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文档简介
第26讲矩形、菱形与正方形内容索引基础诊断梳理自测,理解记忆考点突破分类讲练,以例求法易错防范辨析错因,提升考能基础诊断返回知识梳理11.矩形有一个角是直角的平行四边形是矩形.矩形的四个角都是
,对角线相等且
.矩形的判定方法:(1)有三个角是直角的四边形;(2)是平行四边形且有一个角是直角;(3)对角线相等的平行四边形;(4)对角线相等且互相平分的四边形.直角互相平分2.菱形有一组邻边
的平行四边形叫做菱形.菱形的四条边都相等,对角线互相
,且每一条对角线平分一组
.菱形的判定方法:(1)四条边都相等;(2)有一组邻边相等的平行四边形;(3)对角线互相垂直的平行四边形;(4)对角线互相垂直平分的四边形.相等垂直平分对角3.正方形有一组邻边
且有一个角是
的平行四边形叫做正方形.正方形的四个角都是直角,四条边都相等,两条对角线相等,并且互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角.正方形的判定方法:(1)邻边相等的矩形;(2)有一个角是直角的菱形.直角相等4.平行四边形与矩形、菱形、正方形的联系(1)平行四边形与矩形的联系:在平行四边形的基础上,增加“一个角是直角”或“对角线相等”的条件可为矩形;若在四边形的基础上,则需有三个角是直角(第四个角必是直角)才可判定为矩形.(2)平行四边形与菱形的联系:在平行四边形的基础上,增加“一组邻边相等”或“对角线互相垂直”的条件可为菱形;若在四边形的基础上,则需有四边相等才可判定为菱形.(3)菱形、矩形与正方形的联系:正方形的判定可简记为:菱形+矩形=正方形,其证明思路有两个:①先证四边形是菱形,再证明它有一个角是直角或对角线相等(即矩形);②先证四边形是矩形,再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直(即菱形).1.(2016·益阳)下列判断错误的是(
)A.两组对边分别相等的四边形是平行四边形B.四个内角都相等的四边形是矩形C.四条边都相等的四边形是菱形D.两条对角线垂直且平分的四边形是正方形诊断自测212345D解析两条对角线互相垂直、平分且相等的四边形才是正方形.2.(2016·菏泽)在▱ABCD中,AB=3,BC=4,当▱ABCD的面积最大时,下列结论正确的有(
)①AC=5;②∠A+∠C=180°;③AC⊥BD;④AC=BD.A.①②③ B.①②④C.②③④ D.①③④1234解析根据题意得,当▱ABCD的面积最大时,四边形ABCD为矩形,∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AC=BD,B53.(2016·无锡)下列性质中,菱形具有而矩形不一定具有的是(
)A.对角线相等 B.对角线互相平分C.对角线互相垂直 D.邻边互相垂直1234C解析A.对角线相等是矩形具有的性质,菱形不一定具有;B.对角线互相平分是菱形和矩形共有的性质;C.对角线互相垂直是菱形具有的性质,矩形不一定具有;D.邻边互相垂直是矩形具有的性质,菱形不一定具有.512344.(2015·梧州)如图,在菱形ABCD中,∠B=60°,AB=1,延长AD到点E,使DE=AD,延长CD到点F,使DF=CD,连接AC、CE、EF、AF,则下列描述正确的是(
)B51234解析∵DE=AD,DF=CD,∴四边形ACEF是平行四边形,∵四边形ABCD为菱形,∠B=60°,AB=1,∴∠ADC=60°,AD=CD=1,∴△ACD是等边三角形,∴AE=CF,∴四边形ACEF是矩形,∴AC=EF=1.过点D作DG⊥AF于点G,512345123455.(2016·聊城)如图,把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后,点A落在CD边上的点A′处,点B落在点B′处,若∠2=40°,则图中∠1的度数为(
)AA.115° B.120°C.130° D.140°解析∵把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后,点A落在CD边上的点A′处,点B落在点B′处,∴∠1=∠EFB′,∠B′=∠B=90°,∵∠2=40°,∴∠CFB′=50°,∴∠1+∠EFB′-∠CFB′=180°,即∠1+∠1-50°=180°,解得:∠1=115°.返回考点突破返回例1
(2016·福州)如图,矩形ABCD中,AB=4,AD=3,M是边CD上一点,将△ADM沿直线AM对折,得到△ANM.
