第01章(理论力学II)

理论力学第一篇刚体静力学

刚体静力学(Staticsofrigidbodies)研究刚体(Rigidbodies)在力系作用下相对于惯性系静止的力学规律。引论刚体：在力的作用下不变形的物体，刚体是实际物体和构件的抽象和简化。吊车梁的变形δ吊车梁在起吊重物时所产生的最大挠度δ一般不超过梁的跨度的1/500

这种小变形对于两端支承力的影响是微不足道的，因此在计算两端的支承力时，吊车梁可简化为刚体。在研究吊车梁的强度问题时，就不能将其简化为刚体，而必须应用变形体力学的知识。即使在变形体力学中，在许多情况下，也要忽略变形对物体形状改变的影响，如小变形假设。物体简化为刚体的条件变形的绝对大小并不是简化为刚体的条件，重要的是变形对所研究问题的结果产生的影响要足够小。力系(Forcessystem)：作用于同一刚体的一组力平衡状态(Equilibriumstate)：物体若处于静止状态或匀速直线运动状态，则称物体处于平衡状态。平衡力系(Equilibriumforcesystem)：使刚体的原有运动状态不发生改变的力系。平衡条件(Equilibriumconditions)：平衡力系所满足的数学条件。刚体静力学三类基本问题：1)刚体的受力分析；2)力系的等效替换及简化；3)力系的平衡条件及其应用。静力学基础知识要点1—1力和力矩1—1—1力的概念1—1—2力对点的矩1—1—3力对轴的矩1—2力系等效原理1—2—1力系的主矢和主矩1—2—2力系等效原理及静力学公理1—2—3刚化原理及圣维南原理1—3力偶与力偶矩1—4物体的受力分析1—4—1约束与约束反力1—4—2物体的受力分析第一章

静力学基础1—1力和力矩1—1—1力的概念力(Force)：力是物体间的相互机械作用，这种作用使物体的运动状态发生改变(外效应)和形状发生改变(内效应)。对刚体而言，力的作用只改变其运动状态。力的三要素：大小、方向和作用点。力是定位矢量。在国际单位制中，力的单位是牛顿(N)和千牛顿(KN)。力矢量的表示：FA力矢量大小表示：FA作用力和反作用力牛顿第三定律描述了力的重要性质之一，即作用的相互性。任何两个物体间相互作用的一对力总是大小相等，作用线相同，而指向相反，同时并分别作用在这两个物体上。这两个力互为作用力和反作用力。在理论力学体系中，该普适原理也称为静力学第四公理。力的作用形式分布力(Distributedforce)

集中力(Concentratedforce)分布力表面力(Surfaceforces)连续作用于物体的某一面积上的力体积力(Bodyforces)连续作用于物体的某一体积上的力集中力—集中作用于物体上一点的力分布力集中力

集中力是作用面积(或作用体积)极小的分布力在一定条件下的简化形式。

分布力可通过某种等效原理转化为集中力

作用在梁AB中部C附近小范围上的压力可以用一个集中力P来代替。

力在坐标轴上的投影投影的定义线段ab的长度并冠以适当符号，称为力在轴上的投影，记为Fx。投影为正：从a到b的指向与投影轴x正向一致。投影为负：从a到b的指向与投影轴x正向相反。投影的计算式是轴x的方向矢量直接投影法二次投影法力的投影与力的分量(分力)之间的区别力的投影力的分量力的投影是标量力的分量是力矢量力在某给定方向的投影是确定的力在某给定方向的分量不确定，它还取决于力在其它方向的分量由力的所有投影只能确定出力的大小和方向，不能完全确定出力矢量由力的所有分量可完全确定出力矢量F在x轴上的投影若F1和F2构成F的一组分量若F3和F4构成F的一组分量力沿坐标轴的分解例1–1：力F=80KN，计算它在坐标轴上的投影。[解]：1—1—2力对点的矩力矩(Momentofaforce)度量力对物体的转动效应。力对点之矩作用于物体上的力F对空间任意一点O的力矩定义为O点—力矩之矩心MO(F)通常被看作是一个定位矢量，习惯上总是将它的起点画在矩心O处，但并不意味着O就是MO(F)的作用点。力矩三要素力矩三要素是大小、方向和矩心。力矩大小

