat(lmis,xfeas,1)Y=dec2mat(lmis,xfeas,2)K=Y*inv(X)AA=A-B*K;sys=ss(AA,B,C,0);t=0:0.1:10;x0=[0.5;0.3;0.2];[y,t,x]=initial(sys,x0,t);figure(1)plot(t,x(:,1));gridxlabel('t');ylabel('x1');title('initialresponse');figure(2)plot(t,x(:,2));gridxlabel('t');ylabel('x2');title('initialresponse');figure(3)plot(t,x(:,3));gridxlabel('t');ylabel('x3');title('initialresponse');P=eig(sys);xx=real(P);yy=imag(P);figure(4)plot(xx,yy,'*'),holdonholdon;alpha=0:pi/100:2*pi;x=-q+r*cos(alpha);y=r*sin(alpha);plot(x,y)axisequal闭环系统极点分布图条形区域矩阵A的所有特征值均在h1，h2的垂直条形区域的充分必要条件是存在对称正定矩阵X，使得：成立结论：对于系统，存在增益矩阵K，使得系统的极点配置到D（h1，h2）区域的充分必要条件是存在正定对称矩阵X和矩阵P，使得其中，B1=AX+BP证明：根据前面条形LMI，使其与控制器构成的闭环系统满足：其中，G1=2h1X-[(A+BK)X+X(A+BK)]G2=[(A+BK)X+X(A+BK)-2h2X令P=KX，则实例仿真对于已知线性定常系统假设其参数分别为：希望的闭环极点配置在h1=-2，h2=-1的条形区域内，设计状态反馈矩阵K，画出极点分布图。电枢电压控制的他激电机模型程序clearall;closeall;A=[0,1,0;0,0,1;0,-2,-3]B=[0;0;1];C=[1,0,0]h1=-2;h2=-1;setlmis([]);X=lmivar(1,[3,1]);K=lmivar(2,[1,3]);P=lmivar(2,[1,3]);lmiterm([111X],.5*2*h1,1,'s');%LMI#1:2*h1*X(NONSYMMETRIC?)lmiterm([111X],A,-1,'s');%LMI#1:-A*X-X'*A'lmiterm([111P],B,-1,'s');%LMI#1:-B*P-P'*B'lmiterm([122X],A,1,'s');%LMI#1:A*X+X'*A'lmiterm([122P],B,1,'s');%LMI#1:B*P+P'*B'lmiterm([122X],.5*2*h2,-1,'s');%LMI#1:-2*h2*X(NONSYMMETRIC?)