(1)当AN平分∠MAB时,求DM的长;考点一矩形的性质与判定答案解由折叠性质得:△ANM≌△ADM,∴∠MAN=∠DAM,∵AN平分∠MAB,∴∠MAN=∠NAB,∴∠DAM=∠MAN=∠NAB,∵四边形ABCD是矩形,∴∠DAB=90°,∴∠DAM=30°,(2)连接BN,当DM=1时,求△ABN的面积;答案解延长MN交AB延长线于点Q,如答图1所示,∵四边形ABCD是矩形,∴AB∥DC,∴∠DMA=∠MAQ,由折叠性质得:△ANM≌△ADM,∴∠DMA=∠AMQ,AN=AD=3,MN=DM=1,∴∠MAQ=∠AMQ,∴MQ=AQ,设NQ=x,则AQ=MQ=1+x,∵∠ANM=90°,∴∠ANQ=90°,在Rt△ANQ中,由勾股定理得:AQ2=AN2+NQ2,即(x+1)2=32+x2,解得:x=4,答案∴NQ=4,AQ=5,∵AB=4,AQ=5,(3)当射线BN交线段CD于点F时,求DF的最大值.答案规律方法解过点A作AH⊥BF于点H,如答图2所示,∵四边形ABCD是矩形,∴AB∥DC,∴∠HBA=∠BFC,∵∠AHB=∠BCF=90°,答案规律方法∵AH≤AN=3,AB=4,∴当点N、H重合(即AH=AN)时,AH最大,BH最小,CF最小,DF最大,此时点M、F重合,B、N、M三点共线,如答图3所示,由折叠性质得:AD=AH,∵AD=BC,∴AH=BC,在△ABH和△BFC中,规律方法∴△ABH≌△BFC(AAS),∴CF=BH,本题考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识.本题综合性强,难度较大,熟练掌握矩形和折叠的性质,证明三角形相似和三角形全等是解决问题的关键.规律方法练习1答案(2016·十堰)如图,将矩形纸片ABCD(AD>AB)折叠,使点C刚好落在线段AD上,且折痕分别与边BC,AD相交,设折叠后点C,D的对应点分别为点G,H,折痕分别与边BC,AD相交于点E,F.(1)判断四边形CEGF的形状,并证明你的结论;解证明:∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠GFE=∠FEC,∵图形翻折后点G与点C重合,EF为折线,∴∠GEF=∠FEC,∴∠GFE=∠FEG,∴GF=GE,∵图形翻折后EC与GE完全重合,∴EC=GE,∴GF=EC,∴四边形CEGF为菱形.答案(2)若AB=3,BC=9,求线段CE的取值范围.答案解如答图1,当F与D重合时,CE取最小值,由折叠的性质得,CD=DG,∠CDE=∠GDE=45°,∵∠ECD=90°,∴∠DEC=45°=∠CDE,∴CE=CD=DG,∵DG∥CE,∴四边形CEGD是正方形,∴CE=CD=AB=3;如答图2,当G与A重合时,CE取最大值,由折叠的性质得,AE=CE,∵∠B=90°,∴AE2=AB2+BE2,即CE2=32+(9-CE)2,解得:CE=5,∴线段CE的取值范围为3≤CE≤5.菱形的性质与判定考点二例2
(2016·沈阳)如图,△ABC≌△ABD,点E在边AB上,CE∥BD,连接DE.求证:(1)∠CEB=∠CBE;答案证明
∵△ABC≌△ABD,∴∠ABC=∠ABD,∵CE∥BD,∴∠CEB=∠DBE,∴∠CEB=∠CBE.(2)四边形BCED是菱形.答案规律方法证明
∵△ABC≌△ABD,∴BC=BD,∵∠CEB=∠CBE,∴CE=CB,∴CE=BD,∵CE∥BD,∴四边形BCED是平行四边形,∵BC=BD,∴四边形BCED是菱形.规律方法本题考查全等三角形的性质、菱形的判定、平行四边形的判定等知识,熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键,记住平行四边形、菱形的判定方法,属于中考常考题型.(2016·苏州)如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.