为r和F正方向之间的夹角，h为矩心到力作用线的距离，即力臂(Momentarm)。力矩方向

MO(F)垂直于r和F所确定的平面，指向由右手定则确定。力矩解析式及在坐标轴上的投影例1–2：长方体的上、下底为正方形，边长为30.5a，高为a。求图中力F对顶点O之矩。[解]：依据题意，力F作用点A的位置矢量r为力F在坐标轴上的投影1—1—3力对轴的矩力对轴的矩(Momentofaforceaboutanaxis)用来量度力对所作用的刚体绕某固定轴转动的效应。该固定轴也称为矩轴(Axisofmoment)，通常标识为z轴。xy平面垂直于坐标轴z，垂足为O，F´为力F在平面xy上的投影。定义F´对xy平面内O点之矩为力F对轴z之矩Mz(F)力对轴的矩Mz(F)是代数量，当F使物体绕z轴逆时针转动，Mz(F)为正；反之为负。即Mz(F)的正负号由右手定则确定。当力F与轴z平行(F´=0)或相交(d=0)时，即力F与轴z共面时候，力对轴Mz(F)的矩为零。若力F位于与轴z垂直的平面内(即力F与轴z垂直)，O点为轴z与平面交点，则力对轴Mz(F)的矩也被定义为平面上力F对点O之矩MO(F)。力矩关系定理MO(F)垂直于三角形OABa、b分别是A、B在xy平面上的投影，由几何学知识因为所以力矩关系定理：力对轴之矩，等于力对轴上任一点的矩在该轴上的投影。力对坐标轴之矩计算表达式例1–2：园柱的底半径为r，高为2r，求图中作用于B点的力F对x、y和z轴以及OE轴之矩。

解：力F的作用点B的坐标为力F在坐标轴上的投影为由此即有

设沿OE轴的单位矢为e因此力F对OE轴之矩为1—2力系等效原理1—2—1力系的主矢和主矩力系的主矢作用在刚体上的若干力F1，F2，，Fn构成空间一般力系，可计算出这些力的矢量和矢量和FR称为该力系的主矢(Principalvector)。力系的主矢仅涉及力系中各力的大小和方向，而与其作用点位置无关，力系的主矢是一个自由矢量而不是一个力。主矢在坐标轴上的投影力系的主矢在坐标轴上的投影等于力系中各力在相应轴上投影的代数和。力系的主矩

空间一般力系中各力对某点O的矩的矢量和称为该力系对矩心的主矩MO。力系的主矩MO是位于矩O的定位矢量，主矩与矩心的位置有关。主矩的投影主矩MO在以矩心O为原点的任意直角坐标系Oxyz上的投影表达式。力系的主矩在通过矩心的任意轴上的投影等于该力系中各力对同一轴的矩的代数和。例1–4：悬臂梁上的载荷如图所示，试求该载荷对A点之矩。

直接计算力系对点的主矩，由于涉及矢量运算，因此通常利用力矩关系定理计算主矩在三个坐标轴上的投影。

若力系位于xoy平面内，其对A点主矩在x轴和y轴上的投影为零，只需计算力系对A点之主矩在z轴上的投影。

若我们只在xoy平面内考虑问题，则力系对A点之主矩在z轴上的投影也称为xoy平面内力系对A点之矩。取微元dx，其上作用微力dF，dF对A点产生微力矩dMAz例1–5：半径为r的半圆环表面上分布着均匀剪力，方向沿着圆环。单位长度上的剪力大小是q，试求该力系的主矢及对O的主矩。F在坐标轴上的投影主矢大小为2qr，沿y轴负向；主矩大小为qr2，沿z轴负向。1—2—2力系等效原理在刚体力学中，如果两个不同的力系对同一刚体产生同样的作用，则称此二力系互为等效力系(Equivalentforcesystem)。等效力系的相互替换并不影响它们对刚体的作用；与一个力系等效的力称为该力系的合力(Resultforce)，但并非所有的力系都有合力。平衡力系：与零力系(Nullforcesystem)等效的力系。力系等效原理力系等效原理(Principleofequivalentforcesystem)：两个力系等效的充分必要条件是主矢量相等，以及对同一点的主矩相等。如果将动量定理和动量矩定理看成是基本原理，则力系等效原理就只是它们的一个推论。在刚体静力学里将其视作基于经验的基本假设。

