机械振动基础第三章二自由度系统

§3.1引言第3章二自由度系统多自由度系统指需要用两个或两个以上的独立坐标才能描述其运动的振动系统。二自由度系统是最简单的多自由度系统。矩阵知识补充§3.2运动微分方程例3.1图为典型的二自由度弹簧、阻尼器质量系统。用牛顿第二定律建立它的运动微分方程：

1)分别在ml，m2建立坐标系Xl;X2以描述m1，m2的振动。坐标原点O1，O2分别取m1，m2的静平衡位置。向右为坐标正向。

2)设m1，m2在F1(t),F2(t)作用下沿各自的坐标正向分别移动了x1，x2，分析此时m1，m2的受力情况。列微分方程的第一种方法：根据牛顿第二定律可以得到：

整理得：在多自由度系统振动理论中，广泛使用矩阵记号。

记：位移向量

加速度向量

速度向量激励向量

设

分别为系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵。

则

记为：

即：这种用矩阵写出的运动微分方程与单自由度系统的运动微分方程非常相似。

质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵完全决定了系统的性质。

从上面的例子可以看出，这三个矩阵均是对称矩阵，即系统的动能为

系统的弹性势能为

能量耗散函数

列微分方程的第二种方法：能量法利用这三个函数可以分别求出三个矩阵的各个元素

1)求出系统的动能、势能和能量耗散函数，2)然后利用式(3.3)求出系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵。3)最终求出系统的运动微分方程。好处：由于系统的动能、势能和能量耗散函数是标量，可以不考虑力的方向，免去了许多麻烦。因此：列微分方程有两种方式：1)牛顿法：隔离体受力分析2)求偏导法：求系统动能\势能和能量耗散函数，再求导（推荐方法）列微分方程的第二种方法：能量法基本步骤——弹性元件k2和阻尼元件c2使得系统的两个质量的振动相互影响，并使刚度矩阵和阻尼矩阵不是对角矩阵.一般多自由度系统的运动微分方程中的质量、阻尼和刚度矩阵都可能不是对角矩阵，这样微分方程存在耦合。——如果质量矩阵是非对角矩阵，称方程存在惯性耦合；如果阻尼矩阵是非对角矩阵，称方程存在阻尼耦合；如果刚度矩阵是非对角矩阵，称方程存在弹性耦合。耦合问题：——如何消除方程的耦合是求解多自由度系统运动微分方程的关键。从数学上讲，就是怎样使系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵在某一坐标系下同时成为对角矩阵。耦合问题：§3.3不同坐标系下的运动微分方程例3.2汽车的二自由度振动模型如图3—3所示。——汽车板簧以上部分被简化成为一根刚性杆，具有质量m和绕质心的转动惯量Ic。质心位于C点。

——分别在A点和B点与杆相连的弹性元件k1、k2为汽车的前、后板簧。只考虑杆的竖向运动（平动）和绕质心的转动（转动）。系统的动能和势能为——这里用到了四个广义坐标（变量）yA，yB，yC，q，我们需要取定其中两个，而将其他两个消去。1.取广义坐标为yA，θ

则系统的动能为

运动微分方程为系统的势能为2.取广义坐标为yC和θ

系统的势能为在yC，q下系统的动能为运动微分方程为：3.取广义坐标为yA，yB§3.4无阻尼自由振动方程解耦:

寻找合适的描述系统振动的广义坐标系，使得系统的质量矩阵，阻尼矩阵和刚度矩阵在这个广义坐标下为对角矩阵。——等价于寻找一个变换矩阵u，使得系统的质量矩阵，阻尼矩阵和刚度矩阵按下式变为对角矩阵。运动微分方程为如果存在变换矩阵u使方程解耦。即当x=uy时，在y下的运动微分方程为上式相当于如下两个彼此独立的单自由度方程

如果系统初始条件为则方程的解为由此可以得到在x坐标系下方程的解也就是说，初始条件为：系统的自由振动是简谐振动

思路：{x}坐标系下的微分方程和初始条件{x}坐标系下的微分方程解{y}坐标系下的微分方程和初始条件耦合，不能求解u坐标转换解耦{y}坐标系下的微分方程解微分方程相互独立，可求解u-1坐标逆转换注：红色路线代表走不通，绿色路线代表可走通例3.3如图所示系统。设m1＝m2=m。这是个对称系统，对称点为k1的中点。取向右为x轴的正方向。

讨论几种特殊的初始条件下的振动。1．把m1，m2向右移动相同的距离x0，然后同时无初速度地放开。2．m1向左，m2向右，均移动x0，然后同时无初速度地放开。3.m1和m2的初始位移为零，而初始速度不为零，均为x’0

4.m1和m2的初始位移为零，而初始速度不为零，大小相等，均为x’0

，但方向相反。1．把m1，m2向右移动相同的距离x0，然后同时无初速度地放开。初始条件为：这是一个对称的初始条件。在整个振动过程中：弹簧k1不变形，m1和m2受到的力大小、方向均相同，二者的质量又相同，因此它们的速度和位移也相同。这样m1和m2之间的距离始终保持不变，二者就如同一个刚体。系统在这种情况下的等效为下图。这是一个单自由度系统。2．m1向左，m2向右，均移动x0，然后同时无初速度地放开.初始条件为：——在振动过程中，系统的中点即k1的中点没有运动，就像一个固定点。k1被分成相等的两半，每一半的弹簧的刚度为2k1。在这种情况下的等效系统如下图所示。

这是两个彼此独立，并且完全一样的单自由度系统.