(1)证明:四边形ACDE是平行四边形;练习2答案解证明:∵四边形ABCD是菱形,∴AB∥CD,AC⊥BD,∴AE∥CD,∠AOB=90°,∵DE⊥BD,即∠EDB=90°,∴∠AOB=∠EDB,∴DE∥AC,∴四边形ACDE是平行四边形.(2)若AC=8,BD=6,求△ADE的周长.答案解∵四边形ABCD是菱形,AC=8,BD=6,∴AO=4,DO=3,AD=CD=5,∵四边形ACDE是平行四边形,∴AE=CD=5,DE=AC=8,∴△ADE的周长=AD+AE+DE=5+5+8=18.考点三
正方形的性质与判定A.2 B.3 C.4 D.5B答案分析规律方法分析
①∵四边形ABCD是正方形,∴∠GAD=∠ADO=45°,故①正确.②由折叠的性质可得:AE=EF,∠EFD=∠EAD=90°,∴AE=EF<BE,分析规律方法③∵∠AOB=90°,∴AG=FG>OG,△AGD与△OGD同高,∴S△AGD>S△OGD,故③错误.④∵∠EFD=∠AOF=90°,∴EF∥AC,∴∠FEG=∠AGE,∵∠AGE=∠FGE,∴∠FEG=∠FGE,∴EF=GF,∵AE=EF,∴AE=GF,∴四边形AEFG是菱形,故④正确.⑤∵四边形AEFG是菱形,∴∠OGF=∠OAB=45°,分析规律方法⑥∵四边形AEFG是菱形,∠BAO=45°,∠GOF=90°,∴△OGF是等腰直角三角形,∴AE=GF=2,分析规律方法综上可知,其中正确结论的序号是:①④⑤.规律方法本题考查的是四边形综合题,涉及到正方形的性质、折叠的性质、等腰直角三角形的性质以及菱形的判定与性质等知识.本题综合性较强,难度较大,注意掌握折叠前后图形的对应关系,注意数形结合思想的应用.规律方法练习3答案(2016·临沂)如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别是边BC,AB上的点,且CE=BF.连接DE,过点E作EG⊥DE,使EG=DE,连接FG,FC.(1)请判断:FG与CE的数量关系是____________,位置关系是____________;解
FG=CE;FG∥CE.FG=CEFG∥CE答案(2)如图2,若点E,F分别是边CB,BA延长线上的点,其它条件不变,(1)中结论是否仍然成立?请作出判断并给予证明;解
FG=CE,FG∥CE.理由如下:过点G作GH⊥CB的延长线于点H,∵EG⊥DE,∴∠GEH+∠DEC=90°,∵∠GEH+∠EGH=90°,∴∠DEC=∠EGH,在△HGE和△CED中,∵∠GHE=∠ECD,∠EGH=∠DEC,EG=DE,∴△HGE≌△CED(AAS),∴GH=CE,HE=CD,∵CE=BF,∴GH=BF,答案∵GH∥BF,∴四边形GHBF是矩形,∴FG=BH,FG∥CH,∴FG∥CE,∵四边形ABCD是正方形,∴CD=BC,∴HE=BC,∴HE+EB=BC+EB,∴BH=CE,∴FG=CE.答案(3)如图3,若点E,F分别是边BC,AB延长线上的点,其它条件不变,(1)中结论是否仍然成立?请直接写出你的判断.解
∵四边形ABCD是正方形,∴BC=CD,∠FBC=∠ECD=90°,在△CBF与△DCE中,∵BF=CE,∠FBC=∠ECD,BC=DC,∴△CBF≌△DCE(SAS),∴∠BCF=∠CDE,CF=DE,∵EG=DE,∴CF=EG,∵DE⊥EG,∴∠DEC+∠CEG=90°,∵∠CDE+∠DEC=90°,∴∠CDE=∠CEG,∴∠BCF=CEG,∴CF∥EG,∴四边形CEGF是平行四边形,∴FG∥CE,FG=CE.返回易错防范返回易错警示系列
26不认真画图导致错误试题在△ABC的两边AB、AC上向形外作正方形ABEF、ACGH,过点A作BC的垂线分别交BC于点D,交FH于M,求证:FM=MH.错误答案展示证明:如图,∵四
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