力系等效原理是刚体静力学理论体系的基础，无论在理论上还是在实际应用中都具有重要意义。力系等效原理表明，力系对刚体的作用完全取决于它的主矢和主矩，因此主矢和主矩是力系最重要的基本特征量。力系等效原理的推论1.平衡定理：作用在同一刚体上的力系平衡的充分必要条件是该力系的主矢及对于任一点的主矩同时为零。

一个刚体的平衡条件，提供独立的六个方程，可以求解不超过六个未知量的问题。2.二力平衡公理：作用在同一刚体上的两力使刚体保持平衡的充分必要条件是此二力大小相等、方向相反且作用线重合。二力杆：只受两个力作用而平衡的刚体。这两力必定沿作用点的连线。BEC是二力杆细长杆两端受压可能产生失稳二力平衡公理对变形体和刚体系统不适用3.加减平衡力系公理：在作用于刚体的任何一个力系中上添加或除去任何平衡力系，并不改变原来力系对刚体的作用。力的可传性原理：作用于刚体上的力可以沿其作用线移至刚体内任意一点而不改变它对刚体的效应。F1和F2平衡，且F=F1。力在作用线上滑动的时候，应始终作用在原来的刚体上。对刚体来讲，力的三要素是大小、方向和作用线位置，即力是滑动矢量(Slidingvector)。加减平衡力系公理及力的可传性原理并不适用于刚体系统及变形体。处于平衡时的细长柔杆细长柔杆两端受压会产生失稳4.力平行四边形定律：作用在物体上同一点的两个力可以合成一个力，合力作用在该点，合力的大小和方向由原两个力的力矢为邻边组成的平行四边形的对角线矢量来表示。即，合力矢等于原两力的矢量和。适用条件：适用于刚体、变形体和刚体系统。推论，同平面不平行三力平衡时的汇交定理：当刚体受到同平面内作用线不平行的三个力作用而平衡时，这三个力的作用点必定汇交于同一点。简称三力汇交定理。5.合力矩定理：若力系有合力，则力系对任一点(或轴)之矩等于力系中各力对同一点(或轴)之矩的矢量和(或代数和)。1—2—3力系等效原理应用于变形体刚化原理(Principleofrigidization)：当变形体在已知力系作用下处于平衡时，如果把变形后的变形体换成刚体(刚化)，则平衡状态保持不变。刚体刚化原理是一个基于经验的基本假设；刚化原理建立了刚体静力学和变形体静力学之间的联系；刚化原理表明，刚体平衡的充要条件对于变形体而言只是必要而非充分条件。力系等效原理应用于变形体时的限制适用于刚体的力系等效原理及其推论应用于变形体时要受到一定限制，因为静力等效可能破坏变形体的平衡状态，或使变形体的变形和内力发生变化。

静力等效破坏柔绳的平衡视梁为刚体可进行静力等效此受力状态下弹性梁的变形此受力状态下弹性梁的变形静力等效改变了弹性梁的变形

一般地讲，在研究整个变形体的平衡时，或当我们用截面法假想将弹性体截取出一部分来研究它的平衡时候，力系等效原理的应用都是合法的。但当我们的研究涉及到弹性体的变形和内力时，在应用截面法以前，原则上不允许静力等效替换。

这里所提到的静力等效替换，是指任何形式的等效力系之间的相互替换，当然也包括后面要讲到的力偶等效替换、力线平移定理等，今后我们将不在重复地陈述上面这些结论。1—3力偶及其性质1—3—1力偶及力偶矩一.力偶的概念力偶(Couple)：在同一刚体上等值、反向而不共线的两个力。力偶只改变刚体的转动状态Planeofthecouple力偶作用面(Actingplaneofacouple)：力偶两力的作用线所确定的平面。力偶臂(Couplearm)：力偶中两力作用线之间的距离d。二.力偶的主矩和主矢力偶的主矢力偶的主矢恒等于零力偶的主矩

力偶对任意点主矩恒等于rF，而与矩心位置无关。

r矢量从F´作用线上任一点指向F作用线任一点。三.

