梁弯曲位移第五章

材料力学

MechanicsofMaterials

第五章梁弯曲位移

DisplacementsofBendingBeam1、避免变形过大车床主轴齿轮轴

桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行走困难，出现爬坡现象。2、利用变形车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形，以缓解车辆受到的冲击和振动作用。（1）校核梁的刚度；（2）求解超静定梁（变形比较法）。讨论范围：等直梁对称弯曲变形， 小变形，材料在线弹性范围内。3、计算梁变形的目的§5-1梁的位移——挠度及转角

挠曲线：光滑连续的平面曲线

挠度：ω

梁截面转角：

FxCqC1

yω

变形后梁横截面变形前梁横截面坐标系：原点——梁左端；x轴——变形前梁的轴线，向右为正；y轴——与x轴重合，向下为正。q1.挠度ω：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移（mm）;

与坐标y

同向为正(↓)，反之为负(↑)

2.转角：横截面绕其中性轴转动的角度（rad）；

顺时针转动为正，反之为负

3.挠曲线：梁变形后，轴线变成的光滑曲线。其方程为ω

=f(x)——挠曲线（弹性曲线）

方程4.转角与挠曲线的关系小变形可见确定梁的位移，关键是确定挠曲线方程f(x)。§5-2梁的挠曲线近似微分方程-积分法一、梁的挠曲线近似微分方程挠曲线曲率：由高数，曲线曲率：纯弯曲剪力弯曲(l/h＞10)∵小变形，ω'很小，∴ω'2＜＜1，可忽略不计，则有：，代入式（1），得到：

（1）yxM>0

yxM<0

图示坐标系中，M与ω''的正负号相反，故取“-”，则梁的挠曲线近似微分方程：

对于等截面直梁，可写成如下形式：近似：1、略去剪力对变形的影响；2、略去高阶微小量ω'2。 可见通过对梁的挠曲线近似微分方程两次积分，可求得梁的转角和挠度。二、积分法求梁的位移近似微分方程：一次积分：二次积分：1、思路2、积分常数的确定 由边界条件确定：（1）约束条件：梁支座处已知挠度和转角；（2）连续条件：各段交界处位移相同。ωC1=ωC2,θC1=θC2F

CAωA=0,θA=0ωA=0,ωB=0AB

①适用于小变形、线弹性材料、细长构件的平面弯曲;

②可应用于各种载荷的等截面或变截面梁的位移;

③优点——使用范围广，精确；

缺点——计算较繁。

①写出弯矩方程若弯矩不能用一个函数给出要分段写出；

②由挠曲线近似微分方程，积分出转角、挠度函数；

③利用边界条件、连续条件确定积分常数；

如果分

n段写出弯矩方程，则有

2n个积分常数

④求出指定截面的转角和挠度。积分法求梁变形的基本步骤

积分法适用范围

例1

求下列各梁的挠曲线方程及最大挠度和转角解：(1)弯矩方程约束条件：qlEIx(2)积分(3)求积分常数(4)求解x=0:解：由对称性，只考虑半跨梁ACD，FA=FB=qax1x2FAFBAC段CD段由连续条件：由边界条件：由对称条件：000(2a)02a梁的转角方程和挠曲线方程分别为：最大转角和最大挠度分别为：1、各段xi都以梁左端为原点；4、梁上有m，在M（x）中，把m项乘以（x-a）0，a为m到原点距离。按照上述规则，总有：C1=C2=…Cn=EIθ0，D1=D2=…Dn=EIω0，使得计算简化，且只要利用约束条件就可求出积分常数。2、（xi-ai）项，不要合并同类项，积分时看作整体；3、梁上有分布荷载时，延长至右端，在延长段上加等值、反向分布荷载；

积分法注意事项边界条件、连续条件应用举例aaqADBEaF弯矩图3段，共6个积分常数分三段，共6个积分常数

铰连接PACD§5-3叠加法求梁的位移一、叠加原理 积分法过于繁琐，如已知简单荷载作用下梁的位移，可以用叠加法求梁的位移。1、前提：（1）梁小变形；（2）材料服从胡克定律。2、原理：所得M(x)是荷载的线性函数，因而θ(x)、ω(x)也是荷载的线性函数。梁在多种（多个）荷载作用下产生的位移，等于每种（每个）荷载单独作用下产生的位移的代数和。即：

ω=∑ωi，θ=∑θi

叠加

AqPBCaa=

+

PABqAB§5-5梁的刚度条件及提高梁刚度的措施1.刚度条件

建筑钢梁的许可挠度：机械传动轴的许可转角：精密机床的许可转角：7-5根据要求，圆轴必须具有足够的刚度，以保证轴承B处转角不超过许用数值。

B1）由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁B处的转角为：

解§5-5梁的刚度条件及提高梁刚度的措施例5已知钢制圆轴左端受力为F＝20kN，a＝lm，l＝2m，E=206GPa。轴承B处的许可转角θ=0.5°。根据刚度要求确定轴的直径d。例6已知钢制圆轴左端受力为F＝20kN，a＝lm，l＝2m，E=206GPa。轴承B处的许可转角θ=0.5°。根据刚度要求确定轴的直径d。B2）由刚度条件确定轴的直径：§5-5梁的刚度条件及提高梁刚度的措施§5-5梁的刚度条件及提高梁刚度的措施2.提高梁刚度的措施1）选择合理的截面形状2）改善结构形式，减少弯矩数值改变支座形式§5-5梁的刚度条件及提高梁刚度的措施2）改善结构形式，减少弯矩数值改变载荷类型§5-5梁的刚度条件及提高梁刚度的措施3）采用超静定结构§5-5梁的刚度条件及提高梁刚度的措施3）采用超静定结构§5-5梁的刚度条件及提高梁刚度的措施1）选择合理的截面形状2）减少弯矩数值4）采用E大的材料？？§5-6用变形比较法解简单超静定梁1.基本概念：超静定梁：未知力数目大于独立平衡方程数目的梁。多余约束：从维持平衡角度而言,多余的约束超静定次数：多余约束或多余约束反力的数目。2.求解方法：1）解除多余约束，建立基本体系；2）比较变形，列变形协调条件3）由物理关系建立补充方程4）利用静力平衡条件求其他约束反力。基本体系：用多余约束力代替多余