浙江省2017年中考数学总复习第26讲矩形菱形与正方形课件

第26讲矩形、菱形与正方形内容索引基础诊断梳理自测，理解记忆考点突破分类讲练，以例求法易错防范辨析错因，提升考能基础诊断返回知识梳理11.矩形有一个角是直角的平行四边形是矩形.矩形的四个角都是

，对角线相等且

.矩形的判定方法：(1)有三个角是直角的四边形；(2)是平行四边形且有一个角是直角；(3)对角线相等的平行四边形；(4)对角线相等且互相平分的四边形.直角互相平分2.菱形有一组邻边

的平行四边形叫做菱形.菱形的四条边都相等，对角线互相

，且每一条对角线平分一组

.菱形的判定方法：(1)四条边都相等；(2)有一组邻边相等的平行四边形；(3)对角线互相垂直的平行四边形；(4)对角线互相垂直平分的四边形.相等垂直平分对角3.正方形有一组邻边

且有一个角是

的平行四边形叫做正方形.正方形的四个角都是直角，四条边都相等，两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角.正方形的判定方法：(1)邻边相等的矩形；(2)有一个角是直角的菱形.直角相等4.平行四边形与矩形、菱形、正方形的联系(1)平行四边形与矩形的联系：在平行四边形的基础上，增加“一个角是直角”或“对角线相等”的条件可为矩形；若在四边形的基础上，则需有三个角是直角(第四个角必是直角)才可判定为矩形.(2)平行四边形与菱形的联系：在平行四边形的基础上，增加“一组邻边相等”或“对角线互相垂直”的条件可为菱形；若在四边形的基础上，则需有四边相等才可判定为菱形.(3)菱形、矩形与正方形的联系：正方形的判定可简记为：菱形＋矩形＝正方形，其证明思路有两个：①先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等(即矩形)；②先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直(即菱形).1.(2016·益阳)下列判断错误的是(

)A.两组对边分别相等的四边形是平行四边形B.四个内角都相等的四边形是矩形C.四条边都相等的四边形是菱形D.两条对角线垂直且平分的四边形是正方形诊断自测212345D解析两条对角线互相垂直、平分且相等的四边形才是正方形.2.(2016·菏泽)在▱ABCD中，AB＝3，BC＝4，当▱ABCD的面积最大时，下列结论正确的有(

)①AC＝5；②∠A＋∠C＝180°；③AC⊥BD；④AC＝BD.A.①②③ B.①②④C.②③④ D.①③④1234解析根据题意得，当▱ABCD的面积最大时，四边形ABCD为矩形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AC＝BD，B53.(2016·无锡)下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是(

)A.对角线相等 B.对角线互相平分C.对角线互相垂直 D.邻边互相垂直1234C解析A.对角线相等是矩形具有的性质，菱形不一定具有；B.对角线互相平分是菱形和矩形共有的性质；C.对角线互相垂直是菱形具有的性质，矩形不一定具有；D.邻边互相垂直是矩形具有的性质，菱形不一定具有.512344.(2015·梧州)如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝1，延长AD到点E，使DE＝AD，延长CD到点F，使DF＝CD，连接AC、CE、EF、AF，则下列描述正确的是(

)B51234解析∵DE＝AD，DF＝CD，∴四边形ACEF是平行四边形，∵四边形ABCD为菱形，∠B＝60°，AB＝1，∴∠ADC＝60°，AD＝CD＝1，∴△ACD是等边三角形，∴AE＝CF，∴四边形ACEF是矩形，∴AC＝EF＝1.过点D作DG⊥AF于点G，512345123455.(2016·聊城)如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，若∠2＝40°，则图中∠1的度数为(

)AA.115° B.120°C.130° D.140°解析∵把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，∴∠1＝∠EFB′，∠B′＝∠B＝90°，∵∠2＝40°，∴∠CFB′＝50°，∴∠1＋∠EFB′－∠CFB′＝180°，即∠1＋∠1－50°＝180°，解得：∠1＝115°.返回考点突破返回例1

(2016·福州)如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM.