力偶矩矢量力偶三要素：力偶对刚体的转动效应取决于力偶矩的大小、力偶的转向和力偶作用面的方位。力偶矩矢(Couple–Vector)：力偶主矩是力偶矩矢m(F,F´)=rF，它完整地表达了力偶三要素。m垂直于力偶的作用面，表示力偶作用面的方位；m的模为Fd，表示力偶矩大小；m的指向则表示力偶的转向，按右手定则，从矢量m的末端回头看，力偶应使刚体作逆时针转动；力偶矩矢量是一个自由矢量。力偶既没有合力，本身也不能平衡，是最简单的力系之一。四.平面力偶平面力偶系：若同一刚体上作用的力偶均位于同一平面上，或其力偶作用面平行，则称为平面力偶系。由于力偶作用面始终与力系所在的平面重合，力偶矩矢量变成代数量正负号规定：逆时针为正；顺时针为负；+–

如此规定的平面力偶系的正负号，隐含了z坐标轴垂直于力偶作用面。即，此处定义的平面力偶，实际上是力偶矩矢量在z轴上的投影。1—3—2力偶的性质一.同平面力偶等效定理同平面力偶等效定理：作用在刚体上同一平面的两个力偶相互等效的条件是两者的力偶矩代数值相等。与等效将F1分解成F2与P，对F´1也作类似处理，P与P´组成平衡力系。即：两个同平面等效力偶的力偶矩的代数值相等。这表明：力偶对刚体的作用与力偶在其作用面内的位置无关；只要保持力偶矩大小不变，可同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对刚体的作用二.空间力偶等效定理空间力偶等效定理：作用面平行的两个力偶，若其力偶矩的大小相同，转向相同，则两个力偶等效。或者说，可以将力偶从一个平面平移到另一个平面而不改变它对刚体的作用效果。力偶m(F1,F2)作用在平面I内平面II与平面I平行，且位于同一刚体上可以将力偶m(F1,F2)平移到平面II而不改变它对刚体的作用效果。证明如下：在平面II内任取一线段CD，平行且等于力偶臂AB，则ABCD为平行四边形，AD、BC交于点O。P与Q必构成平衡力系力偶由一个平面移至刚体内另一平行平面，但未改变它对刚体的作用。

作用于刚体上的力偶等效替换的条件是其力偶矩矢量保持不变。三.力偶矩矢量的平行四边形定律作用在平面I内作用在平面II内AB是两个平面的交线，p是两个力偶的公共力偶臂分别求出此二力偶中F1与F2、F1´与F2´的合力R与R’R与R´构成的新力偶，就是原两个力偶的合力偶m将平行四边形Aced绕AB旋转90度，并使各边放大p倍，得到新的平行四边形ACED矢量AC是力偶m1的力偶矩矢矢量AD是力偶m2的力偶矩矢矢量AE是合力偶m的力偶矩矢例1–6：长方体由两个边长为a的正方体组成，如图所示，试求力偶(F，F')的力偶矩矢量M。解：力F在坐标轴上的投影为设由F'的作用点至F的作用点的矢径为r，则有

例1–7：正方体的边长为a，大小均为P的6个力作用于正方体的棱边上，如图所示。试求该力系的主矢及对O点的主矩。解：原力系由同向平行力系(F1～F4)和力偶(F5，F6)组成，力系(F1～F4)的主矢为F1～F4的作用点相对于O点的矢径分别为:故力偶(F5，F6)的主矢为零，力偶矩矢为:原力系的主矢及对O点的主矩为:1—4物体的受力分析1—4—1约束与约束反力一.基本概念自由体(Freebody)：能自由运动而获得任意位移的物体。非自由体(Constrainedbody)：因受周围物体的阻碍、限制而不能任意运动的物体。约束(Constraint)：对非自由体的某些位移起限制作用的周围物体称约束(体)。约束反力，约束力，反力(Constrainedforce)：由约束产生的阻碍非自由体运动的力。约束反力是广义力。主动力(Appliedforce,Load)：系统所受的约束力以外的所有力统称主动力。火车的位移受到了轨道的限制