3.m1和m2的初始位移为零，而初始速度不为零，均为x’0.初始条件为:这也是一个对称的初始条件.系统等效为：2m系统的响应：——系统两个自由度以w1为频率做简谐振动。同时达到极值，同时为零。它们之间的相位差为零。4.m1和m2的初始位移为零，而初始速度不为零，大小相等，均为x’0

，但方向相反。又是一个反对称的初始条件。系统等效为：系统的响应：——系统两个自由度以w2为频率做简谐振动。同时达到极值，同时为零。它们之间的相位差为p。小结：对于任意的初始条件

可以分解为如下的四种初始条件之和：1)2)3)4)根据叠加原理，图3—4(a)所示系统在任意初始条件下的自由振动响应为:由例3.3可以看到，二自由度无阻尼系统在某些特定的初始条件下的自由振动是简谐振动。——振动的特点:系统的两个自由度以相同的频率振动，它们之间的相位差为零或p，它们的坐标之比是与系统的物理参数有关而与时间无关的常数。1)这种振动称为系统的固有振动。

2)这种坐标之比称为固有振型，简称振型。

3)固有振动时的频率称为系统的固有频率，振型与固有频率是一一对应的。——二自由度系统存在两种频率的固有振动，因此有两个固有频率，两个固有振型。二自由度系统在任意初始条件下无阻尼自由振动是这两个固有振动的线性组合。——用图形直观显示固有振动时各个坐标之间的相互位置关系，称为振型图。

例3.3的振型图如图所示直接从系统的微分方程出发求出系统的固有频率和振型。

图示系统自由振动的运动微分方程为:设系统的固有振动时的解为代入得：关于Al，A2的线性齐次代数方程组。如果有非零解，则需满足：二阶行列式展开得解之得1)将w1代入方程式得到令{u1}就是与w1对应的第一阶振型

因此得到u11，u21的比值：则即{u1}，{u2}乘上任一个非零的常数仍然满足式。所以：可把响应{x(t)}看为向量空间中随时间变化的向量，振型{u}给出了空间中的不随时间改变的一个方向，振型的大小需要人为给定。固有频率和它所对应的振型完全由质量矩阵和刚度矩阵决定，与外部激励无关，是系统固有的性质。由知：得到了wl，{u1}和w2，{u2}后，可以解方程系统的解：设：如果初始条件为则有解出A1，A2和初始相位j1，j2

通解两个解的线性组合A1{u1}g1(t)+A2{u2}g2(t)令即：因此用矩阵描述：将A1、A2、j1、j2和[u]代入式(3.14)，即可得到任意二自由度系统无阻尼自由振动的解。求得bij后由下式计算各个自由度的振幅A1，A2和初始相位j1，j2

归纳：二自由度无阻尼系统的求解方法1、确定坐标系，并根据振动系统的动能、势能函数确定质量、刚度矩阵系统的运动微分方程2、获得系统特征方程：，求得各阶固有频率；3、将固有频率代回，确定振型；4、由振型得到变换矩阵[u];5、例3.4耦合摆两个完全一样的单摆以弹簧相联。单摆长L，质量为m。解：取单摆与垂线的夹角q1，q2为描述系统运动的广义坐标。系统的动能和势能分别为特征方程为展开得到1)将w1代入广义特征值问题得：得到：2)将w2代入广义特征值问题得：u11=u21=1解得：u12=-1，u22=1并有考虑如下的初始条件即初始时只有一个杆有初始位移由式(3.17)可得到由式(3.18)得由式(3.14)得解为这时系统的动能和势能为:其中：第一阶固有振动为：它的动能和势能为：第二阶固有振动为：它的动能和势能为：因此有系统的动能和势能分别是各阶固有振动的动能和势能之和。振动能量可以按振型分解，在振动中系统的各阶固有振动是相互独立的，彼此没有能量交换。令由三角和差化积公式得如果弹簧的刚度很小，则而由于k很小，这样Dw远小于w0，可以把cosDwt和sinDwt看成随时间变化的振幅，它们的变化周期为：显然这时的响应如图：从图中可以看出：

1)t=0时，左摆振幅为q0，右摆振幅为0(不动)