(1)当AN平分∠MAB时，求DM的长；考点一矩形的性质与判定答案解由折叠性质得：△ANM≌△ADM，∴∠MAN＝∠DAM，∵AN平分∠MAB，∴∠MAN＝∠NAB，∴∠DAM＝∠MAN＝∠NAB，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，∴∠DAM＝30°，(2)连接BN，当DM＝1时，求△ABN的面积；答案解延长MN交AB延长线于点Q，如答图1所示，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，∴∠DMA＝∠MAQ，由折叠性质得：△ANM≌△ADM，∴∠DMA＝∠AMQ，AN＝AD＝3，MN＝DM＝1，∴∠MAQ＝∠AMQ，∴MQ＝AQ，设NQ＝x，则AQ＝MQ＝1＋x，∵∠ANM＝90°，∴∠ANQ＝90°，在Rt△ANQ中，由勾股定理得：AQ2＝AN2＋NQ2，即(x＋1)2＝32＋x2，解得：x＝4，答案∴NQ＝4，AQ＝5，∵AB＝4，AQ＝5，(3)当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值.答案规律方法解过点A作AH⊥BF于点H，如答图2所示，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，∴∠HBA＝∠BFC，∵∠AHB＝∠BCF＝90°，答案规律方法∵AH≤AN＝3，AB＝4，∴当点N、H重合(即AH＝AN)时，AH最大，BH最小，CF最小，DF最大，此时点M、F重合，B、N、M三点共线，如答图3所示，由折叠性质得：AD＝AH，∵AD＝BC，∴AH＝BC，在△ABH和△BFC中，规律方法∴△ABH≌△BFC(AAS)，∴CF＝BH，本题考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识.本题综合性强，难度较大，熟练掌握矩形和折叠的性质，证明三角形相似和三角形全等是解决问题的关键.规律方法练习1答案(2016·十堰)如图，将矩形纸片ABCD(AD＞AB)折叠，使点C刚好落在线段AD上，且折痕分别与边BC，AD相交，设折叠后点C，D的对应点分别为点G，H，折痕分别与边BC，AD相交于点E，F.(1)判断四边形CEGF的形状，并证明你的结论；解证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠GFE＝∠FEC，∵图形翻折后点G与点C重合，EF为折线，∴∠GEF＝∠FEC，∴∠GFE＝∠FEG，∴GF＝GE，∵图形翻折后EC与GE完全重合，∴EC＝GE，∴GF＝EC，∴四边形CEGF为菱形.答案(2)若AB＝3，BC＝9，求线段CE的取值范围.答案解如答图1，当F与D重合时，CE取最小值，由折叠的性质得，CD＝DG，∠CDE＝∠GDE＝45°，∵∠ECD＝90°，∴∠DEC＝45°＝∠CDE，∴CE＝CD＝DG，∵DG∥CE，∴四边形CEGD是正方形，∴CE＝CD＝AB＝3；如答图2，当G与A重合时，CE取最大值，由折叠的性质得，AE＝CE，∵∠B＝90°，∴AE2＝AB2＋BE2，即CE2＝32＋(9－CE)2，解得：CE＝5，∴线段CE的取值范围为3≤CE≤5.菱形的性质与判定考点二例2

(2016·沈阳)如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE.求证：(1)∠CEB＝∠CBE；答案证明

∵△ABC≌△ABD，∴∠ABC＝∠ABD，∵CE∥BD，∴∠CEB＝∠DBE，∴∠CEB＝∠CBE.(2)四边形BCED是菱形.答案规律方法证明

∵△ABC≌△ABD，∴BC＝BD，∵∠CEB＝∠CBE，∴CE＝CB，∴CE＝BD，∵CE∥BD，∴四边形BCED是平行四边形，∵BC＝BD，∴四边形BCED是菱形.规律方法本题考查全等三角形的性质、菱形的判定、平行四边形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键，记住平行四边形、菱形的判定方法，属于中考常考题型.(2016·苏州)如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.(1)证明：四边形ACDE是平行四边形；练习2答案解证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD，∴AE∥CD，∠AOB＝90°，∵DE⊥BD，即∠EDB＝90°，∴∠AOB＝∠EDB，∴DE∥AC，∴四边形ACDE是平行四边形.(2)若AC＝8，BD＝6，求△ADE的周长.答案解∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，∴AO＝4，DO＝3，AD＝CD＝5，∵四边形ACDE是平行四边形，∴AE＝CD＝5，DE＝AC＝8，∴△ADE的周长＝AD＋AE＋DE＝5＋5＋8＝18.考点三