约束施于被约束物体的力称为约束力(constraintforce)。约束力是一种接触力。二.常见约束类型及特点1.柔索(Flexiblecable)工程中的绳索、链条、皮带等物体可简化成柔索。理想化的柔索不可伸长，不计自重，且不能抵抗弯曲。特点：是单面约束，约束反力只能是拉力。作用点：在接触点处或假想截面处方向：总是沿着绳子的方向而背离所系的物体。对不计质量的光滑绳索而言，各处的拉力都是同样大小。2.光滑支撑面(Smoothsurface)若两物体接触面上的摩擦力很小而可忽略不计时，就可简化成光滑支撑面约束。特点：是单面约束，反力是压力。作用点：在接触处。在面—面接触的形式中，作用点具体位置与平衡形式有关。方向：沿着接触处的公法线方向而指向被支持物体。3.光滑圆柱铰链约束(Smoothcylindricalpin)用圆柱销钉将两个零件连接在一起，并假设接触面光滑，由此构成的约束称为光滑圆柱铰链约束。连接件连接件销钉特点：被连接的构件可绕销钉轴作相对转动，但相对移动被限制。是双面约束，反力是压力。作用点：销钉与连接件的接触处，在垂直于圆柱销轴线的平面内。方向：方向不定，通常表示为两个互相垂直的分力形式。铰铰恐龙骨骼的铰链连接固定铰链支座(Fixedsupportofpinjoint)当光滑圆柱铰链连接的两个构件之一与地面或机架固接则构成固定铰链支座，也称为固定铰链约束反力的特点、作用点和方向与光滑圆柱铰链相同。常用表达形式反力表达形式表示为一个大小和方向均未知的力表示为两个方向已知但大小未知的力活动铰链支座(Rollersupportofpinjoint)

在铰链支座与支承面之间装上棍轴，就构成了活动铰链支座或棍轴铰链支座光滑支撑面连接件销钉常用表达形式特点：是双面约束，反力是压力。方向：垂直于支撑面，具体指向取决于平衡状态。4.光滑球形铰链(Smoothballandsocketjoint)固连于构件上的小球嵌入另一构件上的球窝内，若接触面的摩擦可忽略不计，即构成光滑球形铰链。球窝小球球窝小球与铰链相似，球铰提供的约束力是一个过球心、大小和方向都未知的三维空间矢量FN，常用三个大小未知的正交分力Fx、Fy和Fz来表示。球铰的表示形式盆骨与股骨之间的球铰联结5.链杆(Bar)链杆：两端用光滑铰链与其它构件连接且不考虑自重的刚杆。特点：是二力杆，提供双面约束。反力方向：沿杆方向，通常假定受拉。同一点处的两根不平行链杆等同于一固定铰支座。活动铰支座可用与支撑面垂直的一根链杆来代替。用铰链连接的杆6.固定端(Fixedendsupport)固定端约束：物体的一部分固嵌于另一物体的约束，其特点是限制物体的移动又限制物体的转动。y为变形后的梁轴线形状固定端约束保证作用在物体固嵌部分上的约束反力是一个任意分布力系，通常将其简化为一个主矢和主矩。FAzFAxFAyMAzMAxMAy槽钢悬臂梁焊缝平面固定端约束如果只在xy平面内研究运动，则固定端约束只限制物体x和y方向的移动及绕z轴的转动，即平面固定端约束。平面固定端的约束反力，可用两个正交分力和一个力偶矩来表示。一个固定端约束能否简化为平面固定端约束，完全取决于结构在实际外载荷下可能的运动形式。7.其它类型的约束向心轴承(柱向轴承)FzFx向心推力轴承(止推轴承)1—4—2受力分析与受力图解除约束原理：当受约束的物体在某些主动力的作用下处于平衡