概率论复习二2

概率的性质(p15)注意事项但反过来，如果P（A）=0，未必有A=Φ概率的有限可加性注：一般减法公式P(B－A)=P(B)－P(AB)。同理可得为事件B发生的条件下事件A发生的条件概率.条件概率

乘法公式

全概率公式与贝叶斯公式

全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率,它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用。综合运用加法公式P(AB)=P(A)+P(B)A、B互斥乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)P(A)>0样本空间的划分（互斥完备事件组）全概率公式p20全概率公式例1:某商店从三个厂购买了一批灯泡,甲厂占25%,乙厂占35%,丙厂占40%,各厂的次品率分别为5%,4%,2%,求消费者买到一只次品灯泡的概率解以B表示“消费者买到一只次灯泡”,A1,A2,A3分别表示买到的灯泡是甲、乙、丙厂生产的灯泡，根据题意得：P(A1)=25%,P(A2)=35%,P(A3)=40%,P(B|A1)=5%,P(B|A2)=4%,P(B|A3)=2%根据全概率公式有：称此为贝叶斯公式.

贝叶斯公式贝叶斯资料逆概公式——执果索因例：用血清蛋白法诊断肝癌，设C表示“被检验者患有肝癌”A表示“被检验者被判断患有肝癌”。由临床观测发现，对于肝癌者，此法准确率高达95%，即P(A|C)=0.95；对于非肝癌患者，此法准确率也高达90%，即已知肝癌患病率为万分之四，即P(C)=0.0004,现有一人被此检验法诊断为患有肝癌，求此人真正患有肝癌的概率P(C|A)解：由贝叶斯公式1.条件概率全概率公式贝叶斯公式乘法定理

事件A发生与否对B发生的概率没有影响可视为事件A与B相互独立.定义:则称事件A与事件B相互独立设A,B为两事件,若2.两个事件相互独立的性质性质1.

A,B独立独立独立独立.性质2.

A、B两个事件独立，则第二章随机变量及其分布定义：设X为一随机变量,则对任意实数x，(X≤x)是一个随机事件，称为随机变量X的分布函数定义域为（－∞，＋∞）；值域为［０，１］。分布函数的定义例:

设随机变量X只取两个值0和1，且P(X=1)=p，P(X=0)=q,

(

p

+

q

=1,0<p<1),试求X的分布函数.解分布函数的求法综上所述,X的分布函数为o1x1-p1例解综上所述,X的分布函数为1.定义则称X

为离散型随机变量.XP或若随机变量X的可能取值为：离散随机变量的分布列若随机变量X

的可能取值是有限个或可列个,

称上述公式或表格为r.v.X

的概率分布或分布列.或2.分布列的性质反之，若一个数列满足（1）（2），它也可以作为某一个r.v.的分布列。离散型随机变量的分布两点分布均匀分布二项分布泊松分布几何分布超几何分布二项分布泊松分布两点分布一、连续型r.v.的概率密度定义及性质1.定义

设随机变量X的分布函数为F(x)，若存在一个非负可积函数p(x),

使得则称X是连续型r.v.，称p(x)为r.v.

X的概率密度（密度函数）(p.d.f.).

(2)规范性2.概率密度函数的性质(1)非负性

p(x)0，(-<x<)；注1:

对满足上述两条性质的任意函数必是某一随机变量的密度函数.注2:利用密度函数可以求事件的概率(1)求A,(2)X的分布函数F(x),(3)例1：已知随机变量X的概率密度为解:(1)由密度函数的性质有（2）（3）二、几个常用的连续型分布则称X在[a,b]内服从均匀分布。记作X~U[a,b].