正方形的性质与判定A.2 B.3 C.4 D.5B答案分析规律方法分析

①∵四边形ABCD是正方形，∴∠GAD＝∠ADO＝45°，故①正确.②由折叠的性质可得：AE＝EF，∠EFD＝∠EAD＝90°，∴AE＝EF＜BE，分析规律方法③∵∠AOB＝90°，∴AG＝FG＞OG，△AGD与△OGD同高，∴S△AGD＞S△OGD，故③错误.④∵∠EFD＝∠AOF＝90°，∴EF∥AC，∴∠FEG＝∠AGE，∵∠AGE＝∠FGE，∴∠FEG＝∠FGE，∴EF＝GF，∵AE＝EF，∴AE＝GF，∴四边形AEFG是菱形，故④正确.⑤∵四边形AEFG是菱形，∴∠OGF＝∠OAB＝45°，分析规律方法⑥∵四边形AEFG是菱形，∠BAO＝45°，∠GOF＝90°，∴△OGF是等腰直角三角形，∴AE＝GF＝2，分析规律方法综上可知，其中正确结论的序号是：①④⑤.规律方法本题考查的是四边形综合题，涉及到正方形的性质、折叠的性质、等腰直角三角形的性质以及菱形的判定与性质等知识.本题综合性较强，难度较大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用.规律方法练习3答案(2016·临沂)如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AB上的点，且CE＝BF.连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG＝DE，连接FG，FC.(1)请判断：FG与CE的数量关系是____________，位置关系是____________；解

FG＝CE；FG∥CE.FG＝CEFG∥CE答案(2)如图2，若点E，F分别是边CB，BA延长线上的点，其它条件不变，(1)中结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明；解

FG＝CE，FG∥CE.理由如下：过点G作GH⊥CB的延长线于点H，∵EG⊥DE，∴∠GEH＋∠DEC＝90°，∵∠GEH＋∠EGH＝90°，∴∠DEC＝∠EGH，在△HGE和△CED中，∵∠GHE＝∠ECD，∠EGH＝∠DEC，EG＝DE，∴△HGE≌△CED(AAS)，∴GH＝CE，HE＝CD，∵CE＝BF，∴GH＝BF，答案∵GH∥BF，∴四边形GHBF是矩形，∴FG＝BH，FG∥CH，∴FG∥CE，∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝BC，∴HE＝BC，∴HE＋EB＝BC＋EB，∴BH＝CE，∴FG＝CE.答案(3)如图3，若点E，F分别是边BC，AB延长线上的点，其它条件不变，(1)中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断.解

∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠FBC＝∠ECD＝90°，在△CBF与△DCE中，∵BF＝CE，∠FBC＝∠ECD，BC＝DC，∴△CBF≌△DCE(SAS)，∴∠BCF＝∠CDE，CF＝DE，∵EG＝DE，∴CF＝EG，∵DE⊥EG，∴∠DEC＋∠CEG＝90°，∵∠CDE＋∠DEC＝90°，∴∠CDE＝∠CEG，∴∠BCF＝CEG，∴CF∥EG，∴四边形CEGF是平行四边形，∴FG∥CE，FG＝CE.返回易错防范返回易错警示系列

26不认真画图导致错误试题在△ABC的两边AB、AC上向形外作正方形ABEF、ACGH，过点A作BC的垂线分别交BC于点D，交FH于M，求证：FM＝MH.错误答案展示证明：如图，∵四