D=getlmis;[tmin,xfeas]=feasp(D);X=dec2mat(D,xfeas,X);P=dec2mat(D,xfeas,P);K=P*inv(X);AA=A+B*K;sys=ss(AA,B,C,0);P=eig(sys);xx=real(P);yy=imag(P);figure(1)plot(xx,yy,'*'),holdonholdon;plot([-2,-2],[-4,4]);plot([-1,-1],[-4,4]);axisequal极点分布图扇形区域矩阵A的所有特征值均在以夹角的广义扇形区域的充分必要条件是存在正定对称矩阵X，使得结论：对于系统，存在增益矩阵K，使得系统的极点配置到区域的充分必要条件是存在正定对称矩阵X和矩阵P，使得其中，B1=AX+BP证明：根据前面扇形LMI，使其与控制器构成的闭环系统满足：其中，令P=KX，则实例仿真对于已知线性定常系统假设其参数分别为：希望的闭环极点配置在夹角为120度的扇形区域内，设计状态反馈矩阵K，画出极点分布图。clearall;closeall;A=[0,1,0;0,0,1;-10,-9,-4];B=[0;0;1];C=[1,0,0]setlmis([]);X=lmivar(1,[3,1]);P=lmivar(2,[1,3]);K=lmivar(2,[1,3]);lmiterm([111X],.5*0.867*A,1,'s');%LMI#1:0.867*A*X(NONSYMMETRIC?)lmiterm([111P],.5*0.867*B,1,'s');%LMI#1:0.867*B*P(NONSYMMETRIC?)lmiterm([111-X],.5*0.867,A','s');%LMI#1:0.867*X'*A'(NONSYMMETRIC?)lmiterm([111-P],.5*0.867,B','s');%LMI#1:0.867*P'*B'(NONSYMMETRIC?)lmiterm([121-X],0.5,A');%LMI#1:0.5*X'*A'lmiterm([121-P],0.5,B');%LMI#1:0.5*P'*B'lmiterm([121X],0.5*A,-1);%LMI#1:-0.5*A*Xlmiterm([121P],0.5*B,-1);%LMI#1:-0.5*B*Plmiterm([122X],.5*0.867*A,1,'s');%LMI#1:0.867*A*X(NONSYMMETRIC?)lmiterm([122P],.5*0.867*B,1,'s');%LMI#1:0.867*B*P(NONSYMMETRIC?)lmiterm([122-X],.5*0.867,A','s');%LMI#1:0.867*X'*A'(NONSYMMETRIC?)lmiterm([122-P],.5*0.867,B','s');%LMI#1:0.867*P'*B'(NONSYMMETRIC?)程序T=getlmis;[tmin,xfeas]=feasp(T);X=dec2mat(T,xfeas,X);P=dec2mat(T,xfeas,P);K=P*inv(X);AA=A-B*K;sys=ss(AA,B,C,0);P=eig(sys);xx=real(P);yy=imag(P);figure(1)plot(xx,yy,'*'),holdonholdon;x=-5:1:0;y=tan(pi/3)*x;plot(x,y);holdon;x=-5:1:0;y=-tan(pi/3)*x;plot(x,y);axisequal极点配置图第三方圆形、条形、扇形区域极点配置动态输出反馈控制器设计及仿真第三部分圆形区域线性定常系统动态输出反馈控制形式系统和控制器构成的闭环系统其中定理动态输出反馈控制器使闭环系统极点配置在以（-q，0）为圆心，r为半径圆域内的充分必要条件使存在正定矩阵X>0,Y>0和矩阵A1、B1、C1，使得线性矩阵不等式成立动态输出反馈控制器的参数为：其中矩阵M、N可有确定证明由前面结论极点配置在以（-q，0）为圆心，r为半径圆域内等价于，存在正定矩阵P>0，使得和因为所以设正定矩阵P设变换矩阵和设V=diag（U1，U1），在前面式子两端左乘右乘V，不等式等价于因为则因此，不等式等价于设可以得到给出的定理实例仿真飞机垂直翼的动态线性模型：设计动态输出反馈控制器使闭环极点配置在以（-3，0）为圆心，半径为2的圆形区域。程序clear;A=[0,0,1.132,0,-1;0,-0.0538,-0.1712,0,0.0705;0,0,0,1,0;0,0.0485,0,-0.8556,-1.013;0,-0.2909,0,1.0532,-0.6859];B=[0,0,0;-0.12,1,0;0,0,0;4.419,0,-1.665;1.575,0,-0.0732];C=[1,0,0,0,0;0,1,0,0,0;0,0,1,0,0];setlmis([]);X=lmivar(1,[5,1]);Y=lmivar(1,[5,1]);A1=lmivar(2,[5,5]);B1=lmivar(2,[5,3]);C1=lmivar(2,[3,5]);lmiterm([111X],.5*2,-1,'s');%LMI#1:-2*X(NONSYMMETRIC?)lmiterm([1210],-2);%LMI#1:-2lmiterm([122Y],.5*2,-1,'s');%LMI#1:-2*Y(NONSYMMETRIC?)lmiterm([131X],1,A);%LMI#1:X*Almiterm([131B1],1,C);%LMI#1:B1*Clmiterm([131X],3,1);%LMI#1:3*Xlmiterm([1320],A+3);%LMI#1:A+3lmiterm([133X],.5*2,-1,'s');%LMI#1:-2*X(NONSYMMETRIC?)lmiterm([1410],A+3);%LMI#1:A+3lmiterm([142Y],A,1);%LMI#1:A*Ylmiterm([142C1],B,1);%LMI#1:B*C1lmiterm([142Y],3,1);%LMI#1:3*Ylmiterm([1430],-2);%LMI#1:-2lmiterm([144Y],.5*2,-1,'s');%LMI#1:-2*Y(NONSYMMETRIC?)

lmiterm([-111X],1,1);%LMI#2:Xlmiterm([-1210],1);%LMI#2:1lmiterm([-122Y],1,1);%LMI#2:YQ=getlmis;[tmin,xfeas]=feasp(Q);X=dec2mat(Q,xfeas,X)Y=dec2mat(Q,xfeas,Y)A1=dec2mat(Q,xfeas,A1)B1=dec2mat(Q,xfeas,B1)C1=dec2mat(Q,xfeas,C1)I=[1,0,0,0,0;0,1,0,0,0;0,0,1,0,0;0,0,0,1,0,;0,0,0,0,1][U,S,V]=svd(I-X*Y);M=U;N=V*S;B0=inv(M)*B1C0=C1*inv(N')A0=inv(M)*A1*inv(N')-inv(M)*X*A*Y*inv(N')-B0*C*Y*inv(N')-inv(M)*X*B*C0Ac=[A,B*C0;B0*C,A0];P=eig(Ac);xx=real(P);yy=imag(P);figure(4)plot(xx,yy,'*'),holdonholdon;alpha=0:pi/100:2*pi;x=-3+2*cos(alpha);y=2*sin(alpha);plot(x,y)axisequal>>yuanSolverforLMIfeasibilityproblemsL(x)<R(x)ThissolverminimizestsubjecttoL(x)<R(x)+t*IThebestvalueoftshouldbenegativeforfeasibilityIteration:Bestvalueoftsofar

110.00371628.84431435.2245384-3.792018Result:bestvalueoft:-3.792018f-radiussaturation:0.002%ofR=1.00e+09

X=1.0e+03*2.1245-0.01610.0164-0.46040.9372-0.01611.9836-0.01220.0314-0.07050.0164-0.01222.0702-0.9510-0.4168-0.46040.0314-0.95101.82850.09110.9372-0.0705-0.41680.09111.6776Y=1.0e+03*1.31050.0072-0.51830.32860.92500.00721.9862-0.0091-0.00280.0056-0.5183-0.00910.8109-1.01550.08650.3286-0.0028-1.01552.3839-0.16020.92500.00560.0865-0.16022.2491A1=0000000000000000000000000B1=1.0e+03*-6.13550.3509-2.52260.0358-5.85800.43700.0819-0.0577-6.