1.均匀分布

U(a,b)若r.v.X的p.d.f.为2.指数分布

则称X服从参数为>0的指数分布,记作X~E().若r.v.X的p.d.f.为定义例：某种晶体管寿命服从参数为1/1000的指数分布(单位：小时)。某电子仪器装配有此晶体管5个，并且每个晶体管损坏与否相互独立。求此电子仪器在1000小时内恰好有两个晶体管损坏的概率。解：设Xi表示第i只晶体管的寿命,（i=1,2,3,4,5）则Xi的密度函数为则以Y表示5只晶体管中寿命不小于1000小时的只数，则

正态分布(或高斯分布)注意:特别当

可以得到一种重要的正态分布－－标准正态分布N(0,1)密度函数分布函数例设X～N(108,9),计算解：（2）求常数a,使（3）求常数a,使查表得：例设X～N(108,9),计算解：（2）求常数a,使（3）求常数a,使即查表得：随机变量的函数的分布设随机变量X的分布列为求Y=2X2+1的分布列．解例由题设可得如下表格X－1012pk

0.20.30.40.1x-1012Y=2x2+13139P0.20.30.40.1所以，y=2x2+1的分布列为Y

139pk

0.30.60.1设X为一个连续型随机变量，其概率密度函数为p(x)。y=g(x)为一个连续函数，求随机变量Y=g(X)的概率密度函数(1)求Y的分布函数FY(y)根据分布函数的定义(2)对FY(y)求导，得到pY(y)

连续型随机变量的函数的分布一般方法此法也叫“分布函数法”.例.设R.v.X的密度函数为求的密度函数。解：例

已知

X~N(0,1),解：

(1)先求Ｙ分布函数当y<0时，FY(y)=0；当y≥0时，[yy[][(2)故第三章随机向量及其分布定义

设二维r.v.(X,Y)的分布函数为F(x,y),若存在非负可积函数p(x,y),使得对于任意实数x,y有：

则称p(x,y)为(X,Y)的联合概率密度函数简称概率密度函数简记

p.d.f.1.二维连续r.v.联合概率密度的定义及性质四、二维连续型随机变量除p.d.f.的一般性质外还有下述性质2.性质(3)(4)注:利用(X,Y)的概率密度函数,可以求事件的概率若G是平面上的区域，则例:设r.v.(X,Y)的联合密度函数求（1）常数c,（2）联合分布函数F(x,y)

（3）P(YX).解：（1）由二维连续型随机变量的边缘密度函数1.定义:我们把分量X及Y的密度函数称为二维随机变量(X,Y)关于X及关于Y的边缘密度函数.分别记为2.求法:例

设(X,Y)服从单位圆上的均匀分布，概率密度为求解：X的边缘密度为Y的边缘密度为第四章

随机变量的数字特征和特征函数1.r.v.取值的平均值——数学期望2.r.v.取值离开平均值的偏离程度—方差3.描述两个r.v.间的某种关系的数字特征——协方差与相关系数本章内容:数学期望，记作

E(X),即设连续型r.v.X

的p.d.f.

为若广义积分为X的数学期望记作E(X),

注：连续型r.v.的数学期望E（X）同样描述了X取值的平均值，它是一个数不再是r.v.（1）定义连续型r.v.的数学期望否则,称E(X)不存在.绝对收敛,则称此积分即分布参数数学期望方差两点分布二项分布泊松分布均匀分布指数分布正态分布常见r.v.的数学期望小结：1.设C是常数,则有2.设

X是一个随机变量,C是常数,则有数学期望的性质（以下设ＥＸ，ＥＹ存在）3.设

X,Y是两个随机变量,则有4.设

X,Y是相互独立的随机变量,则有定义：若存在,则称其为随机称DX为X的均方差或标准差，记作方差的定义

即变量X的方差,

记为DX或

Var(X)注1：方差非负，即DX0,把注2：DX描述r.v.X的取值偏离平均值的偏离

程度.分布参数数学期望方差两点分布二项分布泊松分布均匀分布指数分布正态分布方差的性质(1)设C是常数,则有(2)设X

是一个随机变量,C是常数,则有(3)设X,Y相互独立,D(X),D(Y)存在,则定理

设r.v.X的数学期望为E(X)=，方差为DX=2，则对于任意实数>0,有切比雪夫(chebyshev)不等式注：chebyshev不等式的等价形式称为X,Y的协方差.记为

COV(X,Y)

(１)利用公式Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).3.计算

定义

若

(X,Y)为二维离散型，