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文档简介
材料力学
MechanicsofMaterials
第五章梁弯曲位移
DisplacementsofBendingBeam1、避免变形过大车床主轴齿轮轴
桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行走困难,出现爬坡现象。2、利用变形车辆上的板弹簧,要求有足够大的变形,以缓解车辆受到的冲击和振动作用。(1)校核梁的刚度;(2)求解超静定梁(变形比较法)。讨论范围:等直梁对称弯曲变形, 小变形,材料在线弹性范围内。3、计算梁变形的目的§5-1梁的位移——挠度及转角
挠曲线:光滑连续的平面曲线
挠度:ω
梁截面转角:
FxCqC1
yω
变形后梁横截面变形前梁横截面坐标系:原点——梁左端;x轴——变形前梁的轴线,向右为正;y轴——与x轴重合,向下为正。q1.挠度ω:横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移(mm);
与坐标y
同向为正(↓),反之为负(↑)
2.转角:横截面绕其中性轴转动的角度(rad);
顺时针转动为正,反之为负
3.挠曲线:梁变形后,轴线变成的光滑曲线。其方程为ω
=f(x)——挠曲线(弹性曲线)
方程4.转角与挠曲线的关系小变形可见确定梁的位移,关键是确定挠曲线方程f(x)。§5-2梁的挠曲线近似微分方程-积分法一、梁的挠曲线近似微分方程挠曲线曲率:由高数,曲线曲率:纯弯曲剪力弯曲(l/h>10)∵小变形,ω'很小,∴ω'2<<1,可忽略不计,则有:,代入式(1),得到:
(1)yxM>0
yxM<0
图示坐标系中,M与ω''的正负号相反,故取“-”,则梁的挠曲线近似微分方程:
对于等截面直梁,可写成如下形式:近似:1、略去剪力对变形的影响;2、略去高阶微小量ω'2。 可见通过对梁的挠曲线近似微分方程两次积分,可求得梁的转角和挠度。二、积分法求梁的位移近似微分方程:一次积分:二次积分:1、思路2、积分常数的确定 由边界条件确定:(1)约束条件:梁支座处已知挠度和转角;(2)连续条件:各段交界处位移相同。ωC1=ωC2,θC1=θC2F
CAωA=0,θA=0ωA=0,ωB=0AB
①适用于小变形、线弹性材料、细长构件的平面弯曲;
②可应用于各种载荷的等截面或变截面梁的位移;
③优点——使用范围广,精确;
缺点——计算较繁。
①写出弯矩方程若弯矩不能用一个函数给出要分段写出;
②由挠曲线近似微分方程,积分出转角、挠度函数;
③利用边界条件、连续条件确定积分常数;
如果分
n段写出弯矩方程,则有
2n个积分常数
④求出指定截面的转角和挠度。积分法求梁变形的基本步骤
积分法适用范围
例1
求下列各梁的挠曲线方程及最大挠度和转角解:(1)弯矩方程约束条件:qlEIx(2)积分(3)求积分常数(4)求解x=0:解:由对称性,只考虑半跨梁ACD,FA=FB=qax1x2FAFBAC段CD段由连续条件:由边界条件:由对称条件:000(2a)02a梁的转角方程和挠曲线方程分别为:最大转角和最大挠度分别为:1、各段xi都以梁左端为原点;4、梁上有m,在M(x)中,把m项乘以(x-a)0,a为m到原点距离。按照上述规则,总有:C1=C2=…Cn=EIθ0,D1=D2=…Dn=EIω0,使得计算简化,且只要利用约束条件就可求出积分常数。2、(xi-ai)项,不要合并同类项,积分时看作整体;3、梁上有分布荷载时,延长至右端,在延长段上加等值、反向分布荷载;
积分法注意事项边界条件、连续条件应用举例aaqADBEaF弯矩图3段,共6个积分常数分三段,共6个积分常数
铰连接PACD§5-3叠加法求梁的位移一、叠加原理 积分法过于繁琐,如已知简单荷载作用下梁的位移,可以用叠加法求梁的位移。1、前提:(1)梁小变形;(2)材料服从胡克定律。2、原理:所得M(x)是荷载的线性函数,因而θ(x)、ω(x)也是荷载的线性函数。梁在多种(多个)荷载作用下产生的位移,等于每种(每个)荷载单独作用下产生的位移的代数和。即:
ω=∑ωi,θ=∑θi
叠加
AqPBCaa=
+
PABqAB§5-5梁的刚度条件及提高梁刚度的措施1.刚度条件
建筑钢梁的许可挠度:机械传动轴的许可转角:精密机床的许可转角:7-5根据要求,圆轴必须具有足够的刚度,以保证轴承B处转角不超过许用数值。
B1)由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁B处的转角为:
解§5-5梁的刚度条件及提高梁刚度的措施例5已知钢制圆轴左端受力为F=20kN,a=lm,l=2m,E=206GPa。轴承B处的许可转角θ=0.5°。根据刚度要求确定轴的直径d。例6已知钢制圆轴左端受力为F=20kN,a=lm,l=2m,E=206GPa。轴承B处的许可转角θ=0.5°。根据刚度要求确定轴的直径d。B2)由刚度条件确定轴的直径:§5-5梁的刚度条件及提高梁刚度的措施§5-5梁的刚度条件及提高梁刚度的措施2.提高梁刚度的措施1)选择合理的截面形状2)改善结构形式,减少弯矩数值改变支座形式§5-5梁的刚度条件及提高梁刚度的措施2)改善结构形式,减少弯矩数值改变载荷类型§5-5梁的刚度条件及提高梁刚度的措施3)采用超静定结构§5-5梁的刚度条件及提高梁刚度的措施3)采用超静定结构§5-5梁的刚度条件及提高梁刚度的措施1)选择合理的截面形状2)减少弯矩数值4)采用E大的材料??§5-6用变形比较法解简单超静定梁1.基本概念:超静定梁:未知力数目大于独立平衡方程数目的梁。多余约束:从维持平衡角度而言,多余的约束超静定次数:多余约束或多余约束反力的数目。2.求解方法:1)解除多余约束,建立基本体系;2)比较变形,列变形协调条件3)由物理关系建立补充方程4)利用静力平衡条件求其他约束反力。基本体系:用多余约束力代替多余
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